高中數(shù)學(xué).復(fù)數(shù) Page復(fù)數(shù)基礎(chǔ)練習(xí)題一、選擇題1．下列命題中：①若z＝a＋bi，則僅當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)z為純虛數(shù)；②若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，則z1＝z2＝z3；③x＋yi＝2＋2i?x＝y(tǒng)＝2；④若實(shí)數(shù)a與ai對(duì)應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集可建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝sin2＋icos2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．a(chǎn)為正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，z＝1－ai，若|z|＝2，則a＝()A．2 B.eq\r(3)C.eq\r(2) D．14．(2011年高考湖南卷改編)若eq\a\vs4\al(a，b)∈R，i為虛數(shù)單位，且ai＋i2＝b＋i，則()A．a(chǎn)＝1，b＝1 B．a(chǎn)＝－1，b＝1C．a(chǎn)＝－1，b＝－1 D．a(chǎn)＝1，b＝－5．復(fù)數(shù)z＝eq\r(3)＋i2對(duì)應(yīng)點(diǎn)在復(fù)平面()A．第一象限內(nèi) B．實(shí)軸上C．虛軸上 D．第四象限內(nèi)6．設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i，則()A．a(chǎn)＝eq\f(3,2)，b＝eq\f(1,2) B．a(chǎn)＝3，b＝1C．a(chǎn)＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(3,2) D．a(chǎn)＝1，b＝37．復(fù)數(shù)z＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限8．已知關(guān)于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有實(shí)根n，且z＝m＋ni，則復(fù)數(shù)z等于()A．3＋i B．3－IC．－3－i D．－3＋i9．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系式z＋|z|＝2＋i，那么z等于()A．－eq\f(3,4)＋i B.eq\f(3,4)－IC．－eq\f(3,4)－i D.eq\f(3,4)＋i10．已知復(fù)數(shù)z滿足z＋i－3＝3－i，則z＝()A．0 B．2iC．6 D．6－2i11．計(jì)算(－i＋3)－(－2＋5i)的結(jié)果為()A．5－6i B．3－5iC．－5＋6i D．－3＋5i12．向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5－4i，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是－5＋4i，則＋對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A．－10＋8i B．10－8iC．0 D．10＋8i13．設(shè)z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，則z1＋z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限14．如果一個(gè)復(fù)數(shù)與它的模的和為5＋eq\r(3)i，那么這個(gè)復(fù)數(shù)是()A.eq\r(\f(11,5)) B.eq\r(3)IC.eq\f(11,5)＋eq\r(3)i D.eq\f(11,5)＋2eq\r(3)i15．設(shè)f(z)＝z，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，則f(z1－z2)＝()A．1－3i B．11i－2C．i－2 D．5＋16．復(fù)數(shù)z1＝cosθ＋i，z2＝sinθ－i，則|z1－z2|的最大值為()A．5 B.eq\r(5)C．6 D.eq\r(6)17．設(shè)z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，則|z＋i|的最小值為()A．0 B．1C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(1,2)18．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，則|z－2－2i|的最小值為()A．2 B．3C．4 D．19．(2011年高考福建卷)i是虛數(shù)單位，若集合S＝{－1,0,1}，則()A．i∈S B．i2∈SC．i3∈S D.eq\f(2,i)∈S20．(2011年高考浙江卷)把復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記作eq\x\to(z)，i為虛數(shù)單位．若z＝1＋i，則(1＋z)·eq\x\to(z)＝()A．3－i B．3＋I(xiàn)C．1＋3i D．321．化簡(jiǎn)eq\f(2＋4i,(1＋i)2)的結(jié)果是()A．2＋i B．－2＋I(xiàn)C．2－i D．－2－i22．(2011年高考重慶卷)復(fù)數(shù)eq\f(i2＋i3＋i4,1－i)＝()A．－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i B．－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)IC.eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i D.eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i23．(2011年高考課標(biāo)全國(guó)卷)復(fù)數(shù)eq\f(2＋i,1－2i)的共軛復(fù)數(shù)是()A．－eq\f(3,5)i B.eq\f(3,5)iC．－i D．i24．i是虛數(shù)單位，(eq\f(1＋i,1－i))4等于()A．i B．－IC．1 D．－125．若復(fù)數(shù)z1＝1＋i，z2＝3－i，則z1·z2＝()A．4＋2i B．2＋I(xiàn)C．2＋2i D．3＋i26．設(shè)z的共軛復(fù)數(shù)是eq\x\to(z)，若z＋eq\x\to(z)＝4，z·eq\x\to(z)＝8，則eq\f(\x\to(z),z)等于()A．