13．2概率及其計(jì)算第一課時(shí)古典概率模型1．古典概率(1)設(shè)試驗(yàn)的全集Ω有n個(gè)元素，且每個(gè)元素發(fā)生的可能性相同．當(dāng)Ω的大事A包含了m個(gè)元素時(shí)，稱P(A)＝eq\f(m,n)為大事A發(fā)生的概率，簡(jiǎn)稱為A的概率，并把上述定義描述的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型．(2)特點(diǎn)：①試驗(yàn)中全部可能消失的元素只有有限個(gè)；②每個(gè)元素消失的可能性相等．(3)公式：對(duì)于古典概型，大事A的概率計(jì)算公式為：P(A)＝eq\f(A中包含的元素個(gè)數(shù),全集中的元素個(gè)數(shù)).2．概率的性質(zhì)(1)0≤P(A)≤1(概率總是[0,1]中的數(shù))(2)P(Ω)＝1，(必定大事的概率為1)(3)P(?)＝0，(不行能大事的概率為零)3．概率的加法公式假如Ω的大事A，B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．4．對(duì)立大事的概率公式假如A是全集Ω的大事，那么P(Ω\A)＝1－P(A)．1．如何確定一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型？提示：(1)試驗(yàn)中全部可能消失的元素是有限個(gè)．(2)試驗(yàn)中每個(gè)元素消失的可能性相等．2．假設(shè)大事A?B，那么P(A)與P(B)有什么關(guān)系呢？提示：假設(shè)A?B，那么P(A)≤P(B)，P(A∪B)＝P(B)，P(A∩B)＝P(A)．3．應(yīng)用概率加法公式與對(duì)立大事中的概率公式應(yīng)留意哪些問(wèn)題？提示：(1)應(yīng)用概率加法公式的前提是全集中的兩大事互斥，所以假設(shè)想運(yùn)用此公式，必需先推斷兩大事是否互斥，假如不互斥，那么不能應(yīng)用．(2)對(duì)立大事的概率公式的實(shí)質(zhì)是兩對(duì)立大事的概率之和為1，當(dāng)直接求某大事的概率比擬麻煩時(shí)，可考慮運(yùn)用此公式，轉(zhuǎn)化為求其對(duì)立大事的概率．簡(jiǎn)潔的古典概型的概率(山東高考)某旅游愛(ài)好者方案從3個(gè)亞洲國(guó)家A1，A2，A3和3個(gè)歐洲國(guó)家B1，B2，B3中選擇2個(gè)國(guó)家去旅游．(1)假設(shè)從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率；(2)假設(shè)從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家包括A1但不包括B1的概率．[解](1)由題意知，從6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè)國(guó)家，其全部可能的結(jié)果組成的根本領(lǐng)件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15個(gè)．所選兩個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的大事所包含的根本領(lǐng)件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3個(gè)．那么所求大事的概率為P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(2)從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè)，其全部可能的結(jié)果組成的根本領(lǐng)件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9個(gè)．包括A1但不包括B1的大事所包含的根本領(lǐng)件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2個(gè)，那么所求大事的概率為P＝eq\f(2,9).求解古典概型的概率“四步〞法1．某地區(qū)有學(xué)校21所，中學(xué)14所，高校7所，現(xiàn)采納分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對(duì)同學(xué)進(jìn)行視力調(diào)查．(1)求應(yīng)從學(xué)校、中學(xué)、高校中分別抽取的學(xué)校數(shù)目；(2)假設(shè)從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，①列出全部可能的抽取結(jié)果；②求抽取的2所學(xué)校均為學(xué)校的概率．解：(1)由題意，從學(xué)校中抽取的學(xué)校數(shù)目為：6×eq\f(21,21＋14＋7)＝3，從中學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為：6×eq\f(14,21＋14＋7)＝2，那么從高校中抽取的學(xué)校數(shù)目為1.(2)①在抽取到的6所學(xué)校中，3所學(xué)校分別記為A1，A2，A3,2所中學(xué)分別記為A4，A5，高校記為A6，那么抽取2所學(xué)校．試驗(yàn)的全集Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，共15個(gè)元素．