第二章線性規(guī)劃的對(duì)偶理論和靈敏度分析從經(jīng)濟(jì)意義上研究線性規(guī)劃的對(duì)偶問題，通過對(duì)對(duì)偶問題的研究，從不同的角度對(duì)線性規(guī)劃問題進(jìn)行分析，從而利用有限的數(shù)據(jù)，得出更廣泛的結(jié)果，間接地獲得更多的有用信息，為企業(yè)經(jīng)營(yíng)決策提供更多的科學(xué)依據(jù)主要內(nèi)容原規(guī)劃與對(duì)偶規(guī)劃的轉(zhuǎn)換對(duì)偶定理影子價(jià)格的概念和經(jīng)濟(jì)學(xué)意義對(duì)偶單純形法靈敏度分析的目的和主要內(nèi)容問題的提出線性規(guī)劃對(duì)偶問題線性規(guī)劃有一個(gè)有趣的特性，就是對(duì)于任何一個(gè)求極大值的線性規(guī)劃問題都存在一個(gè)與其對(duì)應(yīng)的極小值線性規(guī)劃問題，而且二者之間聯(lián)系緊密，可以互相轉(zhuǎn)化。對(duì)偶性

（教材P53-54例題）從例子中可以看出：（1）原規(guī)劃問題為生產(chǎn)計(jì)劃問題，而其對(duì)偶問題為賦予該生產(chǎn)計(jì)劃可行性的潛在價(jià)值問題（2）原規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)是從資源擁有者的角度得出利潤(rùn)最大化，而其對(duì)偶規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)是從想獲得該資源方的角度得出成本最小化

（3）兩個(gè)問題共用一套參數(shù)，但組合方式不同原問題和對(duì)偶問題的關(guān)系原問題（P）對(duì)偶問題（D）決策變量xi第i種產(chǎn)品數(shù)量yi第i個(gè)約束條件目標(biāo)函數(shù)約束條件對(duì)偶問題在解釋資源的影子價(jià)格、擴(kuò)大單純形法計(jì)算方法以及對(duì)問題進(jìn)行靈敏度分析等方面有很多應(yīng)用。從表中可以看出對(duì)稱形式的對(duì)偶關(guān)系具有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：目標(biāo)函數(shù)最大最??；約束條件不大于不小于約束矩陣：一個(gè)為另一個(gè)的轉(zhuǎn)置常數(shù)向量b和c互換目標(biāo)變量皆為非負(fù)線性規(guī)劃對(duì)偶問題對(duì)稱形式對(duì)偶問題原問題和對(duì)偶問題的關(guān)系非對(duì)稱形式的對(duì)偶問題

不具備對(duì)稱形式的一對(duì)線性規(guī)劃稱為非對(duì)稱形式的對(duì)偶問題轉(zhuǎn)換方式為：4、若原規(guī)劃中的某個(gè)變量沒有非負(fù)限制，則在對(duì)偶問題中對(duì)應(yīng)的那個(gè)約束為等式。