PAGEPAGE4一題多解專題七：利用基本不等式求最值用基本不等式求函數(shù)的最大(小)值是高中數(shù)學(xué)的一個重點,三個條件必須同時具備，才能應(yīng)用，即“一正，二定，三相等”.在具體的題目中“正數(shù)”條件往往易從題設(shè)中獲得，“相等”條件也易驗證確定，而要獲得“定值”條件卻常常被設(shè)計為一個難點，它需要一定的靈活性和變形技巧.因此,“定值”條件決定著不等式應(yīng)用的可行性.這是解題成敗的關(guān)鍵.此外，若兩次連用均值不等式，要注意取等號的條件的一致性，否則可能會出錯.因此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立的條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法.例、已知正數(shù)a,b滿足，求的取值范圍。思路點撥：一種思路是根據(jù)劃歸思想，二元轉(zhuǎn)化為一元，即利用將中的b用a表示，然后用基本不等式求范圍；另一種思路是對變形，獲得與ab的關(guān)系，然后利用解不等式消去ab建立的不等式求解.解析：方法一：由得，，由于a>0,b>0，可得，于是，當(dāng)，即時取等號，的取值范圍是方法二：由得.又，所以，即4(a+b)≤，所以，即的取值范圍是方法三：由得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的取值范圍是方法四：由得（1）設(shè)，則，代入（1）式得整理得，又由得，即方程在上有解，令，則解得，所以的取值范圍是運(yùn)用基本不等式求最值的技巧：1、含有多個變量的條件最值問題，一種方法是減少變量的個數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為只含有一個變量的函數(shù)的最值問題進(jìn)行解決；另一種方法是采用代換的方法，對代數(shù)式變形后，在運(yùn)用基本不等式。2、妙用“1”常的解決辦法是變量替換或常值“1”針對性練習(xí)：1.已知a＞0,b＞0,則a+2b的最小值為()(A) (B) (C) (D)14解析：選A.∴a+2b的最小值為2.若-4＜x＜1，則()(A)有最小值1 (B)有最大值1(C)有最小值-1 (D)有最大值-1解析：選D.又∵-4＜x＜1,∴x-1＜0,-(x-1)＞0.當(dāng)且僅當(dāng)即x=0時，等號成立.故選D.3.已知點P(x，y)在直線x+y-4=0上，則2x+2y的最小值為_________.解析】∵點P(x,y)在直線x+y-4=0上，∴x+y=4(當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時等號成立).4.已知0＜x＜1，則的最大值為_________.解析】∵0＜x＜1，∴l(xiāng)gx＜0，-lgx＞0.即y≤-4.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故ymax=-4.5.已知函數(shù)(1)求的取值范圍；(2)當(dāng)x為何值時，y取何最大值？解析】(1)設(shè)x+2=t,x=t-2,t＞0(∵x＞-2),則∴所求范圍為(2)欲使y最大，必最小，此時∴當(dāng)時，y取最大值為6.已知a>0,b>0，a+b=2,則的最小值是()(A) (B)4 (C) (D)5解析】選C.由已知可得≥，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即的最小值是.7.若a>0,b>0,且a+b=1，則ab+的最小值為()(A)2 (B)4 (C) (D)解析】選C.由a+b=1，a>0,b>0得令ab=t,則0<t≤,則，結(jié)合函數(shù)的圖象可知t+在(0,］上單調(diào)遞減，故當(dāng)t=時,t+有最小值為+4=.8.已知f(x)=log2(x-2)，若實數(shù)m,n滿足f(m)+f(2n)=3，則m+n的最小值為()(A)5 (B)7 (C)8 (D)9解析】選B.由已知