線性代數(shù)各版通用講例題初等變換秩演示文稿目前一頁\總數(shù)三十七頁\編于八點1（優(yōu)選）線性代數(shù)各版通用講例題初等變換秩目前二頁\總數(shù)三十七頁\編于八點2稱為矩陣A的伴隨矩陣.

A*

是用方陣A的元素的代數(shù)余子式組成的矩陣.目前三頁\總數(shù)三十七頁\編于八點3AA﹡=A﹡A=｜A｜E｜A｜≠０A(

A﹡)=(

A﹡)A

=E引理2.1(基本公式)A為n階方陣目前四頁\總數(shù)三十七頁\編于八點4設(shè)

A

為數(shù)域

F

上

n

階方陣,則1.A

可逆｜A｜≠02.A

可逆時,

A-1=定理2.2從而|A|

0.必要性得證.證若A可逆,則目前五頁\總數(shù)三十七頁\編于八點5故矩陣A可逆,且在|A|0時,若

|A|0,則由

也可逆目前六頁\總數(shù)三十七頁\編于八點6

｜A｜=0

時,稱

A為奇異陣｜A｜≠0

時,稱

A為非奇異陣目前七頁\總數(shù)三十七頁\編于八點7例1討論并求

2

階矩陣的逆矩陣解

當(dāng)時A

可逆,利用伴隨矩陣求逆矩陣目前八頁\總數(shù)三十七頁\編于八點8求滿足矩陣方程AX=B的矩陣X,

解X=A-1B=還可以用初等變換求解例2其中目前九頁\總數(shù)三十七頁\編于八點9已知A為

n

階方陣,滿足矩陣方程證明A

和A-2E

都可逆,并求逆矩陣.證例3目前十頁\總數(shù)三十七頁\編于八點10例4已知

A為方陣且證明證因為所以

可逆，而且目前十一頁\總數(shù)三十七頁\編于八點11解設(shè)設(shè),計算則例5目前十二頁\總數(shù)三十七頁\編于八點12目前十三頁\總數(shù)三十七頁\編于八點13設(shè)A,B是三階方陣，則解例6由目前十四頁\總數(shù)三十七頁\編于八點14例7設(shè)A是三階方陣，且解由目前十五頁\總數(shù)三十七頁\編于八點15設(shè)A為3階方陣,A*為A的伴隨矩陣,且|A|=1/2,則|(3A)-1-2A*|的值為().(A)16/27(B)-4/3(C)5(D)-16/27|(3A)-1

-2A*|=|(1/3)A-1

-2|A|A-1|=|(1/3)A-1-A-1|=|(-2/3)A-1|=(-2/3)3|A-1|=(-8/27)2=-16/27.例8解A

A*=A*A=|A|E，A可逆,且A*=|A|A-1目前十六頁\總數(shù)三十七頁\編于八點16設(shè)A是n階方陣，的伴隨矩陣,試證:證由下面分三種情況討論:(1)若則(2)若且則顯然結(jié)論成立:有例9目前十七頁\總數(shù)三十七頁\編于八點17(3)若而下面證明反證:若則可逆,所以這與矛盾.目前十八頁\總數(shù)三十七頁\編于八點18例10設(shè)A、B、C均為n階方陣,且ABC=E,則有().(A)ACB=E;(B)CBA=E;(C)BAC=E;(D)BCA=E.分析矩陣和它的逆矩陣是乘法可交換的.由題設(shè)知A,AB,ABC,C,BC等都是可逆陣.解因為ABC=E,即A(BC)=E,所以有(BC)

A=E,

即BCA=E.而(A),(B),(C)中各項都沒有交換律.D目前十九頁\總數(shù)三十七頁\編于八點19

總結(jié)關(guān)于方陣A

:A可逆

|A|0AA*=A*A=|A|E在|A|0時,求逆公式:目前二十頁\總數(shù)三十七頁\編于八點20這個求逆方法用起來真不方便!有好用點的嗎?有,不過說來話長,只能下面講.目前二十一頁\總數(shù)三十七頁\編于八點21本節(jié)內(nèi)容提要

矩陣的初等變換

矩陣的等價矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形2.4矩陣的初等變換目前二十二頁\總數(shù)三十七頁\編于八點22解線性方程組的過程中經(jīng)常用到:問題的引入1.互換兩個方程的位置.2.用一個非零常數(shù)乘某個方程.3.把一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上去.