i B．－iC．±1 D．±i27．(2010年高考浙江卷)對(duì)任意復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)，i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是()A．|z－eq\x\to(z)|＝2y B．z2＝x2＋y2C．|z－eq\x\to(z)|≥2x D．|z|≤|x|＋|y|二、填空題28．在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝(m－3)＋2eq\r(m)i的點(diǎn)在直線y＝x上，則實(shí)數(shù)m的值為________．29．復(fù)數(shù)z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，則點(diǎn)Z(x，y)的軌跡是________．30．復(fù)數(shù)z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－eq\r(3)－eq\r(2)i，z4＝eq\r(3)－eq\r(2)i，z1，z2，z3，z4在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是A，B，C，D，則∠ABC＋∠ADC＝________.31．復(fù)數(shù)4＋3i與－2－5i分別表示向量與，則向量表示的復(fù)數(shù)是________．32．已知f(z＋i)＝3z－2i，則f(i)＝________.33．已知復(fù)數(shù)z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2為純虛數(shù)，則a＝________.34．(2010年高考上海卷)若復(fù)數(shù)z＝1－2i(i為虛數(shù)單位)，則z·eq\x\to(z)＋z＝________.35．(2011年高考江蘇卷)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i(z＋1)＝－3＋2i(i為虛數(shù)單位)，則z的實(shí)部是________．36．已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝5，且(3－4i)z是純虛數(shù)，則eq\x\to(z)＝________.答案一、選擇題1．解析：選A.在①中沒有注意到z＝a＋bi中未對(duì)a，b的取值加以限制，故①錯(cuò)誤；在②中將虛數(shù)的平方與實(shí)數(shù)的平方等同，如：若z1＝1，z2＝i，則zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝1－1＝0，從而由zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0?/z1＝z2＝0，故②錯(cuò)誤；在③中若x，y∈R，可推出x＝y(tǒng)＝2，而此題未限制x，y∈R，故③不正確；④中忽視0·i＝0，故④也是錯(cuò)誤的．故選A.2．解析：選D.∵eq\f(π,2)<2<π，∴sin2>0，cos2<0.故z＝sin2＋icos2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．故選D.3．解析：選B.|z|＝|1－ai|＝eq\r(a2＋1)＝2，∴a＝±eq\r(3).而a是正實(shí)數(shù)，∴a＝eq\r(3).4．解析：選D.ai＋i2＝－1＋ai＝b＋i，故應(yīng)有a＝1，b＝－1.5．解析：選B.∵z＝eq\r(3)＋i2＝eq\r(3)－1∈R，∴z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，故選B.6．解析：選A.由1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝1,a＋b＝2))，解得a＝eq\f(3,2)，b＝eq\f(1,2).7．解析：選A.∵復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，該點(diǎn)位于第一象限，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限．8．解析：選B.由題意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2＋mn＋2＝0,2n＋2＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3,n＝－1))，∴z＝3－i.9．解析：選D.設(shè)z＝x＋yi(x、y∈R)，則x＋yi＋eq\r(x2＋y2)＝2＋i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\r(x2＋y2)＝2，,y＝1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,4)，,y＝1.))∴z＝eq\f(3,4)＋i.10．解析：選D.由z＋i－3＝3－i，知z＝(3－i)＋(3－i)＝6－2i.11．解析：選A.(－i＋3)－(－2＋5i)＝(3＋2)－(5＋1)i＝5－6i.12．解析：選C.＋對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5－4i＋(－5＋4i)＝(5－5)＋(－4＋4)i＝0.13．解析：選D.∵z1＋z2＝(3－4i)＋(－2＋3i)＝(3－2)＋(－4＋3)i＝1－i，∴z1＋z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1，－1)，在第四象限．14．解析：選C.設(shè)這個(gè)復(fù)數(shù)為z＝a＋bi(a，b∈R)，則z＋|z|＝5＋eq\r(3)i，即a＋eq\r(a2＋b2)＋bi＝5＋eq\r(3)i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\r(3),a＋\r(a2＋b2)＝5))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\r(3),a＝\f(11,5))).∴z＝eq\f(11,5)＋eq\r(3)i.15．解析：選D.先找出z1－z2，再根據(jù)求函數(shù)值的方法求解．∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，∴z1－z2＝(3＋2)＋(4＋1)i＝5＋5i.∵f(z)＝z，∴f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i.故選D.16．解析：選D.|z1－z2|＝|(cosθ－sinθ)＋2i|＝eq\r((cosθ－sinθ)2＋4)＝eq\r(5－2sinθcosθ)＝eq\r(5－sin2θ)≤eq\r(6).17．