②用B表示大事從6所學(xué)校中抽取的2所學(xué)校均為學(xué)校，那么B＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3個(gè)元素．所以P(B)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).簡(jiǎn)單古典概型的概率現(xiàn)有8名奧運(yùn)會(huì)志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通曉日語(yǔ)，B1，B2，B3通曉俄語(yǔ)，C1，C2通曉韓語(yǔ)．從中選出通曉日語(yǔ)、俄語(yǔ)和韓語(yǔ)的志愿者各1名，組成一個(gè)小組．(1)M表示A1被選中，求P(M)；(2)N表示B1和C1全被選中，求P(N)；(3)P(M∪N)，P(M∩N)，P(Ω\N)．[解]試驗(yàn)的全集Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}．(1)M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，P(M)＝eq\f(6,18)＝eq\f(1,3).(2)N＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，∴P(N)＝eq\f(3,18)＝eq\f(1,6).(3)M∪N＝{(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C2)，(A1，B1，C2)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，∴P(M∪N)＝eq\f(8,18)＝eq\f(4,9).M∩N＝{(A1，B1，C1)}，∴P(M∩N)＝eq\f(1,18).P(Ω\N)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).求較簡(jiǎn)單大事的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是理解題目的實(shí)際含義，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為概率模型．必要時(shí)將所求大事轉(zhuǎn)化成彼此互斥的大事的和，或者先求其對(duì)立大事的概率，進(jìn)而再用互斥大事的概率加法公式或?qū)α⒋笫碌母怕使角蠼猓?．袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號(hào)分別為1,2,3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號(hào)分別為1,2.(1)從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一張標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率．解：(1)標(biāo)號(hào)為1,2,3的三張紅色卡片分別記為A，B，C，標(biāo)號(hào)為1,2的兩張藍(lán)色卡片分別記為D，E，從五張卡片中任取兩張，試驗(yàn)的全集Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)}，共10個(gè)元素．由于每一張卡片被取到的時(shí)機(jī)均等，因此這些根本領(lǐng)件的消失是等可能的．用M表示大事從五張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于4.M＝{(A，D)，(A，E)，(B，D)}，M中共3個(gè)元素．所以這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于4的概率為eq\f(3,10).(2)記F為標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片，從六張卡片中任取兩張，試驗(yàn)的全集Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))}，共15個(gè)元素．由于每一張卡片被取到的時(shí)機(jī)均等，因此這些根本領(lǐng)件的消失是等可能的．用大事N表示大事從六張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于4，N＝{(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F(xiàn))，(B，F(xiàn))，(C，F(xiàn))，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))}，共8個(gè)元素．所以這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于4的概率為eq\f(8,15).互斥大事、對(duì)立大事的概率一盒中裝有大小和質(zhì)地均相同的12只小球，其中5個(gè)紅球，4個(gè)黑球，2個(gè)白球，1個(gè)綠球．從中隨機(jī)取出1球，求(1)取出的小球是紅球或黑球的概率；(2)取出的小球是紅球或黑球或白球的概率．[解]記大事A＝“任取1球?yàn)榧t球〞；B＝“任取1球?yàn)楹谇颞?；C＝“任取1球?yàn)榘浊颞?；D＝“任取1球?yàn)榫G球〞，那么P(A)＝eq\f(5,12)，P(B)＝eq\f(4,12)，P(C)＝eq\f(2,12)，P(D)＝eq\f(1,12).