這三種變換不改變方程組的解,且對應(yīng)與矩陣的三種變換.目前二十三頁\總數(shù)三十七頁\編于八點23矩陣的三種初等行變換:

換法變換:

rirj

倍法變換：ri

(0)ri

消法變換:

krj+riri

矩陣的三種初等列變換：

換法變換:

cicj倍法變換：ci(0)ci

消法變換：kcj+cici

矩陣的初等變換目前二十四頁\總數(shù)三十七頁\編于八點24問題如果矩陣A經(jīng)過初等變換變?yōu)锽,那么A與B之間究竟有何種關(guān)系?定義

矩陣的三種初等行變換和三種初等

列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.初等變換可逆.第三種初等變換保持行列式值不變.初等變換保持矩陣可逆性不變.目前二十五頁\總數(shù)三十七頁\編于八點25

性質(zhì):

自反性A與

A等價;對稱性若A與B等價，則B與A等價;傳遞性若A與B等價，B與C等價，則A與C等價.初→若A

B，則稱A與

B等價.矩陣的等價

A與B等價A與B同形且等秩.目前二十六頁\總數(shù)三十七頁\編于八點262.4.3矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形定義

滿足下面兩個條件的矩陣稱為行階梯形矩陣或階梯形矩陣:(1)

零行全部位于非零行下方,(2)非零行的左起第一個非零元素的列數(shù)由上至下嚴(yán)格遞增.

例1行階梯形目前二十七頁\總數(shù)三十七頁\編于八點27行最簡形定義如果階梯形矩陣A滿足:

(1)非零行左起第一個非零元素都是1,(2)非零行左起第一個非零元所在列只有一個非零元.則稱矩陣A為行最簡形矩陣.例2目前二十八頁\總數(shù)三十七頁\編于八點28矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形注任意矩陣A都可以經(jīng)過一系列初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形式：A的等價標(biāo)準(zhǔn)形定義

如果一個矩陣的左上角為單位矩陣,其余元素都是零.則稱這個矩陣為

標(biāo)準(zhǔn)形矩陣（唯一）.

目前二十九頁\總數(shù)三十七頁\編于八點29的矩陣都是標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.

用分塊矩陣的表示方法,形如:目前三十頁\總數(shù)三十七頁\編于八點30結(jié)論

1任一矩陣A都可經(jīng)初等行變換化成行階梯形;2任一矩陣A都可經(jīng)初等行變換化成行最簡形;3任一矩陣A都可經(jīng)初等變換化成標(biāo)準(zhǔn)形.A

階梯形行→行→A最簡形→A標(biāo)準(zhǔn)形初目前三十一頁\總數(shù)三十七頁\編于八點31

32345931021501326106468122432345901324400002600000010-10010/301320-8000013000000100000010000001000000000行→行→列→行階梯形行最簡形標(biāo)準(zhǔn)形E3

00

0=例3

化簡目前三十二頁\總數(shù)三十七頁\編于八點322.5矩陣的秩本節(jié)內(nèi)容提要矩陣的秩的概念

矩陣的秩的求法目前三十三頁\總數(shù)三十七頁\編于八點33

矩陣的秩的概念定義

矩陣A的子方陣的行列式稱為矩陣A

的一個子式.

1子矩陣定義

劃去A的某些行或列后剩下的元素，按原順序構(gòu)成的矩陣稱為矩陣A的一個子矩陣.

2子式目前三十四頁\總數(shù)三十七頁\編于八點34子矩陣子行列式例1目前三十五頁\總數(shù)三十七頁\編于八點353矩陣秩的定義A的非零子式的最高階數(shù)r.記作:

r(A)=r并規(guī)定:r(0)=0.,

例23階子式只有一個，且,所以秩(A)=rA中存在一個r階非零子式,但其中任意r+1階子式都等于零.

r(A)=2.

A的秩:目前