000作者：WANG000平行四形講義【平行四邊形】〖例〗如，已知ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，且AM=9,BD=12,AD=10,則該行四邊形的面積為______(移，使分散的條件集中到一個(gè)三角形)〖例〗

例如圖

ABCD中，DAB=60

0

例3例，點(diǎn)E、分別在CD、AB的延線上且AE=AD,CF=CB(1)求：四邊形是平行四形；(2)若掉已知條件的“∠”，上述的論還成立嗎？若成立請(qǐng)寫出證明過；若不成立請(qǐng)說理由〖例〗

如圖，△ABC中，∠，M在上，且點(diǎn)N在AC上，且與BN相于點(diǎn)，證∠

0(條件給出的線段的相關(guān)系，結(jié)是求角的度數(shù)，條件中國(guó)有直角和等的線段聯(lián)想到等腰直角三形；故平AN,造平行四形〖例〗四形ABCDAB=BC=CD∠BAD和CDA都是銳角點(diǎn)是角線BD上一點(diǎn)PQ∥交AD∥BC交于S四邊形PQRS也是平行四邊形（1當(dāng)于合時(shí)（1變?yōu)榍骵q\o\ac(△,證)ABR≌△（用不同的方法）（2對(duì)于圖（）若四邊形也平行四邊形，此時(shí)你推出四邊形ABCD還應(yīng)滿足什么條件？〖例〗

四邊形ABCD中DB交AC于過點(diǎn)分別交EF且PE=PF，求：PA=PC.【矩形、菱】〖例〗〖例〗

如圖，矩形ABCD中對(duì)角線相于O，AE平分BAD交BC于，∠CAE=15，則∠如圖，四邊ABCD是菱形，△是正三形，點(diǎn)、分別在邊CB上，且AB=AE,則B=()A.60

0

0

C.100

0

0例

例7第頁共頁

作者：WANG〖例〗矩紙片ABCD沿EF折，點(diǎn)B落在的處點(diǎn)A1落在A處1（1求證BE=BF1（）設(shè)AE=aAB=b，，試猜想a,b,c間有何等量關(guān)系，并證明?！祭剑?008年北省咸寧市）如圖，在ABC中，點(diǎn)邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作線MNBC設(shè)MN交的平分線于點(diǎn)，交∠的外角平分線于點(diǎn)．（1求證：=；（2當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)到何處時(shí)邊形AECF是形并證明你的結(jié)論．〖例10（東東營(yíng)）如圖，邊形為形紙片．把紙片ABCD折，使點(diǎn)B恰好落在邊的中點(diǎn)E處，折痕為AF若CD6則等（）A（A）4

（B3

（C42

（D８

DF圖

2〖例11（海市）將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊得到菱形．若＝3則的為

D

D

F

A1BC．

D答案：D

O

B【正方形】〖例12

正方形的邊長(zhǎng)為M在DC上DM=2是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的最小值是多少？〖例13（南省）如圖，是長(zhǎng)為1的正方形對(duì)角線上動(dòng)點(diǎn)與、不重合E在線BC上，且.（）證：①；②⊥；（）AP=,△的面積為y.①求y關(guān)于x的數(shù)關(guān)系式，并寫出x的值范圍；

ADPB

例13

E

C〖例14（08武）方形ABCD中O是角線AC的點(diǎn)，是角AC的一第頁共頁

作者：WANG動(dòng)點(diǎn)，過作⊥于如圖，當(dāng)點(diǎn)P與O重時(shí)，顯然有DF=CF.（1如圖，若點(diǎn)P在AO上不與點(diǎn)A，O重合PE⊥PB且PECD于點(diǎn)求證：；寫出線段、、CE之的一個(gè)等量關(guān)系式，并證明你結(jié).（2若在段（不于OC重⊥PB且交線CD于請(qǐng)成圖3并判斷（1中的兩個(gè)問題是否分別成立？若不成立寫出應(yīng)的結(jié)〖例15如圖，在正方形ABCD中E是AB上點(diǎn)，是AD延線上一點(diǎn)，且DF＝．⑴求證：CE＝CF；⑵在圖1中若G在上，且＝45，則GEBE＋成立？為什么？⑶運(yùn)用⑴⑵解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖2，在直角梯形ABCD中AD∥BCBC＞ADB＝°，AB＝＝，是AB上一點(diǎn)，且∠DCE＝°BE＝，DE的長(zhǎng)AGDFDEB圖

EB圖〖例〗小明在研究正方形ABC的關(guān)問題時(shí)，得出“在正方形中如果點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F邊的一點(diǎn)，且∠EAD，那么⊥明是一個(gè)善于提問題的同學(xué)，他想：若把正方形ABCD改矩形，其他的條不變，是否還有EF⊥AE的結(jié)論呢？請(qǐng)你對(duì)上述的兩個(gè)問題作出解釋上述的思路你會(huì)進(jìn)一步提出什么問題？并對(duì)你提出的問題給予解釋。（考慮在菱形中，在一般的平行四邊形中的情形；進(jìn)一步研究圖形還會(huì)發(fā)現(xiàn)與四邊形AFCD有關(guān)的結(jié)論AF與CF、的關(guān)）第頁共頁