(1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P1＝P(A)＋P(B)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為P2＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).(或P2＝1－P(D)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12))．求簡(jiǎn)單的互斥大事的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求大事的概率分解為一些彼此互斥的大事的概率的和，運(yùn)用互斥大事的求和公式計(jì)算．二是間接求法，先求此大事的對(duì)立大事的概率，再用公式P(A)＝1－P(Ω\A)，即運(yùn)用逆向思維(正難那么反)，特殊是“至多〞，“至少〞型題目，用間接求法就顯得較簡(jiǎn)便．3．某射擊運(yùn)發(fā)動(dòng)在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)、7環(huán)以下的概率分別為0.1,0.2,0.3,0.3，0.1.計(jì)算這個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)在一次射擊中：(1)射中10環(huán)或9環(huán)的概率；(2)至少射中7環(huán)的概率．解：設(shè)“射中10環(huán)〞、“射中9環(huán)〞、“射中8環(huán)〞、“射中7環(huán)〞、“射中7環(huán)以下〞的大事分別為A，B，C，D，E，那么(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3.所以射中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.3.(2)由于射中7環(huán)以下的概率為0.1，所以由對(duì)立大事的概率公式，得至少射中7環(huán)的概率為1－0.1＝0.9.[隨堂體驗(yàn)落實(shí)]1．有紅心1,2,3和黑桃4,5這5張撲克牌，將牌點(diǎn)向下置于桌上，現(xiàn)從中任取一張，那么抽到的牌為紅心的概率為()A.eq\f(3,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,5) D.eq\f(4,5)解析：選A試驗(yàn)的全集中共有5個(gè)元素，而抽到紅心有3種狀況．∴P＝eq\f(3,5).2．從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)，那么取出的2個(gè)數(shù)之差的肯定值為2的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)解析：選B試驗(yàn)的全集Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，取出的2個(gè)數(shù)之差的肯定值為2的有{(1,3)，(2,4)}，故所求概率為eq\f(1,3).3．先后拋擲三枚勻稱的硬幣，至少消失一次正面對(duì)上的概率為()A.eq\f(1,8) B.eq\f(3,8)C.eq\f(7,8) D.eq\f(5,8)解析：選C易計(jì)算“三次均反面對(duì)上〞的概率為eq\f(1,8)，那么“至少消失一次正面〞向上的概率為1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).4．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是eq\f(1,2)，乙獲勝的概率是eq\f(1,3)，那么乙不輸?shù)母怕适莀_______．解析：“乙不輸〞意味著“乙獲勝或兩人下成和棋〞，故乙不輸?shù)母怕蕿镻＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6).5．從3男3女共6名同學(xué)中任選2名(每名同學(xué)被選中的時(shí)機(jī)均等)，這2名都是女同學(xué)的概率等于________．解析：設(shè)3名男同學(xué)分別為a1，a2，a3,3名女同學(xué)分別為b1，b2，b3，試驗(yàn)的全集Ω＝{a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，b1b2，b1b3，b2b3}，共15個(gè)元素，其中都是女同學(xué)的有3個(gè)，所以概率P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)[感悟高手解題][妙解題]袋中有12個(gè)小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率為eq\f(1,3)，得到黑球或黃球的概率是eq\f(5,12)，得到黃球或綠球的概率也是eq\f(5,12)，試求得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率各是多少？[解]從袋中任取一球，記大事“得到紅球〞、“得到黑球〞、“得到黃球〞、“得到綠球〞分別為A，B，C，D，那么有P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(5,12)；P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝eq\f(5,12)；P(B∪C∪D)＝1－P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，P(B)＝P(B∪C∪D)－P(C∪D)，解得P(B)＝eq\f(1,4).