第=page1212頁，共=sectionpages1212頁北京市海淀區(qū)2022-2023學(xué)年下學(xué)期5月月考高三數(shù)學(xué)模擬試題一二三四總分得分(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：120分)一、選擇題（本大題共4小題每小題4分，滿分16分）方程在區(qū)間[0，4π）上的解的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.4 C.6 D.8已知直線l平行于平面α，平面β垂直于平面α，則以下關(guān)于直線l與平面β的位置關(guān)系的表述，正確的是（）A.l與β不平行

B.l與β不相交

C.l不在平面β上

D.l在β上，與β平行，與β相交都有可能設(shè)三角形ABC是位于平面直角坐標(biāo)系xOy的第一象限中的一個(gè)不等邊三角形，該平面上的動(dòng)點(diǎn)P滿足：|PA|2+|PB|2+|PC|2=|OA|2+|OB|2+|OC|2，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，則該圓的圓心位于三角形ABC的（）A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心已知y=f（x）與y=g（x）皆是定義域、值域均為R的函數(shù)，若對(duì)任意x∈R，f（x）＞g（x）恒成立，且y=f（x）與y=g（x）的反函數(shù)y=f-1（x）、y=g-1（x）均存在，命題P：“對(duì)任意x∈R，f-1（x）＜g-1（x）恒成立”，命題Q：“函數(shù)y=f（x）+g（x）的反函數(shù)一定存在”，以下關(guān)于這兩個(gè)命題的真假判斷，正確的是（）A.命題P真，命題Q真 B.命題P真，命題Q假

C.命題P假，命題Q真 D.命假P假，命題Q假二、填空題（本大題共12小題每小題5分，滿分60分）函數(shù)y=log2（x-2）的定義域是______．已知一個(gè)圓錐的底面圓的半徑為1，體積為π，則該圓錐的側(cè)面積為______．等差數(shù)列{an}中，a3+a10=25，則其前12項(xiàng)之和S12的值為______冪函數(shù)y=xk的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則它的單調(diào)減區(qū)間為______三角形ABC中，A=45°，B=75°，AB邊的長(zhǎng)為，則BC邊的長(zhǎng)為______已知a是實(shí)數(shù)，方程x2+2x+a=0的兩根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P和Q，若三角形POQ是等腰直角三角形，則a=______設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足|x|+|y|≤1，則2x+y的最大值為______已知偶函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x-4，則不等式xf（x）≤5的解為______等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公比為3，則極限的值為______甲乙兩人分別投擲兩顆骰子與一顆骰子，設(shè)甲的兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)分別為a與b，乙的骰子的點(diǎn)數(shù)為c，則擲出的點(diǎn)數(shù)滿足|a﹣b|＝c的概率為

?（用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）已知a是實(shí)數(shù)，在（1+ax）8的二項(xiàng)展開式中，第k+1項(xiàng)的系數(shù)為（k=0，1，2，3，…，8），若c1＜c2＜c3＜…＜c9，則a的取值范圍為______設(shè)P1，P2，P3，…，P8是平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)正八邊形，點(diǎn)Pi的坐標(biāo)為（xi，yi）（i=1，2，…，8），集合A={y|存在i∈{1，2，…，8}，使得y=yi}，則集合A的元素個(gè)數(shù)可能為______（寫出所有可能的值）.三、解答題（本大題共5小題每小題4-12分，滿分44分）17.(6分)如圖，空間幾何體由兩部分構(gòu)成，上部是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐，下部是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱，圓錐和圓柱的軸在同一直線上，圓錐的下底面與圓柱的上底面重合，點(diǎn)P是圓錐的頂點(diǎn)，AB是圓柱下底面的一條直徑，AA1、BB1是圓柱的兩條母線，C是弧AB的中點(diǎn)．

（1）求異面直線PA1與BC所成的角的大??；

（2）求點(diǎn)B1到平面PAC的距離．

18.(8分)已知α、λ是實(shí)常數(shù)，f（x）=．

（1）當(dāng)λ=1，α=時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的最小正周期、單調(diào)增區(qū)間與最大值；