0000作者：WANG0000【梯形】〖例16：梯形ABCD中AB∥DC，∠ADC+

，且DC=2AB，分別以DAAB，BC為向梯形外作正方形，其面積分別為，，S，，S，之的關(guān)系123123〖例17（2008年肅省白銀市）如(1)一個(gè)等腰梯形，由個(gè)

這樣的等腰梯形恰好可以拼出如圖2)所示的一個(gè)菱形．對(duì)于圖(中的等腰梯形，請(qǐng)寫出它的內(nèi)角的度數(shù)或腰與底邊長(zhǎng)度之間關(guān)系的一個(gè)正確結(jié)論：．（1（2）〖例18如圖，直角梯形ABCD中∠，AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm,動(dòng)點(diǎn)從A開沿AD向以1cm/的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從C開始邊向B以秒的速度運(yùn)動(dòng)，、Q分別從點(diǎn)AC同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒求）為何值時(shí)，四邊形平行四邊形？2t為值時(shí)，邊形為腰梯形？〖例19等腰梯形ABCD中，∥AB，AD=BC，對(duì)角線ACBD，若求這個(gè)梯形的面積?！祭揭阎菪蜛BCDAD∥BCAD=3BC=5以D為轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針方向把旋轉(zhuǎn)得段，求△ADE的積。（根據(jù)AB長(zhǎng)不確定，在特殊況下探索三角形的面積，在一般情況下給出證明。利用的數(shù)學(xué)思想是：般與特殊的關(guān)）第頁共頁

作者：WANG【中點(diǎn)相關(guān)的問題】任意四形各邊中點(diǎn)的連線是什么圖形？當(dāng)?shù)玫降乃倪呅问蔷匦巍⒘庑螘r(shí)，原四邊形應(yīng)滿足什么條件？．如圖，矩的面積為４，順次連結(jié)各邊中點(diǎn)得到四邊，順次連1222結(jié)四邊形ＡＢＣＤ四中點(diǎn)得四邊形ＡＢＣ，依此類推，求四邊的面223nn積是。如圖，ABC中是AB邊的高，為足M為中點(diǎn)

12

AC，求證：∠∠B4．如圖，已知四邊形ABCD中R、分是、上的點(diǎn)，E、分別是中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在CD上C向D移而R不時(shí)，那么下列結(jié)論成立的是A線段EF的逐漸增大B線段的逐漸減小線段的不變D線段EF的與點(diǎn)P位置有關(guān)（2008烏木齊邊形中E是段AD上任意一E與A，D不重合

G，F(xiàn)H

分別是

BE，，

的中點(diǎn)．EGFH是平行四邊形；（1證明四邊形（2在1的條件下，若FBC，EF

12

BC

，證明平行四邊形EGFH是方形．△ABC中，CD=AB∠BAD，AE是△的線，求證：AC=2AE.梯形ABCD中AD∥，∠，AC與BD交，E是中點(diǎn)，F(xiàn)是中點(diǎn)GAB中點(diǎn)。求證：是邊三角形第頁共頁

作者：WANG梯形ABCD中ADCB∠B+，，，EF分是AD，的點(diǎn)，則長(zhǎng)是多少？平行四形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為46.則其邊的取值范圍是_________（2007山東臨沂）如圖，在四邊形ABCD中，E、、GH分別是AB、、CD、AC的中點(diǎn)，要使四邊形是菱形，四邊形還個(gè)條件是。答案：ADBC或ABCD為腰梯形（答案不唯一）11.△AEB及AFC是角三角形，AEB=，∠∠，M是BC的中點(diǎn)，探究ME和MF大小關(guān)系在AB上，E在AC上BD=CEM是BE中NCD點(diǎn).N交B于P交AC于求證：∠AQP13..如圖，M，，，Q分是邊形ABCDE的的中點(diǎn)，O是PQ的中點(diǎn)K是MN的中點(diǎn)，探究線段OK與BC的系第頁共頁

作者：WANG【練習(xí)】（濰坊）如圖ABCD為行四邊形，BE∥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F于E點(diǎn).（1求證（2若，°ACDC，求BE的；（3在（）的條件下，求四邊形ABED的積已知，D，分是正△ABC的BC邊的點(diǎn)，且CD=BE，以AD為作ADF連接。（1判斷四邊形形狀。（2當(dāng)EFD=300時(shí)求D點(diǎn)位置。（拓展到正方形中）如圖，ABC三邊AC，BC邊作等，邊，邊ABF使D，AF，在BC的同側(cè)。（1試判斷四邊形的狀，并說明理由（2△ABC滿什么條件時(shí)形ADEF是矩形？菱形？（3△ABC滿什么條件時(shí)，四邊形不成在？.如圖,四邊形ABCD若B=BC∠ABC=∠CDA=90BE⊥AD點(diǎn)，

四邊形BCD

=8，則E的為（）