同理，P(D)＝eq\f(1,4).P(C)＝P(C∪D)－P(D)＝eq\f(5,12)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,6).一、選擇題1．一個(gè)口袋內(nèi)裝有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，那么先摸出1個(gè)白球后放回，再摸出1個(gè)白球的概率是()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)解析：選C先摸出1個(gè)白球后放回，再摸出1個(gè)白球的概率，實(shí)質(zhì)就是其次次摸出白球的概率，由于袋內(nèi)有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，因此P＝eq\f(2,5).2．甲、乙兩人隨便入住兩間空房，那么甲、乙兩人同住一間房的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：選C試驗(yàn)的全集為Ω＝{(甲A，乙B)，(甲A，乙A)，(甲B，乙A)，(甲B，乙B)}，甲、乙同住一間房：{(甲A，乙A)，(甲B，乙B)}，∴P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).3．古代“五行〞學(xué)說(shuō)認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、水、火、土五種屬性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．〞從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機(jī)抽取兩種，那么抽取的兩種物質(zhì)不相克的概率為()A.eq\f(3,10) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,5)解析：選C從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機(jī)抽取兩種，試驗(yàn)的全集Ω＝{(金，木)、(金，水)、(金，火)、(金，土)、(木，水)、(木，火)、(木，土)、(水，火)、(水，土)、(火，土)}共10種等可能發(fā)生的結(jié)果．其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5種，那么不相克的也是5種，所以抽取的兩種物質(zhì)不相克的概率為eq\f(1,2).4．假設(shè)某公司從五位高校畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的時(shí)機(jī)均等，那么甲或乙被錄用的概率為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(9,10)解析：選D記大事A：甲或乙被錄用．從五人中錄用三人，試驗(yàn)的全集Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，共10個(gè)元素，而A的對(duì)立大事Ω/A僅有(丙，丁，戊)，∴A的對(duì)立大事Ω/A的概率為P(Ω/A)＝eq\f(1,10)，∴P(A)＝1－P(Ω/A)＝eq\f(9,10).二、填空題5．從含有3個(gè)元素的集合的子集中任取一個(gè)，所取得的子集是含有2個(gè)元素的集合的概率是________．解析：{a，b，c}的全部子集共有8個(gè)：?，{a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，含有兩個(gè)元素的子集有3個(gè)．∴P＝eq\f(3,8).答案：eq\f(3,8)6．同時(shí)拋擲兩枚骰子，沒(méi)有5點(diǎn)或6點(diǎn)的概率為eq\f(4,9)，那么至少有一個(gè)5點(diǎn)或6點(diǎn)的概率是________．解析：記“沒(méi)有5點(diǎn)或6點(diǎn)〞為大事A，那么P(A)＝eq\f(4,9)，記“至少有一個(gè)5點(diǎn)或6點(diǎn)〞為大事B，由于A∩B＝?，A∪B為必定大事，所以大事A與大事B是對(duì)立大事，所以P(B)＝1－P(A)＝1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9).所以至少有一個(gè)5點(diǎn)或6點(diǎn)的概率是eq\f(5,9).答案：eq\f(5,9)7．三張卡片上分別寫(xiě)上字母E，E，B，將三張卡片隨機(jī)地排成一行，恰好排成英文單詞BEE的概率為_(kāi)_______．解析：試驗(yàn)的全集為Ω＝{(B，E1，E2)，(B，E2，E1)，(E1，B，E2)，(E1，E2，B)，(E2，B，E1)，(E2，E1，B)}共有6個(gè)元素，滿意要求的有兩個(gè)．∴P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．假設(shè)從中隨機(jī)摸出兩只球，那么它們顏色不同的概率是________．解析：用A，B，C表示3個(gè)白球，d表示黑球，那么Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，d)，(B，C)，(B，d)，(C，d)}共有6個(gè)元素．兩只球顏色不同的為{(A，d)，(B，d)，(C，d)}，∴P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)三、解答題9．