第八章立體幾何初步題號一二三四總分得分一、單選題已知三棱柱的三個側(cè)面均垂直于底面，底面為正三角形，且側(cè)棱長與底面邊長之比為2∶1，頂點都在一個球面上，若該球的表面積為，則此三棱柱的側(cè)面積為()A. B. C.6 D.8已知圓錐的表面積等于,其側(cè)面展開圖是一個半圓,則底面圓的半徑為

A.1cm B.2cm C.3cm D.體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為A. B. C. D.如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學生得出下列四個結(jié)論：

①BD⊥AC；

②△BAC是等邊三角形；

③三棱錐D-ABC是正三棱錐；

④平面ADC⊥平面ABC

其中正確的是（）A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC,CD的中點，沿AE,AF,EF把正方形折成一個四面體，使B,C,D三點重合，重合后的點記為P，點P在AEF內(nèi)的射影為O.則下列說法正確的是()

A.O是???????AEF的垂心

B.O是???????AEF的內(nèi)心

C.O是???????AEF的外心

D.O是AEF的重心

中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載：“今有羨除”．劉徽注：“羨除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”現(xiàn)有一個羨除如圖所示，四邊形ABCD、ABFE、CDEF均為等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距離為3，CD與AB間的距離為10，則這個羨除的體積是()

A.110 B.116 C.118 D.120二、多選題已知m，n是兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，下列命題中真命題有（）A.若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β B.若m∥α，n∥β，m⊥n，則α∥β

C.若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥β D.若m⊥α，n∥β，α∥β，則m⊥n正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，下列結(jié)論正確的有（）A.AD與BC所成的角為30° B.AC與BD所成的角為90°

C.BC與面ACD所成角的正弦值為 D.平面ABC與平面BCD的夾角的正切值是下列說法正確的是（）A.已知直線l⊥平面α，直線m∥平面β，則“α∥β”是“l(fā)⊥m”的必要不充分條件

B.“存在兩條異面直線a，b，a?，b?β，b∥α”是“α∥β”的充分條件

C.“a，b是正數(shù)”是“”的充分不必要條件

D.函數(shù)的最小值為4如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=4，BC=2，M，N分別為棱C1D1，CC1的中點，則下列說法正確的是（）A.A、M、N、B四點共面

B.平面ADM⊥平面CDD1C1

C.直線BN與B1M所成角的為60°

D.BN∥平面ADM已知α，β為不同的平面，a，b，c為不同的直線，則下列說法正確的是（）A.若a?α，b?β，則a與b是異面直線

B.若AB與CD是異面直線，則AC與BD也是異面直線

C.若a∥b，b與c是異面直線，則a與c也是異面直線

D.若a，b不同在任何一個平面內(nèi)，則a與b是異面直線三、填空題如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E，F(xiàn)，且EF＝，則下列結(jié)論中錯誤的是(

)

A.AC⊥BE

B.EF∥平面ABCD

?C.三棱錐A－BEF的體積為定值

D.△AEF的面積與△BEF的面積相等下列說法正確的是()A．兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)B．過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直C．如果共點的三條直線兩兩垂直，那么它們中每兩條直線確定的平面也兩兩垂直D．如果兩條直線和一個平面所成的角相等，那么這兩條直線一定平行（1）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V1，四棱錐A-BCC1B1的體積為V2，則＝_____________.

（2）已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為_____________.（3）已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,則平行四邊形ABCD的形狀一定是_____________.（4）正三棱柱ABC-A1B1C1的底邊長，側(cè)棱長都是2，M為AB的中點,N為CC1的中點，則在棱柱表面上，從M到N的最短路程等于_____________.（5）如圖，是一個正方體的展開圖，在原正方體中，相對的面分別是________．

一個四棱錐的三視圖如圖所示，其左視圖是等邊三角形，該四棱錐的體積=&;

．有一個裝有足量水的圓柱形水杯，當水杯傾斜時，水面成橢圓形，水杯底面與水平面所成的二面角為θ，橢圓的離心率為e．

①當θ=45°時，e=

(1)

；

②e與θ的關(guān)系為

(2)

．四、解答題如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．

（1）證明：PB∥平面AEC；

（2）設(shè)AP=1，AD=，三棱錐P-ABD的體積，求A到平面PBC的距離．如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l.設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求證：AB，CD，l共點(相交于一點)．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為2.點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)證明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的面積.如圖，已知三棱柱ABC－A′B′C′的側(cè)棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，點M，N分別是A′B和B′C′的中點.

?(1)證明：MN∥平面AA′C′C；(2)設(shè)AB＝λAA′，當λ為何值時，CN⊥平面A′MN，試證明你的結(jié)論．

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】AD

8.【答案】BD

9.【答案】BC

10.【答案】BC

11.【答案】BD

12.【答案】D

13.【答案】?ABC

14.【答案】（1)

（2)?

（3)?菱形

（4)?

?

?（5)?①與④，②與⑥，③與⑤

15.【答案】

16.【答案】e=sinθ

17.【答案】解：（1）證明：設(shè)BD與AC的交點為O，連結(jié)EO，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴O為BD的中點

∵E為PD的中點，

∴EO∥PB．

因為EO?平面AEC，PB?平面AEC

∴PB∥平面AEC；

（2）∵AP=1，AD=，PA⊥平面ABCD，三棱錐P-ABD的體積V=，

∴V==，

∴AB=，

所以PB==．

∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD,

∴PA⊥BC,

又AB⊥BC，PA∩AB=A，PA,AB?平面PAB

∴BC⊥平面PAB，

作AH⊥PB交PB于H，

∵AH?平面PAB

∴BC⊥AH，

又PB∩BC=B，PB，BC?平面PBC．

故AH⊥平面PBC．

則,

所以，

∴A到平面PBC的距離．

18.【答案】證明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，

∴AB，CD是梯形ABCD的兩腰．

∴AB，CD必相交于一點．

設(shè)AB∩CD＝M，

又AB

α，CD

β.

∴M∈α，M∈β，

∴M在α與β的交線上．

又∵α∩β＝l，

?∴M∈l，即AB，CD，l共點．

19.【答案】（1）證明：因為BC∥平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC．同理可證EF∥BC，因此GH∥EF．（2）如圖，連接AC，BD交于點O，BD交EF于點K，連接OP，GK．因為PA＝PC，O是AC的中點，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD．又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面內(nèi)，所以PO⊥底面ABCD．又因為平面GEFH⊥平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO∥平面GEFH．因為平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，從而GK⊥EF．所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2得EB︰AB＝KB︰DB＝1︰4，從而，即K為OB的中點．再由PO∥GK得，即G是PB的中點，且．由已知可得OB＝，，所以GK＝3．故四邊形GEFH的面積．?

20.【答案】（1）證明：設(shè)A′B′的中點為E，連接EM，EN，

∵點M，N分別為A′B和B′C′的中點，

∴NE∥A′C′，ME∥AA′，

又∵A′C′?平面ACC′A′，AA′?平面ACC′A′，

NE平面ACC′A′，ME平面ACC′A′，

∴NE∥平面ACC′A′，ME∥平面ACC′A′，

∵NE∩ME=E，NE、ME面EMN，

∴面EMN∥面ACC′A′，

∵MN?面EMN，

∴MN∥面ACC′A′；

（2）解：當時，CN⊥平面A′M