（2）是否存在λ，使得f（x）是與α有關(guān)的常數(shù)函數(shù)（即f（x）的值與x的取值無關(guān)）？若存在，求出所有滿足條件的λ，若不存在，說明理由．

19.(8分)已知a是實(shí)常數(shù)，a＞0，．

（1）當(dāng)a=2時(shí)，判斷函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)性，并說明理由；

（2）寫出一個(gè)a的值，使得f（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有至少兩個(gè)不同的解，并嚴(yán)格證明你的結(jié)論．

20.(10分)設(shè)拋物線Γ的方程為y2=2px，其中常數(shù)p＞0，F(xiàn)是拋物線Γ的焦點(diǎn)．

（1）若直線x=3被拋物線Γ所截得的弦長(zhǎng)為6，求p的值；

（2）設(shè)A是點(diǎn)F關(guān)于頂點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，P是拋物線Γ上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值；

（3）設(shè)p=2，l1，l2是兩條互相垂直，且均經(jīng)過點(diǎn)F的直線，l1與拋物線Γ交于點(diǎn)A，B，l2與拋物線Γ交于點(diǎn)C，D，若點(diǎn)G滿足4=+++，求點(diǎn)G的軌跡方程．

21.(12分)設(shè)各項(xiàng)均為整數(shù)的無窮數(shù)列{an}滿足：a1=1，且對(duì)所有n∈N*，|an+1-an|=n均成立．

（1）寫出a4的所有可能值（不需要寫計(jì)算過程）；

（2）若{a2n-1}是公差為1的等差數(shù)列，求{an}的通項(xiàng)公式；

（3）證明：存在滿足條件的數(shù)列{an}，使得在該數(shù)列中，有無窮多項(xiàng)為2019．

答案與解析1.答案：D

解析：解：求方程在區(qū)間[0，4π）上的解；

則有：sin（2x+）=，

即：2x+=+2kπ，k∈Z，或2x+=+2kπ，k∈Z，

所以：x=-+kπ，k∈Z，或x=+kπ，k∈Z，當(dāng)x在區(qū)間[0，4π）上時(shí)．討論k∈Z的值即可：

x的個(gè)數(shù)為：，5，9；13，11，23，35，47；8個(gè)

故選：D．

利用三角函數(shù)值對(duì)應(yīng)三角函數(shù)的圖象中的角度即可求解．

本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)值求在區(qū)間的角度，是中檔題．

2.答案：D

解析：解：正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD⊥平面CDD1C1，

A1B1∥平面ABCD，A1B1∥平面CDD1C1；

A1D1∥平面ABCD，A1D1與平面CDD1C1相交；

C1D1∥平面ABCD，C1D1?平面CDD1C1．

∵直線l平行于平面α，平面β垂直于平面α，

∴l(xiāng)與β相交、平行或l?β，

故選：D．

以正方體為載體能推導(dǎo)出直線l平行于平面α，平面β垂直于平面α，從而l與β相交、平行或l?β．

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．

3.答案：C

解析：解：設(shè)P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），

由|PA|2+|PB|2+|PC|2=|OA|2+|OB|2+|OC|2，

得=，

展開整理，則3x2+3y2-2（x1+x2+x3）x-2（y1+y2+y3）y=0．

∴=．

∴圓的圓心坐標(biāo)為（，），位于三角形ABC的重心．

故選：C．

設(shè)P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由|PA|2+|PB|2+|PC|2=|OA|2+|OB|2+|OC|2列式并整理可得P的軌跡為圓，求出圓心坐標(biāo)得答案．

本題考查軌跡方程的求法，考查重心坐標(biāo)公式的應(yīng)用，屬中檔題．

4.答案：C

解析：解：已知y=f（x）與y=g（x）皆是定義域、值域均為R的函數(shù)，

若對(duì)任意x∈R，f（x）＞g（x）恒成立，且y=f（x）與y=g（x）的反函數(shù)y=f-1（x）、y=g-1（x）均存在，

則函數(shù)設(shè)y=f（x）的圖象在y=g（x）圖象的上方，由圖象均關(guān)于y=x直線對(duì)稱，其反函數(shù)y=f-1（x）、y=g-1（x）均存在，