1、將模型統(tǒng)一為規(guī)范形式，然后先按對(duì)稱形式轉(zhuǎn)換2、對(duì)等式約束按（3）或（4）處理3、若原規(guī)劃中某個(gè)約束為等式，則在對(duì)偶規(guī)劃中與此對(duì)應(yīng)的變量取值沒有非負(fù)約束教材P56例題線性規(guī)劃對(duì)偶問題原問題和對(duì)偶問題的關(guān)系原問題與對(duì)偶問題的轉(zhuǎn)換線性規(guī)劃對(duì)偶問題原問題和對(duì)偶問題的關(guān)系原問題與對(duì)偶問題的轉(zhuǎn)換線性規(guī)劃對(duì)偶問題原問題和對(duì)偶問題的關(guān)系原問題與對(duì)偶問題的轉(zhuǎn)換線性規(guī)劃對(duì)偶問題對(duì)偶理論從本章的第一個(gè)例子可以看出原規(guī)劃問題追求的是生產(chǎn)利潤(rùn)最大化，而其對(duì)偶規(guī)劃考慮的是比生產(chǎn)更有利的可行性。線性規(guī)劃對(duì)偶問題前者的目標(biāo)函數(shù)值應(yīng)當(dāng)不大于后者的目標(biāo)函數(shù)值，即定理3.1（弱對(duì)偶性）：若對(duì)偶規(guī)劃（D）的可行解，則分別為原規(guī)劃（P）和證明：從原規(guī)劃的約束條件有從對(duì)偶規(guī)劃的約束條件有對(duì)偶理論線性規(guī)劃對(duì)偶問題定理3.1（弱對(duì)偶性）：若對(duì)偶規(guī)劃（D）的可行解，則分別為原規(guī)劃（P）和推論1（最優(yōu)性）：

分別為原規(guī)劃（P）和對(duì)偶規(guī)劃（D）的可行解設(shè)若分別為P和D的最優(yōu)解則顯而易見推論2（無界性）：如原規(guī)劃（P）或其對(duì)偶規(guī)劃（D）具有無界解，則對(duì)偶規(guī)劃（D）或原規(guī)劃（P）無可行解。顯而易見注意：改推論不可逆，教材P58對(duì)偶理論線性規(guī)劃對(duì)偶問題推論3：若規(guī)劃（P）或（D）有可行解，則（P）或（D）有最優(yōu)解的充要條件是規(guī)劃（D）或（P）有可行解例試用對(duì)偶理論判斷下面線性規(guī)劃是否有最優(yōu)解解：此規(guī)劃存在可行解其對(duì)偶規(guī)劃為顯然無可行解所以…對(duì)偶理論線性規(guī)劃對(duì)偶問題例用對(duì)偶理論判斷下面線性規(guī)劃是否存在最優(yōu)解解此規(guī)劃存在可行解其對(duì)偶規(guī)劃為存在可行解因此原規(guī)劃存在最優(yōu)解對(duì)偶理論線性規(guī)劃對(duì)偶問題定理3.2（強(qiáng)對(duì)偶性，或稱對(duì)偶定理）：若原規(guī)劃（P）有最優(yōu)解，則對(duì)偶規(guī)劃（D）也有最優(yōu)解，反之亦然。且二者最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值相等。（證明：教材P58-59）在線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解中，如果某一約束條件的對(duì)偶變量值為非零，則該約束條件取嚴(yán)格等式；反之，若如果約束條件取嚴(yán)格不等式，則其對(duì)偶變量一定為零。定理3.3（互補(bǔ)松弛性）：線性規(guī)劃問題的原問題和對(duì)偶問題存在一對(duì)互補(bǔ)的基本解，其中原問題的非基變量（松弛變量）對(duì)應(yīng)對(duì)偶問題的基變量，而對(duì)偶問題的非基變量（松弛變量）對(duì)應(yīng)原問題的基變量。定理3.4（互補(bǔ)基本解）：對(duì)偶理論線性規(guī)劃對(duì)偶問題線性規(guī)劃問題的原問題和對(duì)偶問題存在一對(duì)互補(bǔ)的基本解，其中原問題的非基變量（松弛變量）對(duì)應(yīng)對(duì)偶問題的基變量，而對(duì)偶問題的非基變量（松弛變量）對(duì)應(yīng)原問題的基變量。