解析：選C.|z＋1|＝|z－i|表示以(－1,0)、(0,1)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線，而|z＋i|＝|z－(－i)|表示直線上的點(diǎn)到(0，－1)的距離，數(shù)形結(jié)合知其最小值為eq\f(\r(2),2).18解析：選B.法一：設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則有|x＋yi＋2－2i|＝1，即|(x＋2)＋(y－2)i|＝1，所以根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，又|z－2－2i|＝|(x－2)＋(y－2)i|＝eq\r((x－2)2＋(y－2)2)＝eq\r((x－2)2＋1－(x＋2)2)＝eq\r(1－8x).而|x＋2|≤1，即－3≤x≤－1，∴當(dāng)x＝－1時(shí)，|z－2－2i|min＝3.法二：利用數(shù)形結(jié)合法．|z＋2－2i|＝1表示圓心為(－2,2)，半徑為1的圓，而|z－2－2i|＝|z－(2＋2i)|表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)(2,2)的距離，由數(shù)形結(jié)合知，其最小值為3，故選B.19．解析：選B.因?yàn)閕2＝－1∈S，i3＝－i∈/S，eq\f(2,i)＝－2i∈/S，故選B.20．解析：選A.(1＋z)·eq\x\to(z)＝(2＋i)·(1－i)＝3－i.21．解析：選C.eq\f(2＋4i,(1＋i)2)＝eq\f(2＋4i,2i)＝eq\f(1＋2i,i)＝2－i.故選C.22．解析：選C.eq\f(i2＋i3＋i4,1－i)＝eq\f(－1－i＋1,1－i)＝eq\f(－i,1－i)＝eq\f((－i)(1＋i),(1－i)(1＋i))＝eq\f(1－i,2)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i.23．解析：選C.法一：∵eq\f(2＋i,1－2i)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2i)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2i)))＝eq\f(2＋i＋4i－2,5)＝i，∴eq\f(2＋i,1－2i)的共軛復(fù)數(shù)為－i.法二：∵eq\f(2＋i,1－2i)＝eq\f(－2i2＋i,1－2i)＝eq\f(i\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2i)),1－2i)＝i，∴eq\f(2＋i,1－2i)的共軛復(fù)數(shù)為－i.24．解析：選C.(eq\f(1＋i,1－i))4＝[(eq\f(1＋i,1－i))2]2＝(eq\f(2i,－2i))2＝1.故選C.25．解析：選A.∵z1＝1＋i，z2＝3－i，∴z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝3＋3i－i－i2＝3＋2i＋1＝4＋2i.故選A.26．解析：選D.法一：設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則eq\x\to(z)＝x－yi，由z＋eq\x\to(z)＝4，z·eq\x\to(z)＝8得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋yi＋x－yi＝4，,(x＋yi)(x－yi)＝8.))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,x2＋y2＝8))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝±2)).∴eq\f(\x\to(z),z)＝eq\f(x－yi,x＋yi)＝eq\f(x2－y2－2xyi,x2＋y2)＝±i.法二：∵z＋eq\x\to(z)＝4，設(shè)z＝2＋bi(b∈R)，又z·eq\x\to(z)＝|z|2＝8，∴4＋b2＝8，∴b2＝4，∴b＝±2，∴z＝2±2i，eq\x\to(z)＝2?2i，∴eq\f(\x\to(z),z)＝±i.27．解析：選D.∵eq\x\to(z)＝x－yi(x，y∈R)，|z－eq\x\to(z)|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，∴A不正確；對(duì)于B，z2＝x2－y2＋2xyi，故不正確；∵|z－eq\x\to(z)|＝|2y|≥2x不一定成立，∴C不正確；對(duì)于D，|z|＝eq\r(x2＋y2)≤|x|＋|y|，故D正確．二、填空題28．解析：復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(m－3,2eq\r(m))，∴m－3＝2eq\r(m)，即m－2eq\r(m)－3＝0.解得m＝9.答案：929．解析：∵|z|＝3，∴eq\r((x＋1)2＋(y－2)2)＝3，即(x＋1)2＋(y－2)2＝32.故點(diǎn)Z(x，y)的軌跡是以O(shè)′(－1,2)為圓心，以3為半徑的圓．答案：以(－1,2)為圓心，3為半徑的圓30．解析：|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝eq\r(5)，所以點(diǎn)A，B，C，D應(yīng)在以原點(diǎn)為圓心，eq\r(5)為半徑的圓上，由于圓內(nèi)接四邊形ABCD對(duì)角互補(bǔ)，所以∠ABC＋∠ADC＝180°.31．解析：表示－對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，由－2－5i－(4＋3i)＝－6－8i，知對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是－6－8i.答案：－6－8i32．解析：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則f[a＋(b＋1)i]＝3(a＋bi)－2i＝3a＋(3b－2)i，令a＝0，b＝0，則f(i)＝－答案：－2i33．解析：z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i＝(a2－a－2)＋(a2＋a－6)i(a∈R)為純虛數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a－2＝0，,a2＋a－6≠0，))解得a＝－1.34．解析：∵z＝1－2i，∴z·eq\x\to(z)＝|z|2＝5.∴z·eq\x\to(z)＋z＝6－2i.答案：6－2i35．解析：設(shè)z＝a＋bi(a、b∈R)，由i(z＋1)＝－3＋2i，得－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，∴a＋1＝2，∴a＝1.