12一、選擇題12．(臨，，3分一列自然數(shù)012，，．依次將該列數(shù)中的每一數(shù)平方后除以，得到一列新數(shù)．則下列結(jié)論正確的()A原數(shù)與對(duì)應(yīng)新數(shù)的差不可能等于零．B原數(shù)與對(duì)應(yīng)新數(shù)的差，隨著原數(shù)的增大而增大C當(dāng)原數(shù)與對(duì)應(yīng)新數(shù)的差等于時(shí)，原數(shù)等30D.原數(shù)取50時(shí)原數(shù)與對(duì)應(yīng)新數(shù)的差最大．D，解析：當(dāng)數(shù)是時(shí)新數(shù)也是0，原數(shù)與對(duì)應(yīng)新數(shù)的差，等于零選項(xiàng)A誤；設(shè)原數(shù)為x（x(100)≤100的然數(shù)數(shù)為，原數(shù)與對(duì)應(yīng)新數(shù)的差為x－=100100100

，隨著x的大，100－逐x)x漸減小，所以隨的大而減小，選項(xiàng)B錯(cuò)；當(dāng)－=21，得x，，選項(xiàng)C100100錯(cuò)誤；又x－項(xiàng)D正確.

xx2500=100100100

，所以當(dāng)原數(shù)取時(shí)，原數(shù)與對(duì)應(yīng)新數(shù)的差最大，選二、填空題三、解答題2018·德，24，）再讀材：寬與長(zhǎng)的比是（為0）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱(chēng)的美各國(guó)許多著名的建筑，為了取得最佳的視覺(jué)效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)．下面，我們用寬的矩形紙片折疊黃金矩形示：＝2）第一步，在矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平．第二步，如圖②，把這個(gè)正方形折成兩個(gè)相等的矩形，再把紙片展平．第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對(duì)角線(xiàn)AB并把它折到圖③中所示的處第四步，展平紙片，按照所得的D點(diǎn)折出DE使DE，則圖④中就會(huì)出現(xiàn)黃金矩形．問(wèn)題解決：（1）圖③中＝cm保留根號(hào)（2）如圖③，判斷四邊形BADQ的狀，并說(shuō)明理由；（3）請(qǐng)寫(xiě)出圖④中所有的黃金矩形，選擇其中一個(gè)說(shuō)明理由．實(shí)際操作：第頁(yè)共頁(yè)

（4）結(jié)合圖④，請(qǐng)?jiān)诰匦沃屑右粭l線(xiàn)段，設(shè)計(jì)一個(gè)新的黃金矩形，用字母表示出來(lái)，并寫(xiě)出它的長(zhǎng)和寬．思分1連接AB，由折疊的質(zhì)，可得＝2在中利用勾股定理可求出AB的長(zhǎng)度．（2）先證明四邊形BADQ是行四邊形，再進(jìn)證明它是菱形．（3）通過(guò)計(jì)算，觀察圖④客戶(hù)哪個(gè)矩的寬與長(zhǎng)的比是

，

選擇其中一個(gè)給出證明．（4）的矩形BCDE中已知CD＝＝5－，加寬，使矩的寬與長(zhǎng)的比是解過(guò)1由折疊知，四邊形是正方形，∴BCMN＝，AC1，

．∴答案：

5

AC125

．（2）∵矩形紙片，∴∠＝∠QAD由折疊，得＝QAD＝AD，∴∠＝BAQ∴＝，∴＝AD．∵∥AD，∴四邊形BADQ是行四邊形，∵ABAD，∴四邊形BADQ是形．（3）圖④中的黃金矩形有矩形，矩形MNDE矩形BCDE是金矩形，理由如下：∵AD＝AB