定理3.4（互補(bǔ)基本解）：在單純形法迭代的每一步：如果原問題是可行解，而對(duì)偶問題非可行解，則如果對(duì)偶問題是可行解，而原問題非可行解，則如果原問題和對(duì)偶問題同為可行解，則為最優(yōu)解影子價(jià)格線性規(guī)劃對(duì)偶問題考慮如下的互為對(duì)偶的線性規(guī)劃設(shè)為（D）的最優(yōu)解，則稱為規(guī)劃（P）的第i個(gè)約束對(duì)應(yīng)的影子價(jià)格（ShadowPrice）

換句話說，為第第i種資源（例如設(shè)備臺(tái)時(shí)）的一種估價(jià)

這個(gè)價(jià)格不是市場(chǎng)價(jià)格，而是針對(duì)具體企業(yè)在一定時(shí)期內(nèi)存在的一種特殊價(jià)格，它蘊(yùn)含在追求最大利潤(rùn)的生產(chǎn)計(jì)劃之中。資源的市場(chǎng)價(jià)格隨供求關(guān)系而變，而他的影子價(jià)格則有賴于資源的利用情況，隨企業(yè)生產(chǎn)任務(wù)、產(chǎn)品結(jié)構(gòu)等情況發(fā)生變化而改變。影子技價(jià)格線性振規(guī)劃鄰對(duì)偶呢問題影子擔(dān)價(jià)格旺的經(jīng)敵濟(jì)含強(qiáng)義影子燃價(jià)格棒是對(duì)減現(xiàn)有摸資源移實(shí)現(xiàn)陪最大覺效益犧時(shí)的憤一種牛估價(jià)歡，由衫此可懲以決目定是否賤將既松有資捎源出遣租或翻投資脾購買魚新資厲源。從尊這種涼意義對(duì)上說加，影項(xiàng)子價(jià)鞏格是喬一種機(jī)會(huì)甘成本稠。影子價(jià)格是一種邊際價(jià)格，衡量資源變化對(duì)總效益的影響投資影子價(jià)格最高的資源可以讓總效益最大。但要注意，影子價(jià)格不是一成不變的，當(dāng)約束條件、產(chǎn)品利潤(rùn)發(fā)生變化時(shí)，有可能使影子價(jià)格發(fā)生變化。另外，資源增加有個(gè)度的問題，這在后面的靈敏度分析中會(huì)講到。定理3.3（互補(bǔ)松弛性）表明當(dāng)某種資源未得到充分利用時(shí)，即時(shí)，其影子價(jià)格為0。不為0，則說明該種資源已經(jīng)耗費(fèi)完畢：而當(dāng)該資源的影子價(jià)格影子棟價(jià)格線性宏規(guī)劃燭對(duì)偶段問題影子采價(jià)格灣的經(jīng)胳濟(jì)含炭義一般芝而言做，線翻性規(guī)霸劃問夢(mèng)題的弦求解盜是確壞定資豬源的美最優(yōu)驕分配誤方案麥，而教對(duì)于姐對(duì)偶受問題氣的求立解則財(cái)是確鈴定資暈源的測(cè)恰當(dāng)閱估價(jià)瘋。例如繩，用倍于公猴司內(nèi)是部結(jié)睛算等輸。單純婆形法揮中各檢驗(yàn)陪數(shù)的宴經(jīng)濟(jì)介意義：某種產(chǎn)品的產(chǎn)值生產(chǎn)該產(chǎn)品的消耗資源的總和即隱法含成奴本因此流，當(dāng)檢乏驗(yàn)數(shù)宇為正踐時(shí)，漆說明溜生產(chǎn)滾有利，可豬以在粘計(jì)劃啄中安派排。影子抓價(jià)格線性叫規(guī)劃戲?qū)ε純?cè)問題例：某外揚(yáng)貿(mào)公驢司準(zhǔn)合備購伴進(jìn)兩殖種產(chǎn)吩品A1幼,趕A濟(jì)2。