答案：136．解析：∵(3－4i)z是純虛數(shù)，可設(shè)(3－4i)z＝ti(t∈R且t≠0)，∴z＝eq\f(ti,3－4i)，∴|z|＝eq\f(|t|,5)＝5，∴|t|＝25，∴t＝±25，∴z＝eq\f(±25i,3－4i)＝±i(3＋4i)＝±(－4＋3i)，eq\x\to(z)＝±(－4－3i)＝±(4＋3i)．答案：±(4＋3i)復(fù)數(shù)一、復(fù)數(shù)的概念虛數(shù)單位i:（1）它的平方等于，即；（2）實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立．（3）i與－1的關(guān)系:i就是的一個(gè)平方根，即方程的一個(gè)根，方程的另一個(gè)根是-i．（4）i的周期性：，，，．?dāng)?shù)系的擴(kuò)充：復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫復(fù)數(shù)的虛部．全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母表示復(fù)數(shù)的代數(shù)形式:通常用字母表示，即，把復(fù)數(shù)表示成的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)叫做虛數(shù)；當(dāng)且時(shí)，叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，就是實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等．這就是說，如果，，，，那么，二、復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：復(fù)數(shù)與有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，復(fù)數(shù)可用點(diǎn)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸．實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)．．對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為，它所確定的復(fù)數(shù)是表示是實(shí)數(shù)．除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義．也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法．三、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)數(shù)與的和的定義：復(fù)數(shù)與的差的定義：復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律:復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律:乘法運(yùn)算規(guī)則：設(shè)，(、、、)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把換成，并且把實(shí)部與虛部分別合并．兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)．乘法運(yùn)算律：（1）（2）（3）復(fù)數(shù)除法定義：滿足的復(fù)數(shù)(、)叫復(fù)數(shù)除以復(fù)數(shù)的商，記為：或者除法運(yùn)算規(guī)則：設(shè)復(fù)數(shù)(、)，除以(，)，其商為（、)，即∵∴由復(fù)數(shù)相等定義可知解這個(gè)方程組，得于是有:②利用于是將的分母有理化得：原式．∴(點(diǎn)評(píng):①是常規(guī)方法，②是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡(jiǎn)無理分式時(shí)，都是采用的分母有理化思想方法，而復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)，相當(dāng)于我們初中學(xué)習(xí)的的對(duì)偶式，它們之積為是有理數(shù)，而是正實(shí)數(shù)．所以可以分母實(shí)數(shù)化．把這種方法叫做分母實(shí)數(shù)化法．共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。虛部不等于的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)．

例題精講例題精講復(fù)數(shù)的概念已知為虛數(shù)單位），那么實(shí)數(shù)a，b的值分別為（）A．2，5B．-3，1C．-1．1D．2，【答案】D計(jì)算：（表示虛數(shù)單位）【答案】∵，而（），故設(shè)，，則下列命題中一定正確的是（）A．的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限B．的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限C．不是純虛數(shù)D．是虛數(shù)【答案】D．在下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）①兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大?。虎谌羰羌兲摂?shù)，則實(shí)數(shù)；③是虛數(shù)的一個(gè)充要條件是；④若是兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)，則是純虛數(shù)；⑤的一個(gè)充要條件是．⑥的充要條件是．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí)，可以比較大小，①錯(cuò)；時(shí)，，②錯(cuò)；為實(shí)數(shù)時(shí)，也有，③錯(cuò)；時(shí)，，④錯(cuò)；⑤⑥正確．復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A由已知在復(fù)平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)如果在第一象限，則，而此不等式組無解．即在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第一象限．若，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】B結(jié)合正、余弦函數(shù)的圖象知，當(dāng)時(shí)，．