5

，＝AC1∴CD＝AD－AC5－1又∵＝，∴

5

，∴矩形BCDE是金矩形．（4）如圖，在矩形上加段，使四邊形GCDH為方形，則矩形BGHE為要的黃金矩形．矩形較長(zhǎng)的邊＝5－1寬HE＝35．2．（2018·嘉興市24，）我們定義：如果一個(gè)三角形一條邊上的高等于這條邊，那這個(gè)三角形叫做“等高底”三角形，這條邊叫做這個(gè)三角形的“等底”．（1）概念理解：如圖，ABC中＝＝3∠ACB＝試ABC是是“等高底”三角形說(shuō)理由．（2）問(wèn)題探究：如圖2“等高底”三角形BC是等”，ABC于BC所在直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)圖形得，連結(jié)交線(xiàn)于D．若點(diǎn)是eq\o\ac(△,)的重心，求的．（3）應(yīng)用拓展如圖，已知l∥l，l與l之的距離為．等高底eq\o\ac(△,”)的等底”在線(xiàn)l上，點(diǎn)A在線(xiàn)l12112上，有一邊的長(zhǎng)是的倍．ABC繞按時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°A，AC所直線(xiàn)交l于2點(diǎn)D．求CD的值．第頁(yè)共頁(yè)

1212A'A

DC

B'

D

l2B

A'

C

l1思路分析：（1求出BC邊的高的長(zhǎng)和比；（2）由等底三形可知AD＝BC再由B為eq\o\ac(△,)′C的心，知BC2，從而通過(guò)勾股定理用BD表示出AC的；（3）分兩種情況說(shuō)明＝2和＝BC，出圖形．解：（）如圖1過(guò)點(diǎn)A作AD上線(xiàn)CD于，∴△ADC為角三角形，∠ADC∴∠ACB30°，＝，AD＝AC＝3∴AD＝BC即ABC是等高底”三角形．（2）如圖2∵△“等高底”三角形是等底”，AD＝∵eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)與于直線(xiàn)對(duì)，∴∠ADC90°∵點(diǎn)B是eq\o\ac(△,AA)eq\o\ac(△,)C的心，∴＝2設(shè)＝x，則AD＝2，∴＝x∴由勾股定理得＝13x，ACx∴BC22（3當(dāng)AB＝時(shí)Ⅰ．如圖，作AEl于點(diǎn)，AC點(diǎn)，1“等高底”“等底”為BCl∥ll與l之的距離為2＝21∴BC＝＝2，＝2∴BE2即EC，∴＝2∵ABC繞按時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)，∠＝設(shè)DF＝CF＝x∵l∥l，∴ACE＝∠DAF12DFAE1∴，AF．AF∴AC＝25可得＝5，＝2xⅡ．如圖，此時(shí)ABC等腰直角三角形，

23

10繞C按時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC，∴ACD等腰直角三角形，∴CD＝2＝2當(dāng)＝BC時(shí)Ⅰ．如圖，此時(shí)ABC等腰直角三角形，∴△點(diǎn)C按時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)C時(shí)點(diǎn)A在線(xiàn)l上1∴Cl，直AC與l無(wú)點(diǎn)2第頁(yè)共頁(yè)

綜上，CD的為2，2，2【其他不同解法，請(qǐng)酌情給分】

AAB

DBCA'

E

DFB

l2l1題圖24題圖題圖A'B'

A'

D

2

A

B'

D

lC

1

B

lB'

l2CEA'

l1題圖4題題圖（·山東淄博，分(本小題滿(mǎn)分9分)（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，小明畫(huà)了一個(gè)等腰三角形BC其中ABAC，的外側(cè)分別以ABAC腰作了兩個(gè)等腰直角三角形ABD、ACE分取、CE、BC的點(diǎn)M、N連接小明發(fā)現(xiàn)了：線(xiàn)段GMGN的量關(guān)系是；置關(guān)系是.（2）類(lèi)比思考：如圖②，小明在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入思考.等腰三角形換為一般的銳角三角形其AB，其它條件不變，小明發(fā)現(xiàn)的上述結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理.（3）深入探究：如圖③，小明在）的基礎(chǔ)上，又作了進(jìn)一步探究，條件不變，試判斷△的狀，并給予證明

的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形ABDACE.其它D

AMN

E

D

M

A

E

M

D

①圖②圖③思

圖B

C

B

G

分：第頁(yè)共頁(yè)