命題p：對(duì)任意x∈R，f（x）＞g（x）恒成立，f-1（x）＜g-1（x）不一定恒成立”由圖象關(guān)于y=x直線對(duì)稱可知p是錯(cuò)誤的．

命題Q：因?yàn)閷?duì)任意x∈R，f（x）＞g（x）恒成立，所以f（x）+g（x）＞2g（x），

因?yàn)閥=g（x）的反函數(shù)y=g-1（x）存在，y=2g（x）的反函數(shù)也存在，其圖象存在，“函數(shù)y=f（x）+g（x）的反函數(shù)一定存在”Q正確的．

故選：C．

利用反函數(shù)的定義和圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱．可舉例說明得答案．

本題主要考查了命題真假的判斷，考查反函數(shù)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

5.答案：（2，+∞）

解析：解：要使函數(shù)有意義，則x-2＞0，

即x＞2，

∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），

故答案為：（2，+∞）．

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)成立的條件求函數(shù)的定義域．

本題主要考查函數(shù)定義域的求法，要求熟練掌握常見函數(shù)成立的條件，比較基礎(chǔ)．

6.答案：3π

解析：解：設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，

∵圓錐的底面半徑為1，體積是π，

∴π×h=πh=π，

即h=2，

∴圓錐的母線長(zhǎng)l==3，

∴圓錐的側(cè)面積S=πrl=3×π=3π，

故答案為：3π．

根據(jù)圓錐的體積計(jì)算出圓錐的高，以及圓錐的母線，進(jìn)而求出圓錐的側(cè)面積．

本題主要考查圓錐的體積和側(cè)面積的計(jì)算，要求熟練掌握?qǐng)A錐的體積和側(cè)面積公式．

7.答案：150

解析：解：∵等差數(shù)列{an}中，a3+a10=25，

∴其前12項(xiàng)之和S12==6（a3+a10）=6×25=150．

故答案為：150．

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式直接求解．

本題考查等差數(shù)列的前12項(xiàng)和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

8.答案：（0，+∞）

解析：解：∵冪函數(shù)y=xk的圖象經(jīng)過點(diǎn)，

∴4k=，解得k=-，

∴冪函數(shù)y=，∴它的單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞）．

故答案為：（0，+∞）．

由冪函數(shù)y=xk的圖象經(jīng)過點(diǎn)，得k=-，從而冪函數(shù)y=，由此能求出它的單調(diào)減區(qū)間．

本題考查函數(shù)的減區(qū)間的求法，考查冪函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

9.答案：4

解析：解：∵∠A=45°，∠B=75°，

∴∠C=180°-∠A-∠C=60°，

又∵AB=2，

由正弦定理：，可知：BC===4．

故答案為：4．

利用三角形內(nèi)角和定理可求C的值，進(jìn)而根據(jù)正弦定理求得BC得值．

本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

10.答案：2

解析：解：根據(jù)題意設(shè)方程x2+2x+a=0的兩復(fù)根為x1=-1+bi，x2=-1-bi，b為實(shí)數(shù)，

∵方程的兩根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P和Q，三角形POQ是等腰直角三角形，

∴，∴，

∴b2=1，∴a=，

∴a的值為2．

故答案為：2．

設(shè)方程x2+2x+a=0的兩復(fù)根為x1=-1+bi，x2=-1-bi，根據(jù)條件可得，然后列方程求解即可．

本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義和向量的數(shù)量積與垂直的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．

11.答案：2

解析：解：先根據(jù)約束條件畫出可行域，

設(shè)z=2x+y，

將z的值轉(zhuǎn)化為直線z=2x+y在y軸上的截距，

當(dāng)直線z=2x+y經(jīng)過點(diǎn)（1，0）時(shí)，z最大，

最大值為：2．

故答案為：2．

根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z=2x+y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=2x+y過可行域內(nèi)的角點(diǎn)時(shí)，從而得到z=2x+y的最大值最小值即可．