購宇進(jìn)產(chǎn)軍品A1湖,每件萍需要10元，蹦占用5立方坦米的朗空間指，待旁每件A1賣出評(píng)后，炭可獲戰(zhàn)純利電潤(rùn)3元；忌購進(jìn)遠(yuǎn)產(chǎn)品A2，每萄件需違要15元，下占用3立方帝米的才空間竄，待紛每件A2賣出抗后，紛可獲料純利慶潤(rùn)4元。柏公司斑現(xiàn)有叉資金14樹00元，呢有43象0立方管米的既倉庫襖空間乖存放勿產(chǎn)品譜，根絹據(jù)這杜些條蘿件，擱可以土建立鼠求最鴿大的音線性何規(guī)劃泥模型泰：資源1資源2影子枯價(jià)格線性炮規(guī)劃怠對(duì)偶數(shù)問題求解較后的牌如下竭的最腿優(yōu)單斧純形郵表：cBxBb3400x1x2x3x44x260011/9-2/93x15010-1/151/3cj-zj00-11/45-1/9由表堪中可挪知最須優(yōu)方寺案是疊分別恭購進(jìn)A1和A2產(chǎn)品50和60件，類最大詳利潤(rùn)匠為39才0元。假設(shè)歷公司踐現(xiàn)有棒閑余岡資金58剖5元，須準(zhǔn)備渡用于通投資獨(dú)，增帳加每光立方進(jìn)米倉辛庫需0.倡8元。葡問這霸筆資扁金是核用來叮投資叼倉庫寧好呢農(nóng)還是擴(kuò)購買猶產(chǎn)品棋好？影子假價(jià)格線性魔規(guī)劃汗對(duì)偶司問題cBxBb3400x1x2x3x44x260011/9-2/93x15010-1/151/3cj-zj00-11/45-1/9假設(shè)錯(cuò)公司狀現(xiàn)有茶閑余果資金58絹5元，惠準(zhǔn)備姨用于垮投資撲，增剃加每撒立方橋米倉廟庫需0.劃8元。衡問這攻筆資俱金是再用來客投資榜倉庫呈好呢?fù)襁€是滋購買肢產(chǎn)品禽好？分析裳：從表叮中個(gè)醫(yī)可以笑看出敗，對(duì)架應(yīng)產(chǎn)燭品和合倉庫裙的影封子價(jià)廁格分貨別為11弄/4堵5和1/液9元。每投自資1元用因于倉辣庫的灣邊際農(nóng)效益冶為：1/扎9/努0.貍8=啦0.膠14元每投妥資1元用管于產(chǎn)器品的片邊際標(biāo)效益味為11案/4偵5=混0.諸24元應(yīng)該考慮購買產(chǎn)品將585元投資購買產(chǎn)品后，最大利潤(rùn)增加為：585*11/45=143元可以通過新模型求解驗(yàn)證，最優(yōu)解為對(duì)偶釘單純鄙形法線性棗規(guī)劃蠅對(duì)偶衡問題基本這思路從原努規(guī)劃福的一留個(gè)基墊本解田出發(fā)送（未席必為鍛可行撿解）杯，其眉對(duì)應(yīng)恐一個(gè)對(duì)偶養(yǎng)可行蛾解（檢驗(yàn)球數(shù)非欺正）。檢驗(yàn)胞原規(guī)濱劃的鳳基本柄解是更否可寺行（煙即是傻否有斷負(fù)分益量）務(wù)，如秘果有陡小于0的分妄量，聲則進(jìn)突行迭查代，拿求另利一個(gè)棒基本典解，省此基誰本解從對(duì)應(yīng)話著另蚊一個(gè)到對(duì)偶爽可行沾解（檢驗(yàn)裕數(shù)非揀正）。如果叫得到敗的基匹本解談的分要量皆蹲非負(fù)家，則筍該解嫌為最尊優(yōu)解令。也就模是說事，對(duì)丈偶單柴純形能法在浩迭代名過程塘中始終地保持回對(duì)偶肢解的哄可行織性（論即檢晶驗(yàn)數(shù)多非正門），使原衣規(guī)劃內(nèi)的基滑本解秀逐步賠變?yōu)轱柨尚卸挘⑵玫浇宰顑?yōu)揮解。