如果復(fù)數(shù)滿足，那么的最小值是（）A．1 B． C．2 D．【答案】A設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，因?yàn)?，所以點(diǎn)的集合是軸上以、為端點(diǎn)的線段．表示線段上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離．此距離的最小值為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，其距離為．滿足及的復(fù)數(shù)的集合是（）A．B．C．D．【答案】D復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)在單位圓與直線上（表示到點(diǎn)與點(diǎn)的距離相等，故軌跡為直線），故選D．已知復(fù)數(shù)的模為，則的最大值為_______．【答案】，，故在以為圓心，為半徑的圓上，表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率．如圖，由平面幾何知識(shí)，易知的最大值為．復(fù)數(shù)滿足條件：，那么對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】AA；設(shè)，則有，，化簡(jiǎn)得：，故為圓．【點(diǎn)評(píng)】①的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的距離；②中所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為以復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上的點(diǎn)．復(fù)數(shù)，滿足，，證明：．設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，，由知，以，為鄰邊的平行四邊形為矩形，，故可設(shè)，所以．也可設(shè)，則由向量與向量垂直知，，故．已知復(fù)數(shù)，滿足，，且，求與的值．【答案】；4．設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，，由于，故，故以，為鄰邊的平行四邊形是矩形，從而，則；．已知，，，求．設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由知，以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，記所對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)為，由知，（可由余弦定理得到），故，從而．已知復(fù)數(shù)滿足，求的最大值與最小值．【答案】，設(shè)，則滿足方程．，又，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，有．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算已知，若，則等于（）A． B． C． D．4【答案】B．計(jì)算：．【答案】原式．已知復(fù)數(shù)，，則的最大值為（）A． B． C． D．3【答案】A，故當(dāng)時(shí)，有最大值．對(duì)任意一個(gè)非零復(fù)數(shù)，定義集合．（１）設(shè)是方程的一個(gè)根，試用列舉法表示集合．若在中任取兩個(gè)數(shù)，求其和為零的概率；（2）若集合中只有個(gè)元素，試寫出滿足條件的一個(gè)值，并說明理由．【答案】（1）；（2）．（1）∵是方程的根，∴或，不論或，，于是．（2）取，則及．于是或?。ㄕf明：只需寫出一個(gè)正確答案）．解關(guān)于的方程．【答案】．錯(cuò)解：由復(fù)數(shù)相等的定義得．分析：“，且成立”的前提條件是，但本題并未告訴是否為實(shí)數(shù)．法一：原方程變形為，．由一元二次方程求根公式得，．原方程的解為，．法二：設(shè)，則有，，由②得：，代入①中解得：或，故方程的根為．已知，，對(duì)于任意，均有成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】．，，對(duì)恒成立．當(dāng)，即時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，．綜上，．關(guān)于的方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】誤：方程有實(shí)根，．解得或．析：判別式只能用來判定實(shí)系數(shù)一元二次方程根的情況，而該方程中與并非實(shí)數(shù)．正：設(shè)是其實(shí)根，代入原方程變形為，由復(fù)數(shù)相等的定義，得，解得．設(shè)方程的根分別為，，且，求實(shí)數(shù)的值．【答案】或．若，為實(shí)數(shù)，則且，解得．若，為虛數(shù)，則且，共軛，，解得．綜上，或．用數(shù)學(xué)歸納法證明：．并證明，從而．時(shí)，結(jié)論顯然成立；若對(duì)時(shí)，有結(jié)論成立，即，則對(duì)，由歸納假設(shè)知，上式，從而知對(duì)，命題成立．綜上知，對(duì)任意，有．易直接推導(dǎo)知：故有．．若是方程（）的解，求證：．將解代入原方程得：，將此式兩邊同除以，則有：，即，，由復(fù)數(shù)相等的定義得．設(shè)、為實(shí)數(shù)，且，則=________．【答案】4由知，，即，故，解得，故．已知是純虛數(shù)，求在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡．【答案】以為圓心，為半徑的圓，并去掉點(diǎn)和點(diǎn)．法一：設(shè)（），則是純虛數(shù)，故，即的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，并去掉點(diǎn)和點(diǎn)．法二：∵是純虛數(shù)，∴（且）∴，∴，得到，設(shè)（），則（）∴的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡以為圓心，為半徑的圓，并去掉點(diǎn)和點(diǎn)．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，求的最值．由題意，，則．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)．若，，試求．【答案】∵，∴又知，∴設(shè)（），則，∴，即，由復(fù)數(shù)相等定義得，解得．∴．故．【點(diǎn)評(píng)】復(fù)數(shù)的共軛與模長(zhǎng)的相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)