為了了解?道路交通平安法?在同學(xué)中的普及狀況，調(diào)查部門對(duì)某校6名同學(xué)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，6人得分狀況如下：5,6,7,8,9,10.把這6名同學(xué)的得分看成一個(gè)總體．(1)求該總體的平均數(shù)；(2)用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣方法從這6名同學(xué)中抽取2名，他們的得分組成一個(gè)樣本．求該樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的肯定值不超過(guò)0.5的概率．解：(1)總體的平均數(shù)為eq\f(1,6)(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5.(2)用A表示大事樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的肯定值不超過(guò)0.5.Ω＝{(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)}共有15個(gè)元素，A＝{(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)}共有7個(gè)元素，∴P(A)＝eq\f(7,15).10．某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中，購(gòu)滿100元商品得一張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得，每1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開(kāi)獎(jiǎng)單位．設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的大事分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)抽取1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)概率；(3)抽取1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)或一等獎(jiǎng)的概率．解：(1)∵每1000張獎(jiǎng)券中設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)，∴P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).(2)設(shè)“抽取1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)〞為大事D，那么P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,1000)＋eq\f(1,100)＋eq\f(1,20)＝eq\f(61,1000).(3)設(shè)“抽取1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)或一等獎(jiǎng)〞為大事E，那么P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－eq\f(1,1000)－eq\f(1,100)＝eq\f(989,1000).其次課時(shí)幾何概率1．幾何概率定義1設(shè)試驗(yàn)的全集Ω是長(zhǎng)度為正數(shù)的區(qū)間，A是Ω的子區(qū)間，假如試驗(yàn)的結(jié)果隨機(jī)地落在Ω中，那么稱P(A)＝eq\f(A的長(zhǎng)度,Ω的長(zhǎng)度)為大事A發(fā)生的概率，簡(jiǎn)稱A的概率．2．幾何概率定義2設(shè)試驗(yàn)的全集Ω是面積為正數(shù)的區(qū)域，A是Ω的子區(qū)域，假如試驗(yàn)的結(jié)果隨機(jī)地落在Ω中，那么稱P(A)＝eq\f(A的面積,Ω的面積)為大事A發(fā)生的概率，簡(jiǎn)稱A的概率．3．幾何概率的性質(zhì)(1)0≤P(A)≤1(概率總是[0,1]中的數(shù))．(2)P(Ω)＝1(必定大事的概率是1)．(3)P(?)＝0(不行能大事的概率為0)．(4)假如A，B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)P(A)＋P(Ω\A)＝1(對(duì)立大事概率之和等于1)．1．幾何概率有什么特點(diǎn)？提示：(1)試驗(yàn)中消失的結(jié)果有無(wú)限個(gè)．(2)每個(gè)結(jié)果消失的可能性相等．2．古典概型與幾何概率的區(qū)分和聯(lián)系是什么？提示：幾何概率也是一種概率模型，它與古典概型的區(qū)分是：古典概型的試驗(yàn)結(jié)果是有限的，而幾何概率的試驗(yàn)結(jié)果是無(wú)限的．聯(lián)系是：每個(gè)根本領(lǐng)件的發(fā)生都是等可能的．幾何概率的特點(diǎn)是每個(gè)根本領(lǐng)件在一個(gè)區(qū)域內(nèi)勻稱分布，所以隨機(jī)大事概率的大小與隨機(jī)大事所在區(qū)域的外形、位置無(wú)關(guān)，只與區(qū)域的大小有關(guān)．3．“概率為1的大事肯定是必定大事，概率為0的大事肯定是不行能大事〞，這個(gè)說(shuō)法正確嗎？