對(duì)偶瞇單純斃形法線性群規(guī)劃企對(duì)偶邁問題主要較步驟建立膚初始滔單純士形表。舉根據(jù)犯典式假形式柏建立妥初始勺對(duì)偶桶單純幟形表干，此另表對(duì)情應(yīng)原層規(guī)劃傲一個(gè)蓄基本嚇解。拔要求滴：檢砍驗(yàn)數(shù)具行個(gè)櫻元素作皆非仙正，田但原缸規(guī)劃伐基本喚解可什以有添小于忘零的秋分量痛。確定出基變量。若基本解的所有分量皆非負(fù)，則得到原規(guī)劃的最優(yōu)解。若基本解中有小于零的分量，且所在行所有系數(shù)，則原規(guī)劃無可行解。若，且存在，則確定最小的對(duì)應(yīng)變量為出基變量。

(3)確定進(jìn)基變量。計(jì)算確定為進(jìn)基變量

(4)迭代更新單純形表。以為中心元素，參照單純形法對(duì)表進(jìn)行迭代計(jì)算。(5陰)通過摸循環(huán)賀迭代詢找出售最優(yōu)掃解。對(duì)偶貞單純州形法線性川規(guī)劃佩對(duì)偶舍問題例：用對(duì)菌偶單改純形柄法求劈燕解下現(xiàn)面的牌線性光規(guī)劃（s.紋t.）對(duì)偶嬌單純散形法線性懇規(guī)劃養(yǎng)對(duì)偶伐問題解：(1)引入松弛變量 化為標(biāo)準(zhǔn)形,并在約束等式兩側(cè)同乘-1，得到 為基變量，此式即為典式形式，并且檢驗(yàn)數(shù)皆非正，因此可構(gòu)造初始對(duì)偶單純形表。初始表中基本解的三個(gè)分量小于零，不是可行解，需進(jìn)行迭代求解新的基本解。對(duì)偶供單純窄形法線性蕩規(guī)劃如對(duì)偶展問題基本解分量<0，非可行最小x4為出基變量計(jì)算（與單純性表格計(jì)算反過來）確定x2為進(jìn)基變量因此忍，以a2菠2=紹-3為中匙心元悶素，茅更新煩表格怠，并神繼續(xù)貨迭代對(duì)偶破單純碌形法線性愧規(guī)劃辭對(duì)偶典問題仍然有負(fù)數(shù)，非可行最小x3為出基變量計(jì)算確定x1為進(jìn)基變量因此羞，以a1敬1=文-3驅(qū)/5為中疏心元蝕素，斗更新灘表格行，并習(xí)繼續(xù)挑迭代對(duì)偶穴單純妨形法線性伙規(guī)劃粒對(duì)偶躲問題用對(duì)趴偶單梨純形顧法求痛解此質(zhì)問題宜，只聰經(jīng)過緊兩次圈迭代酷便得錫到了議最優(yōu)桶解。矮如果特仍采鼠用單端純形獵法求秘解的聞話，舟在化檔成標(biāo)艘準(zhǔn)形桂式后秩，為桌得到倡初始喘基本馳解，兄需要辣加3個(gè)人啞工變必量。綱這樣元，為河了得仇到問網(wǎng)題的酬最優(yōu)肅解，不至少出需要3次迭敞代，談才能鎮(zhèn)讓人嫂工變疊量出杜基，鈔顯然躍，計(jì)幕算量非大大咐增加博。對(duì)偶盟單純婦形法線性牙規(guī)劃些對(duì)偶趕問題對(duì)于翁有些賄線性串規(guī)劃棵問題驕，如昂果在份開始她時(shí)不嚷能很漫快讓誼所有戰(zhàn)檢驗(yàn)上數(shù)非挑正，最好襲還是糧使用仙單純叔形法禽求解，免饞去使省所有誰檢驗(yàn)丘數(shù)非耀負(fù)所故做的手工作事。對(duì)偶鑒單純奔形法插使用籠于如耳下形蔽式的春模型在引攏入松著弛變伍量并北華為杏標(biāo)準(zhǔn)拳形式涂后，驕約束相等式識(shí)兩邊博同乘場(chǎng)以-1，能藥夠立太即得毅到檢愧驗(yàn)數(shù)買全部園非正誓的原阻規(guī)劃城基本肉解，偶可以敵直接妨剪力劑初始饅對(duì)偶懷單純般形表坑求解及，非顛常方晴便。靈敏疏度分背析線性蜻規(guī)劃始對(duì)偶販問題在前面的線性規(guī)劃問題中都認(rèn)為線性規(guī)劃模型中的各個(gè)系數(shù)是確定的常數(shù)。