F（1）由圖形可猜想相等且垂直的關(guān).連DC，BE，則易證△ADC≌，利用三角形中位線(xiàn)定理即可得出結(jié)論.F（2）類(lèi)似于（）可證明結(jié)論還成（3）類(lèi)比（2即可解決解1）MG，MG.證明提示：如圖連接，DCEB于點(diǎn)D

EAM

H

NFB

C

∵，=，∠∠°，∴△AEB△ACD∴EB=CD，∠=∵∠=∠，∴∠EFC=EAC=90°.∴EBCD∵M(jìn)、N、分別是、CE、的點(diǎn)，11∴NG∥，且NG=EB；MG∥CD，且MG=CD.22∴=，⊥NG（2）成立理由：連接，BE，則類(lèi)似于（1≌，且兩三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可相互得到，這樣問(wèn)題便轉(zhuǎn)化成（1的問(wèn)題，利用三角形中位線(xiàn)定理可證明結(jié)論還.（3）△

是等腰直角三角.證明：如圖連接EB，，分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)F

M

D

G

∵AE=AC，=，∠=∠∴△AEB.∴EB=CD，∠=∴∠AEB∠ACF=180°.又∠=90°，∴∠∴EBCD∵M(jìn)、N、分別是、CE、的點(diǎn)，11∴NG∥，且NG=EB；MG∥CD，且MG=CD.22∴=，⊥NG∴△GMN等腰直角三角形.·鹽城26，12分現(xiàn)】如圖①，已知等ABC，將直角三角形的60角頂點(diǎn)D任放在BC邊上（點(diǎn)D不點(diǎn)、重合兩分別交線(xiàn)段ABAC于、.（1若=6=4BD，則CF=；（2求證：△∽△第頁(yè)共頁(yè)

【思考】若將圖①中的三角板的頂點(diǎn)D在BC邊上移動(dòng)，保持三角板與邊、的個(gè)交點(diǎn)、都存在，連接EF如圖②所示.問(wèn)：點(diǎn)D是存在某一位置，使平分∠且FD平∠？若存在，求出

BC

的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【探索】如圖③，在等腰中AB=AC點(diǎn)O為BC邊中點(diǎn)，將三角形透明紙板的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處其∠=∠B兩邊分別交邊、AC于、（、F均不與ABC的點(diǎn)重合接設(shè)∠=，△AEF與△周長(zhǎng)之比為（含的表達(dá)式表示NA

A

AE

F

E

F

M

E

FB

D

CB

D

C

B

O

C圖①

圖②

圖③思分發(fā)）等邊三角形的判定和性質(zhì)可得CF=4）由“兩組角相等的兩個(gè)三角形相似”便可得△∽DCF考】假設(shè)存在點(diǎn)D，ED平∠且FD平∠，點(diǎn)D分別作DM⊥于MDN⊥EF于，DPAC于，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)得DM==DP利用可得≌△，由全等的性質(zhì)得DB=，即可得

BC

的值索連結(jié)AO過(guò)點(diǎn)O別作OGAB于點(diǎn)OH⊥EF點(diǎn)HOI⊥于I【思考知為BC邊中點(diǎn)時(shí)別平分、∠結(jié)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得OGOH=，利用可得OEG≌△OEH，OFH≌△OFI，由全等的性質(zhì)得EG，=FI，則AEF的=2由等腰三角形的性質(zhì)可進(jìn)一步出AO⊥即△AOB為直角三角形，ABC的周長(zhǎng)可表示為（ABBOeq\o\ac(△,Rt)AOB中，AG、、BO都用含的達(dá)式表示，即AEF△ABC的長(zhǎng)比也可用含表達(dá)式表示出來(lái)解過(guò)發(fā)）△ABC為等邊三角形，==，∠=C°，∵，AE=4，∴BE=2，又∵BD，∴，∵∠B°，EDF°，∴=60，∵∠C°，∴為等邊三角形，∴=DC=BC－BD=4，（2∵EDF=60°，∴∠BDE＋∠=120，∵∠B°，∴BDE＋∠°，∴BED∠CDF，∵∠B=∠C=60°，∴△∽DCF.【思考】假設(shè)存在點(diǎn)D，使ED平分BEF且FD平分CFE如圖，過(guò)點(diǎn)D分作⊥于點(diǎn)M，⊥于，DPAC于，∠DMB∠DPC°，AEM