提示：假如隨機(jī)大事所在的區(qū)域是一個(gè)單點(diǎn)，由于單點(diǎn)的長(zhǎng)度、面積、體積均為0，那么它消失的概率為0，但它不是不行能大事；假如一個(gè)隨機(jī)大事所在的區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個(gè)單點(diǎn)，那么它消失的概率為1，但不是必定大事．與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概率某人欲從某車站乘車出差，從該站發(fā)往目的地的客車為每小時(shí)一班，求此人等車時(shí)間不多于10分鐘的概率．[解]試驗(yàn)的全集為Ω＝[0,60]，A＝[50,60]表示此人恰好等車的時(shí)間不多于10分鐘，由幾何概率得P(A)＝eq\f(60－50,60)＝eq\f(1,6)，即此人等車時(shí)間不多于10分鐘的概率為eq\f(1,6).與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概率問(wèn)題，要把握好全集所代表的區(qū)域長(zhǎng)度以及子區(qū)域所代表的區(qū)域長(zhǎng)度，當(dāng)子區(qū)域被給予了肯定條件后可能變得較為簡(jiǎn)單，因此，要時(shí)刻依據(jù)條件確定區(qū)域長(zhǎng)度．1．(全國(guó)卷Ⅰ)某公司的班車在7：30，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，那么他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)解析：選B如圖，7：50至8：30之間的時(shí)間長(zhǎng)度為40分鐘，而小明等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘是指小明在7：50至8：00之間或8：20至8：30之間到達(dá)發(fā)車站，此兩種狀況下的時(shí)間長(zhǎng)度之和為20分鐘，由幾何概型概率公式知所求概率為P＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2).應(yīng)選B.與面積有關(guān)的幾何概率墻上掛著一塊邊長(zhǎng)為16cm的正方形木板，上面畫(huà)了小、中、大三個(gè)同心圓，半徑分別為2cm,4cm,6cm，某人站在3m之外向此板投鏢，設(shè)投鏢擊中線上或沒(méi)有投中木板時(shí)都不算，可重投，問(wèn)：(1)投中大圓內(nèi)的概率是多少？(2)投中小圓與中圓形成的圓環(huán)的概率是多少？(3)投中大圓之外的概率是多少？解：依題意知S正方形＝16×16＝256(cm2)，S小圓＝π×22＝4π(cm2)，S圓環(huán)＝π×42－π×22＝12π(cm2)，S大圓＝π×62＝36π(cm2)，S大圓外＝16×16－36π＝(256－36π)cm2，那么(1)投中大圓的概率P(A1)＝eq\f(36π,256)≈0.442；(2)投中小圓與中圓形成的圓環(huán)的概率P(A2)＝eq\f(12π,256)≈0.147；(3)投中大圓之外的概率P(A3)＝eq\f(256－36π,256)＝1－eq\f(36π,256)＝1－P(A1)≈0.558.求與面積有關(guān)的幾何概率的步驟是：首先把大事轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域，其次，求出相應(yīng)區(qū)域的面積，最終利用面積比確定概率．2．如圖，在一個(gè)邊長(zhǎng)為3cm的正方形內(nèi)部畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的正方形，向大正方形內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)，求所投的點(diǎn)落入小正方形內(nèi)的概率．解：記A＝{所投點(diǎn)落入小正方形內(nèi)}，S小正方形＝22＝4(cm2)，S大正方形＝32＝9(cm2)，∴P(A)＝eq\f(S小正方形,S大正方形)＝eq\f(4,9).∴所投的點(diǎn)落入小正方形內(nèi)的概率是eq\f(4,9).[隨堂體驗(yàn)落實(shí)]1．在區(qū)間[20,80]上隨機(jī)取實(shí)數(shù)a，那么實(shí)數(shù)a在區(qū)間[50,75]的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(5,12) D.eq\f(7,12)解析：選CP＝eq\f(75－50,80－20)＝eq\f(25,60)＝eq\f(5,12).2．在半徑為1的半圓內(nèi)，放置一個(gè)邊長(zhǎng)為eq\f(1,2)的正方形ABCD，向半圓內(nèi)任投一點(diǎn)，點(diǎn)落在正方形內(nèi)的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,4π) D.eq\f(1,2π)解析：選D由幾何概率得P＝eq\f(\f(1,2)×\f(1,2),\f(1,2)×π×12)＝eq\f(1,2π).3.(全國(guó)卷Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色局部和白色局部關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，那么此點(diǎn)取自黑色局部的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(π,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(π,4)解析：選B不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，那么正方形的面積為4，正方形的內(nèi)切圓的半徑為1，面積為π.