但實(shí)沃際中肌由于屠種種罷原因捕，這臺(tái)些系所數(shù)很臘難確廁定，刃一般盜只是臘估值守。對(duì)問繳題求咳解后羞需要現(xiàn)最這緩些估客值進(jìn)啊行一夫些分托析以隙決定是否傍需要輸調(diào)整。另外稅，周走圍環(huán)歡境的灣變化塑也會(huì)黎使系見數(shù)發(fā)恥生變窩化，孫影響劃最優(yōu)筍解。因此，還需要研究最優(yōu)解對(duì)數(shù)據(jù)變化的反應(yīng)程度，以使決策者全面地考慮問題，以適應(yīng)各種偶然變化靈敏筐度分判析線性農(nóng)規(guī)劃畏對(duì)偶巷問題（1）變氏量變爽化對(duì)露最優(yōu)胡解的顛影響靈敏譜度分擁析研教究的蜜內(nèi)容：（2）增棚加變撥量或舌約束蠟對(duì)最凱優(yōu)解逮的影愿響靈敏鍵度分跌析采倘用的逗方法：不必嘆重新采求解厭，而頌是從慕已經(jīng)次得到脖的最駱優(yōu)解會(huì)出發(fā)手，通您過對(duì)藥變化龜數(shù)據(jù)場(chǎng)進(jìn)行淹一些企簡(jiǎn)單寒的計(jì)抹算，偽便可萍迅速根得到剖所需跡要的賀結(jié)果幸，以雁及變候化后州的最獅優(yōu)解武。靈敏勝度分嶄析的昏步驟：（教肚材P6父7）靈敏艘度分撈析線性羨規(guī)劃堅(jiān)對(duì)偶什問題由前遲面的筋講述銳我們它知道割，對(duì)糧于線暮性規(guī)惡劃模智型s.源t.有代入如果基本梯解的搬矩陣羽表示時(shí)的基解靈敏鏡度分臺(tái)析線性臣規(guī)劃刮對(duì)偶處問題檢驗(yàn)需數(shù)的呀向量成表示由前弊知檢能驗(yàn)數(shù)芝可以奇用如跡下的傷形式奮表示賺出來熄：其中B為可行基，分別為基變量和非基變量的目標(biāo)函數(shù)系數(shù)向量和展開靈敏薪度分掌析線性栗規(guī)劃我對(duì)偶朝問題檢驗(yàn)光數(shù)的蜘向量趟表示因此得到檢驗(yàn)數(shù)的向量表示為若令檢驗(yàn)數(shù)的另一表達(dá)方式靈敏與度分擊析線性牢規(guī)劃卸對(duì)偶戒問題目標(biāo)賓函數(shù)琴系數(shù)胡（cj）的朵變化假設(shè)秘只有宮一個(gè)cj發(fā)生身變化眼，分巨兩種令情況役：研究析最優(yōu)梁解受唱數(shù)據(jù)犧變化堵的影壤響情租況主憶要考鹽慮兩罪個(gè)方宵面:一是心解的虛最優(yōu)雷性，妥即檢驗(yàn)購數(shù)是按否仍皮然非址正;一是解的別可行特性，即半基本叮解的芳各個(gè)授分量夫是否剖非負(fù)辦。下資面的在討論艇將圍響繞這紀(jì)兩個(gè)賣方面富展開亡。（1）ck是非拍基變麗量只需考慮其對(duì)應(yīng)的的變化是否會(huì)引起最優(yōu)解的改變只要滿足則最優(yōu)解不變；否則，最優(yōu)解將發(fā)生變化，需繼續(xù)迭代求出最優(yōu)解。靈敏旗度分奧析線性罵規(guī)劃摔對(duì)偶僻問題目標(biāo)埋函數(shù)麥系數(shù)紀(jì)（cj）的庭變化（1）ck是非連基變溫量（2）ck是基志變量當(dāng)基變量的系數(shù)發(fā)生變化時(shí)，檢驗(yàn)數(shù)計(jì)算式的第二項(xiàng)發(fā)生了變化，從而所有的檢驗(yàn)數(shù)將發(fā)生變化。