第四章根軌跡法4.2根軌跡繪制的基本法則4.3廣義根軌跡End4.1根軌跡方程4.4

系統(tǒng)性能分析4.1根軌跡方程根軌跡：是指開環(huán)系統(tǒng)某個(gè)參數(shù)由0變化到∞，閉環(huán)特征根在s平面上移動(dòng)的軌跡。根軌跡與系統(tǒng)性能密切相關(guān)。表示系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)0jj0.5K=1/2-0.5-1p1p2

閉環(huán)特征方程為s2+s+K=0,解得閉環(huán)特征根表達(dá)式令K（由0到∞）變動(dòng)，s1、s2在s平面的移動(dòng)軌跡即為根軌跡。研究根軌跡的目的：分析系統(tǒng)的各種性能（穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)性能、動(dòng)態(tài)性能）4.1.1

根軌跡概念R(s)(-)C(s)4.24.3動(dòng)畫演示

根軌跡增益：

K*為開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益；閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益。(由下式及m<n可知）開環(huán)零點(diǎn)：指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中分子多項(xiàng)式方程的根。開環(huán)極點(diǎn)：指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中分母多項(xiàng)式方程的根。閉環(huán)零點(diǎn)：指系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)中分子多項(xiàng)式方程的根。閉環(huán)零點(diǎn)由前向通道的零點(diǎn)和反饋通道的極點(diǎn)構(gòu)成。對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點(diǎn)就是開環(huán)零點(diǎn)。閉環(huán)極點(diǎn)：指系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)中分母多項(xiàng)式方程的根。閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)以及根軌跡增益K*均有關(guān)。（K*→0,開閉環(huán)極點(diǎn)相同。）4.1.2

開/閉環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)表達(dá)式

根軌跡法的基本任務(wù)：由已知的開環(huán)零、極點(diǎn)分布及根軌跡增益，通過圖解的方法找出閉環(huán)極點(diǎn)。

1.由閉環(huán)特征方程得根軌跡方程為G(s)H(s)=–14.1.3

根軌跡方程再把矢量方程表示為模值方程與相角方程，其模值方程和相角方程分別為：2.將根軌跡方程寫成零、極點(diǎn)表示的矢量方程為：

法則4:

實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)，開環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù)。

法則6:

根軌跡的起始角(從極點(diǎn)pk)和終止角(到零點(diǎn)zk)：

起始角：法則2:

根軌跡對稱于實(shí)軸：閉環(huán)極點(diǎn)若為實(shí)數(shù)，則位于[s]平面實(shí)軸；若為復(fù)數(shù)則共軛出現(xiàn)，所以根軌跡對稱于實(shí)軸。法則3:

根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)：根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)；如果開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，則有（n-m）條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處(的零點(diǎn))。

法則5:

根軌跡的漸近線：漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)而漸近線與實(shí)軸正方向的夾角k依次取0,+1,–1,+2,–2,…一直到獲得n-m個(gè)傾角為止。其中，n為開環(huán)極點(diǎn)數(shù)，m為開環(huán)零點(diǎn)數(shù)。

(a可由相角方程中S得到。)

4.2根軌跡繪制的基本法則例1a4.3證14.1例1例3證1例1b例2證2

法則1:

根軌跡的分支數(shù)：根軌跡在[s]平面上的分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程的階數(shù)n,也就是分支數(shù)與閉環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目相同。

法則8:

根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：法則7:

分離點(diǎn)（會合點(diǎn)）坐標(biāo)d：幾條根軌跡在[s]平面上相遇后又分開的點(diǎn)，稱為分離點(diǎn)。分離點(diǎn)的坐標(biāo)d可由方程

終止角：緊轉(zhuǎn)例4

法則9:

根之和：若n-m>=2，則有

例3證3例2例2證明1由根軌跡方程：jp01p02p03p040z01z02z03z04s0z05其余n-m條終止于無窮遠(yuǎn)處:起點(diǎn):K*=0,式(#)∞,所以s=pi(i=1,2,…n)

終點(diǎn):K*

∞,式(#)0,所以s=zj(j=1,2,…m)證明2由同理得假設(shè)在一開環(huán)極點(diǎn)p1附近取一點(diǎn)s1,則

證明3系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為代入得

根軌跡若有分離點(diǎn)，表明閉環(huán)特征方程有重根，重根條件為

兩式相除得例1a例1b例2p02j0-1j1j1.15ap03p01例3開環(huán)增益為K=K＊/2，K的穩(wěn)定域?yàn)?/p>

0<K<3.例:

某單位反饋系統(tǒng)，例40jj2.45j4-4-2復(fù)數(shù)分離點(diǎn)實(shí)數(shù)分離點(diǎn)例:若開環(huán)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)均為偶數(shù)，且左右對稱分布于一條平行于虛軸的直線，則根軌跡一定關(guān)于該直線左右對稱。例5j0s1s2例:帶開環(huán)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)，若能在復(fù)平面上畫出根軌跡，則復(fù)平面根軌跡一定是圓或圓弧。例6:已知系統(tǒng),求Ta由0→∞的閉環(huán)根軌跡。解:原系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

D(s)=1+G(s)H(s)=s(5s+1)+5(Tas+1)=0所以就是新的開環(huán)傳函，而5Ta相當(dāng)于新的開環(huán)增益。4.3廣義根軌跡變化的參數(shù)不是開環(huán)根軌跡增益K*的根軌跡叫參數(shù)根軌跡。將開環(huán)傳函變形讓變化的參數(shù)處于開環(huán)增益的位置就可以采用繪制常規(guī)根軌跡時(shí)的法則。

解題關(guān)鍵：要將開環(huán)傳函變形，將非開環(huán)增益的參數(shù)變換到開環(huán)增益的地位。將和參數(shù)有關(guān)的各項(xiàng)歸并在一起，上式可寫為

5s2+s+5+5Tas=04.14.24.3.1

參數(shù)根軌跡在負(fù)反饋系統(tǒng)中，K*變化時(shí)的根軌跡叫做常規(guī)根軌跡。其他情況下的根軌跡稱廣義根軌跡。通常有參數(shù)根軌跡和零度根軌跡。例7：求Tm從0→∞時(shí)的根軌跡j0P1P2-KR(s)(-)C(s)原系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

Tms2+s+K=0即

s2+s/Tm+K/Tm=0得新的特征方程為

s2+(s+K)/Tm=0則新的等效開環(huán)傳函為如果系統(tǒng)的特征方程的形式為1-G(s)H(s)=0,4.3.2

零度根軌跡其根軌跡叫零度根軌跡。此時(shí)因?yàn)槠湎嘟亲裱瓧l件：附加開環(huán)

零點(diǎn)的作用根據(jù)已知的閉環(huán)零極點(diǎn)定性分析系統(tǒng)性能4-4系統(tǒng)性能的分析一．閉環(huán)零極點(diǎn)與時(shí)間響應(yīng)主導(dǎo)極點(diǎn)對整個(gè)時(shí)間響應(yīng)過程起主要作用相距很近的閉環(huán)零極點(diǎn)稱為偶極子，偶極子越接近坐標(biāo)原點(diǎn)，對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能影響越大閉主導(dǎo)極點(diǎn)距虛軸遠(yuǎn)2~3倍的閉環(huán)零極