由題意，得S黑＝eq\f(1,2)S圓＝eq\f(π,2)，故此點(diǎn)取自黑色局部的概率P＝eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8).4．向如下圖的圓內(nèi)隨機(jī)撒上一粒黃豆，那么它落到陰影局部的概率是________．解析：設(shè)圓的半徑為R，由幾何概率知P＝eq\f(\f(1,2)R×2R,πR2)＝eq\f(1,π).答案：eq\f(1,π)5．一海豚在水池中自由游弋，水池為長(zhǎng)30m，寬20m的長(zhǎng)方形，求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過(guò)2m的概率．解：如圖設(shè)“海豚嘴尖離岸邊不超過(guò)2m〞為大事A，由于區(qū)域Ω的面積為30×20＝600(m2)，陰影局部的面積為30×20－26×16＝184(m2)．∴P(A)＝eq\f(184,600)＝eq\f(23,75).[感悟高手解題][妙解題]甲、乙兩人相約12∶00～13∶00在某地會(huì)面，假定每人在這段時(shí)間內(nèi)的每個(gè)時(shí)刻到達(dá)會(huì)面地點(diǎn)的可能性是相同的，先到者等20分鐘后便離去，試求兩人能會(huì)面的概率．[解]在平面上建立如下圖的直角坐標(biāo)系，直線x＝60，直線y＝60，x軸、y軸圍成一個(gè)正方形區(qū)域G.設(shè)甲12時(shí)x分到達(dá)會(huì)面地點(diǎn)，乙12時(shí)y分到達(dá)會(huì)面地點(diǎn)，這個(gè)結(jié)果與平面上的點(diǎn)(x，y)對(duì)應(yīng)．于是試驗(yàn)的全部可能結(jié)果就與G中的全部點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)．由題意知，每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果消失的可能性是相同的，因此，試驗(yàn)屬于幾何概型．甲、乙兩人能會(huì)面，當(dāng)且僅當(dāng)他們到達(dá)會(huì)面地點(diǎn)的時(shí)間差不超過(guò)20min，即|y－x|≤20，x－20≤y≤x＋20，因此，圖中的陰影區(qū)域g就表示“甲、乙能會(huì)面〞．簡(jiǎn)潔求得g的面積為602－402，即2000，G的面積為3600，由幾何概型的概率計(jì)算公式，“甲、乙能會(huì)面〞的概率為P(甲、乙能會(huì)面)＝eq\f(g的面積,G的面積)＝eq\f(5,9).一、選擇題1．“抖空竹〞是我國(guó)的一種傳統(tǒng)雜技，表演者在兩根直徑為8～12mm的桿上系一根長(zhǎng)度為1m的繩子，并在繩子上放一個(gè)空竹，那么空竹與繩子兩端的距離都大于0.4m的概率為()A.eq\f(2,5) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：選B空竹與繩子兩端的距離都大于0.4m，即空竹的運(yùn)行范圍為1－2×0.4＝0.2(m)，故所求大事的概率為P＝eq\,1)＝eq\f(1,5).2．在區(qū)間[1,3]上任取一數(shù)，那么這個(gè)數(shù)大于1.5的概率為()解析：[1.5,3]，利用幾何概率得P＝eq\,3－1)＝eq\,2)＝0.75.3．大事“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB〞發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，那么eq\f(AD,AB)＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(7),4)解析：選D矩形ABCD如下圖，在點(diǎn)P從D點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，DP在增大，AP也在增大，而B(niǎo)P在漸漸減小，當(dāng)P點(diǎn)到P1位置時(shí)，BA＝BP1，當(dāng)P點(diǎn)到P2位置時(shí)，AB＝AP2，故點(diǎn)P在線段P1P2上時(shí)，△ABP中邊AB最大，由題意可得P1P2＝eq\f(1,2)CD.在Rt△BCP1中，BPeq\o\al(2,1)＝eq\f(9,16)CD2＋BC2＝eq\f(9,16)AB2＋AD2＝AB2.即AD2＝eq\f(7,16)AB2，所以eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4).4．在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點(diǎn)D，那么△DBC的面積大于eq\f(S,4)的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D.eq\f(2,3)解析：選C如圖，在△ABC中，在AB上取點(diǎn)D使BD＝eq\f(1,4)AB，那么eq\f(h,H)＝eq\f(1,4)，此時(shí)S△DBC＝eq\f(1,4)S.在AB邊上取點(diǎn)D，那么全部的隨機(jī)結(jié)果為AB上的點(diǎn)，而使面積大于eq\f(S,4)的點(diǎn)落在AD上，