對(duì)某一非基變量對(duì)應(yīng)的已有的檢驗(yàn)數(shù)，有原對(duì)應(yīng)列靈敏死度分軋析線性銀規(guī)劃巷對(duì)偶文問題目標(biāo)啊函數(shù)矩系數(shù)灶（cj）的搏變化（1）ck是非刃基變敞量（2）ck是基迎變量滿足所有的可保證最優(yōu)解不變，否則需要重新迭代尋求最優(yōu)解。（例升子：健教材P6旅7-蹲68）靈敏凍度分嗽析線性桶規(guī)劃浩對(duì)偶岔問題目標(biāo)樣函數(shù)月系數(shù)鋸（cj）的飽變化右端冰常數(shù)那（bi）的轉(zhuǎn)變化bi的變才化不缸會(huì)引側(cè)起檢柄驗(yàn)數(shù)坡的變堅(jiān)化，陵但將摧影響蛇解的趁可行矩性若則最優(yōu)基保持不變，只需將變化后的b1代入計(jì)算即可得到最優(yōu)解；若出現(xiàn)負(fù)值則最優(yōu)解將發(fā)生變化，需要繼續(xù)迭代。（例詳子：屑教材P6冊(cè)9）增加埋新的猜變量對(duì)某一新增變量對(duì)應(yīng)的約束系數(shù)列，由 有如果滿足所有的則最優(yōu)解不變?cè)黾铀鸵粋€(gè)秧約束鬼?xiàng)l件看教嚇材其實(shí)寶，還折有約惕束系娘數(shù)變籍動(dòng)的桌情形本章無小結(jié)線性質(zhì)規(guī)劃代對(duì)偶配問題線性僅規(guī)劃秧問題捐的特圓性就庫是對(duì)紐奉于任棕何一引個(gè)求靜極大凍值的桐線性葡規(guī)劃躁問題蒙都有替一個(gè)沫與之達(dá)對(duì)應(yīng)風(fēng)的求夸最小柿值的姻線性班規(guī)劃笛問題糧，這兩個(gè)恒問題蛾互為虹對(duì)偶糧，存預(yù)在密販切關(guān)紅系。線卵性規(guī)伐劃的失對(duì)偶亡性在遭經(jīng)濟(jì)乓學(xué)的燙角度稠看可引以認(rèn)讀為是爛一個(gè)叮問題存的兩延個(gè)方酒面，即優(yōu)罩化生繭產(chǎn)組酬織和壘提高蓋資源馬利用螞率。本章計(jì)首先跨引人聲了線對(duì)性規(guī)嘗劃的哥對(duì)偶喜問題敘，分辰析了只線性奶規(guī)劃框問題產(chǎn)及對(duì)姓偶問瀉題的少特征登及在斯形式多上相議互轉(zhuǎn)粒換的仙規(guī)則接，并師介紹趙了對(duì)運(yùn)偶定督理，桂揭示蛛了線胖性規(guī)灶劃與齡其對(duì)累偶問讀題的們深刻哲的內(nèi)妄在聯(lián)黃系。盲然后類闡述影子棉價(jià)格慶概念，指短出影序子價(jià)扣格就撞是線抗性規(guī)稅劃問古題的隆對(duì)偶瘦問題憶要解綢決的到資源考的潛乏在價(jià)絞值的傳反映院。影施子價(jià)攀格可爭(zhēng)用于撥知道絲式生產(chǎn)復(fù)過程疫中是脖否投門資或末轉(zhuǎn)移釣?zāi)撤N顆資源走的決帶策。對(duì)偶丘單純平形法悠是把添單純?nèi)庑畏ê枷霐[和對(duì)鳥偶思占想結(jié)軟合的豪方法建，其鈔求解剖步驟索與單燒純形張法有駐一定因的對(duì)捐應(yīng)關(guān)陣系，曠對(duì)偶時(shí)單純送形法脖有明畫確的蜜適用貝范圍波，是擠單純棉形法裳的重粒要補(bǔ)帥充。由于貪在現(xiàn)蛇實(shí)中墊線性贏規(guī)劃想模型女中的丹各個(gè)室系數(shù)枕或約蒙束條奶件在聚現(xiàn)實(shí)離生活踢中可設(shè)能發(fā)由生變屬化，腳因此司需要筑分析餃當(dāng)這初些系鑄數(shù)發(fā)唉生