《系擴與數(shù)全復(fù)與固【習(xí)標1.了引進復(fù)數(shù)的必要性，了解數(shù)集的擴充過程；2.理在數(shù)系的擴充中由實數(shù)集擴展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念；理解復(fù)數(shù)相等的充要條件3.了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；4.掌進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則，了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法運算的幾何意義.注在不同數(shù)集中運算法則的聯(lián)系和區(qū).【識絡(luò)【點理要一復(fù)的本識1、虛數(shù)單位i，規(guī)定它的平方等于即i

.i

可與實數(shù)進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成.2、形如

bi

（a,

）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，記作：

zbi

（abR

當(dāng)b=0時，是數(shù)；當(dāng)b≠時z叫虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠時，zbi叫做純虛.3、兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件：,c,d

，

則

.4、復(fù)數(shù)的幾何意義：

5、（1）4n2za))5、（1）4n2za))2+復(fù)數(shù)

zbi

復(fù)平面內(nèi)的點()

平面向量

復(fù)數(shù)的模設(shè)

OZ（a

量OZ的長度叫做復(fù)數(shù)

z

的模記|

.即z|

a

2

2

.要詮：

i

的周期性：如果nN，則有：i，i

4

，i

4

i

4

；（）數(shù)

z

的共軛復(fù)數(shù)，記為

z

；（）要二復(fù)的算設(shè)

z1

，

z2

（a,b

：z)c))b)i1z)d)i21z)())i12zbi()()bdbcizcdi)cc要詮

13i2

3

1，

(∈N)等；（）數(shù)求解計算時，要靈活利用、ω的質(zhì)，或適當(dāng)變形，創(chuàng)造條件，從而轉(zhuǎn)化為于、ω的計算問題．比

(1)2

；

11；；11（）復(fù)數(shù)除法運算時，有如下技巧：【型題類一復(fù)的念運例1.化下列式子：

(a)i()i()ibi

．i)（）；（）(13i)

313i

21

．

222110051005222110051005【解析】（）

(2i4i)5

(

5

2(1)4i

5

2

5

24i)21i2

2

3ii

；（）

13i

2

3)i3)(1i)ii3i

1

i

．【總結(jié)升華】靈活利用

(1)

及

1i2

的特點進行計算．舉反：【變式】是數(shù)單位，計算

i

()A-B．．iD．【答案】【變式2】復(fù)數(shù)

i(2)1i

等于()Ai．-i．D．1【答案】D【解析】

i(2i)1i

2)2i()(i22)5【變式3】已知復(fù)數(shù)

z

，則

2z

________·【答案】-例2.已知

z2ai1

，

zai2

(∈R)別對應(yīng)向量

O1

，

2

（為原點向量

Z2

所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的．【解析】設(shè)量

Z2

對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，∵

Z21

O

2

∴

z12

2

i

2

i]a

2

a1)][(

2

i22)26)i∵z為虛數(shù)，

．∴

或a即a，∴

．【總結(jié)升華】討復(fù)數(shù)為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、非純虛數(shù)應(yīng)從定義手．舉反：【變式設(shè)

z2

1

(其中

表示的軛復(fù)數(shù)已知z的部是-1則z的虛部________．122【答案】1【解析】

zy，,y,)1iyi)y

由復(fù)數(shù)相等得

y)

．【變式2】設(shè)，b為實數(shù)，若復(fù)數(shù)

1iabi

，則)A．

a

313，B＝，＝．＝a，b2222

．＝b＝【答案】A【解析】

1iabi

i(1)(a)，1ia)a)i1故選A類二復(fù)的何義例3.已知復(fù)數(shù)

zi，z，123

，它們在復(fù)平面上的對應(yīng)點是一個正方形的三個頂點，求這個正方形的第四個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)．【解析】設(shè)復(fù)數(shù)

z1

、

z2

、

z

3

所對應(yīng)的點分別為、、，方形的第四個點對的復(fù)數(shù)為

xyi

(，∈R，

∴

D

的復(fù)數(shù)(xyi)ixyi

，BC

對應(yīng)的復(fù)數(shù)為

(i))i

．∵∴

DB(1)i)

3即

x解得y

x，y∴點D對的復(fù)數(shù)為

．【總結(jié)升華】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義．利用是正方形的心解．舉反：

BC

，求點對的復(fù)數(shù)，也可利用原點O恰好【變式】已知復(fù)平面上的

中，

對應(yīng)的復(fù)數(shù)為6+8i

對應(yīng)的復(fù)數(shù)-4+6i求向量

對應(yīng)的復(fù)數(shù)．【答案】如圖所示，的幾何意義可得

中，設(shè)對角線的點為，點E為的點，由復(fù)數(shù)加減法111DABD(AC2222所以對的復(fù)數(shù)為

12

ii

，所以向量

對應(yīng)的復(fù)數(shù)為

i

．

，2，2例4.復(fù)

z

)3()1

且

|

，對的點在第一象限，若復(fù)數(shù)，，z對應(yīng)的點是正三角形的三個頂點，求實數(shù)，的值．【解析】

z

(1)2(1)

(a)ii)bi

．由

|z，a

．①∵復(fù)0，，z對的點是正三角形的三個頂點，∴

|z

把

bi

代入上式化簡得b＝．②又∵z對應(yīng)的點在第一象限∴＜，＜．由①②得故所求值為

3

，

b

．【總結(jié)升華】要確定實數(shù)b值，需列出含ab的兩個方程條件z|＝易使用；對于正三角形這個條件，使用方法較多，本題轉(zhuǎn)化為邊長相等，|z|舉反：

．【變式1】復(fù)數(shù)

z

i1

在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于()A第一象限

B．二象限

．第三象限

．第四象限【答案】【解析】

z

ii(1)1i122

．∴復(fù)z在平面內(nèi)的對應(yīng)點為

1

，在第一象限．故選．【變式】若為數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點Z表復(fù)數(shù)z，則表示復(fù)數(shù)

z1

的點是)

22AEB．F．．【答案】D【解析】由中圖示可知

z

，∴

z11

，再結(jié)合題中圖示知點H表-，選D．類三復(fù)與程例5.已知2+ai，是系數(shù)一元二次方程

x

2

px

的兩根，求p，A．p＝4q＝．＝，＝Cp＝，＝D．＝，＝5【思路點撥】抓住實系數(shù)一元二次方程有虛根時兩根互為共軛復(fù)數(shù)來解.【解析】因為2+aib+i)是實系數(shù)一元二次方程

x

2

px

的兩個根，所以2+ai與b+i互共軛復(fù)數(shù)，所以＝1，＝，所以實系數(shù)一元二次方程

x

2

px

的兩個根是±，所以p＝-[()(-i)]＝4，＝2+i)(-)＝．【總結(jié)升華題查實系數(shù)一二次方程有虛根時兩根互為共軛復(fù)數(shù)的特點根與系數(shù)的關(guān)系．舉反：【變式】在復(fù)數(shù)集中解方程

x

.【答案】

ac

，∴

x1,2

3i2

，∴原方程的根為

x1

13i,xi22

.例6.已知∈C，方程

zzizi

．

【思路點撥】本題介紹對

z

z|

的熟練應(yīng)用，來求得.【解析】∵

z

z|

，把方程變形為

z

z2

i

，①兩邊取模得

|2

(12)2

|2

．整理得

|z

z2

．解得

|z2

或

z|210

．將其代入①得

z

．∴＝1或z＝．【總結(jié)升華】對于含

z,zz|

的方程，基本解法