N

F

PB

D

C∵分BEFFD平∠，∴=DN=DP在△DBM和DCP中∠DMB=∠°，B=∠°，eq\o\ac(△,∴)DBM≌△，∴DC，∴

=BC【探索】如圖，連結(jié)AO，過(guò)點(diǎn)O分作⊥AB于點(diǎn)GOH于，OI⊥于I即=第頁(yè)共頁(yè)

22∠=∠=OHI°22NAMH

FEGB

O

I

C由【思考】可知：當(dāng)為邊中點(diǎn)時(shí)，OE、OF分平分∠∠CFE.∴OGOHOI，在△和OEH中∠OGEOHE=90°，=，公共邊，∴△OEG≌△OEH∴EG=EH在△和OFI，同理≌△OFI∴FH=，△的長(zhǎng)=＋EFAE＋EH＋＋AF＋EG＋FIAGAI∵，點(diǎn)為BC邊的中點(diǎn)，OC，⊥，OG=OI，OAG，在△和中OG=OI∠=OAI，∠=OIF°，∴△OAG≌△OAI，∴AI，∴△AEF的長(zhǎng)2.△的長(zhǎng)=＋＋BC=2ABBO在eq\o\ac(△,Rt)AOB中，⊥BO，OGAB，∠B=，∴AOG∠=，∴△AEF的周=2AGAB－BG）=2（－BOcos）=2（－）AB－cosα△的長(zhǎng)=2（+）=2＋ABcos）=2（1cosAEF的周長(zhǎng)11＋ABC的周長(zhǎng)1cos2018·泰州，，分）給定的一張矩形紙片ABCD進(jìn)如操作：先沿折，點(diǎn)落邊(如圖)，再沿CH折，這時(shí)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E恰好與點(diǎn)D重(圖②).(1)根據(jù)以上操作和發(fā)現(xiàn)，求

CD

的值；(2)將該矩形紙片展開(kāi).①如圖③，折疊該矩形紙片，使點(diǎn)與點(diǎn)H重，折痕與AB相于點(diǎn)P再將該矩形紙片展開(kāi)求證：=90°②不借助工具利用圖④探索一新的折疊方法出圖③中位置相同的點(diǎn)求有一條折痕，且點(diǎn)P在痕.請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明折疊方.(不需說(shuō)明理)A

D

H

D

HD

HDE

B

C

C

C

C圖①圖圖圖④思分：疊問(wèn)題既要關(guān)注由折疊所得的相等的線(xiàn)段，又關(guān)注由折疊所得的相等的角，還要關(guān)注折疊前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)與折痕所在直線(xiàn)的位置關(guān).（）由矩形性質(zhì)知ADBC由②折疊知CD，這樣就可以將

CD轉(zhuǎn)化為來(lái)，利用圖①易得案要證明=90°關(guān)鍵在BC于證明PAH≌△CBP，容易發(fā)現(xiàn)條件PHPC，A∠°，但是還差一個(gè)條件，這是本題之題眼——解題關(guān)鍵所.怎么辦呢？?jī)蓷l腿走路：代數(shù)方法、幾何方.用代數(shù)方法，可以設(shè)參數(shù)列方探究線(xiàn)段APBC或AH與的量關(guān)系；用何方法，關(guān)鍵是如何找到一條線(xiàn)段，來(lái)做與或AHPB的媒介）弄懂了（2確線(xiàn)段AP==AD折疊方式的探究水到渠.第頁(yè)共頁(yè)

解過(guò)：設(shè)AD=a在矩形中BC=.由折疊知∠==

12

∠=45°，又∵∠B°，∴△BCE為等腰直角三角形，∴BEBC=，CE

a

2

a

2

=

2

.由折疊知CD=2，∴

CD==.BC（2法如圖①連.（設(shè)=BC在形中=BE==CD=2，∴=(

-1)a由折疊知∠=∠D=90而∠=45°∴∠AEH=45