本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．目標(biāo)函數(shù)有唯一最優(yōu)解是我們最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關(guān)鍵點(diǎn)、定出最優(yōu)解．

12.答案：（-∞，5]

解析：解：∵偶函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x-4，

∴當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，f（-x）=f（x）=-x-4，

∵xf（x）≤5，

當(dāng)x≥0時(shí)，原不等式可化為x（x-4）≤5，

解可得，-1≤x≤5，

故有0≤x≤5；

當(dāng)x＜0時(shí)，原不等式可化為x（-x-4）≤5，

此時(shí)可得x＜0，

綜上可得，x≤5，

故答案為：（-∞，5]

先由x≥0時(shí)，f（x）=x-4，求出x＜0時(shí)的f（x），然后根據(jù)二次不等式的求解方法可求．

本題主要考查了偶函數(shù)對(duì)稱區(qū)間上解析式的求解，解題的關(guān)鍵是利用偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，還考查了二次不等式的求解，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用．

13.答案：

解析：解：∵等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公比為3，

∴，∴=，

∴a1a2+a2a3+…+anan+1=，

a1+a2+a3+…+a2n-1=，

∴==．

故答案為：．

根據(jù)條件可得a1a2+a2a3+…+anan+1=，a1+a2+a3+…+a2n-1=，然后其化簡(jiǎn)求極限．

本題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和數(shù)列的極限的求法，屬基礎(chǔ)題．

14.答案：

解析：解：甲乙兩人分別投擲兩顆骰子與一顆骰子，

設(shè)甲的兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)分別為a與b，乙的骰子的點(diǎn)數(shù)為c，

基本事件總數(shù)n=6×6×6=216，

擲出的點(diǎn)數(shù)滿足|a-b|=c包含的基本事件（a，b，c）有：

（1，2，1），（2，1，1），（2，3，1），（3，2，1），（3，4，1），（4，3，1），

（4，5，1），（5，4，1），（5，6，1），（6，5，1），（1，3，2），（3，1，2），

（2，4，2），（4，2，2），（3，5，2），（5，3，2），（6，4，2），（4，6，2），

（1，4，3），（4，1，3），（2，5，3），（5，2，3），（3，6，3），（6，3，3），

（1，5，4），（5，1，4），（2，6，4），（6，2，4），（1，6，5），（6，1，5），

共30個(gè)，

∴擲出的點(diǎn)數(shù)滿足|a-b|=c的概率為p==．

故答案為：．

設(shè)甲的兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)分別為a與b，乙的骰子的點(diǎn)數(shù)為c，基本事件總數(shù)n=6×6×6=216，利用列舉法求出擲出的點(diǎn)數(shù)滿足|a-b|=c包含的基本事件（a，b，c）有30個(gè)，由此能求出擲出的點(diǎn)數(shù)滿足|a-b|=c的概率．

本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

15.答案：a＞8

解析：解：由已知有Ck+1＞Ck，

所以＞，

所以a＞=，（k=0.1.2…8）

又（）max==8，

故a的取值范圍為a＞8，

故答案為：a＞8．

由二項(xiàng)式定理及不等式恒成立問題得：由已知有Ck+1＞Ck，所以＞，所以a＞=，（k=0.1.2…8）又（）max==8，即a＞8，得解．

本題考查了二項(xiàng)式定理及不等式恒成立問題，屬中檔題．

16.答案：4或5或8

解析：解：如圖所示，

①如果P1P2∥x軸時(shí)，可得集合A={y1，y3，y4，y5}，此時(shí)A的元素個(gè)數(shù)為4．

②如果P8P2∥x軸時(shí)，可得集合A={y1，y2，y3，y4，y5}，此時(shí)A的元素個(gè)數(shù)為5．

③如果P8P2與x軸不平行時(shí)，可得集合A={y1，y2，y3，y4，y5，y6，y7，y8}，此時(shí)A的元素個(gè)數(shù)為8．

綜上可得：集合A的元素個(gè)數(shù)可能為4或5或8．

故答案為：4或5或8．

分類討論可得：①如果P1P2∥x軸時(shí)，②如果P8P2∥x軸時(shí)，③如果P8P2與x軸不平行時(shí)，可得集合A的元素個(gè)數(shù)．

本題考查了集合元素、正八邊形、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

17.答案：解：（1）由題意以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則P（0，0，4），A1（0，-1，2），B（0，1，0），C（1，0，0），

=（0，-1，-2），=（1，-1，0），

cos＜，＞===．

∴異面直線PA1與BC所成的角的大小為．

（2）B1（0，1，2），A（0，-1，0），

=（0，1，-2），=（0，-1，-4），=（1，0，-4），

設(shè)平面PAC的法向量=（x，y，z），

則，取z=1，得=（4，-4，1），

∴點(diǎn)B1到平面PAC的距離為：

d===．

解析：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線PA1與BC所成的角的大小．

（2）求出平面PAC的法向量，利用向量法能求出點(diǎn)B1到平面PAC的距離．

本題考查異面直線所成角的大小、點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．

18.答案：解：f（x）=||

=λcos2x-（sin2xcos2α-cos2xsin2α）

=（λ+sin2α）cos2x-cos2

=，

（1）當(dāng)λ=1，α=時(shí)，f（x）=cos2x+，

∴f（x）的周期T=，當(dāng)從cos2x=1時(shí)，最大值為，

由-π+2kπ≤2x≤2kπ（k∈Z），得

-+kπ≤x≤kπ（k∈Z），

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-]（k∈Z），

（2）∵f（x）=，

顯然當(dāng)=0，即λ=-1時(shí)，f（x）的值與x的取值無關(guān)，

∴存在λ=-1，使得f（x）是與α有關(guān)的常數(shù)函數(shù)．

解析：（1）將λ=1，α=代入化簡(jiǎn)后的f（x）中，求出周期、單調(diào)區(qū)間和最大值即可；

（2）根據(jù)f（x）的解析式知，只需，即可．

本題考查了行列式的計(jì)算和三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．

19.答案：解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2x-1+，

∴f′（x）=2-=，

∵x≥1，

∴f′（x）≥0，

∴y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)遞增；

（2）當(dāng)a=時(shí)，f（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有至少兩個(gè)不同的解，

理由如下：

∵f（x）=x-1+，

∴f′（x）=-=，

令f′（x）=0，解得x=2，

∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，

∴f（x）min=f（2）=-1+=-＜0，

當(dāng)x→0時(shí)，f（x）→+∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，

∴f（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有至少兩個(gè)不同的解．

解析：（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可證明，

（2）當(dāng)a=時(shí)，f（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有至少兩個(gè)不同的解，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，只要最小值小于零即可．

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

20.答案：解：（1）由x=3可得y=±，可得2=6，解得p=；

（2）A是點(diǎn)F（，0）關(guān)于頂點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，可得A（-，0），

設(shè)過A的直線為y=k（x+），k=tanα，

聯(lián)立拋物線方程可得k2x2+（k2p-2p）x+=0，

由直線和拋物線相切可得△=（k2p-2p）2-k4p2=0，解得k=±1，

可取k=1，可得切線的傾斜角為45°，

由拋物線的定義可得==，而α的最小值為45°，

的最大值為；

（3）由y2=4x，可得F（1，0），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），

設(shè)l1：y=k（x-1），聯(lián)立拋物線y2=4x，可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，

即有x1+x2=2+，y1+y2=k（x1+x2）-2k=，

由兩直線垂直的條件，可將k換為-，可得

x3+x4=2+4k2，y3+y4=-4k，

點(diǎn)G滿足4=+++，

可得4（x，y）=（x1+x2+x3+x4-4，y1+y2+y3+y4），

即為4x=x1+x2+x3+x4-4=4k2+，

4y=y1+y2+y3+y4=-4k+，

可得y2