學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3．3。1利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性學(xué)習(xí)目標(biāo)1。理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系.2。掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.3.能利用導(dǎo)數(shù)求不超過(guò)三次多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系思考1觀察下列各圖,完成表格內(nèi)容．函數(shù)及其圖象切線斜率k正負(fù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)單調(diào)性正［1,＋∞）上單調(diào)______R上單調(diào)________負(fù)(0，＋∞）上單調(diào)______（0,＋∞）上單調(diào)______（－∞，0）上單調(diào)______思考2依據(jù)上述分析,可得出什么結(jié)論?梳理導(dǎo)數(shù)值切線的斜率傾斜角曲線的變化趨勢(shì)函數(shù)的單調(diào)性>0________0______角單調(diào)______〈0________0______角單調(diào)______知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的變化快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系思考我們知道導(dǎo)數(shù)的符號(hào)反映函數(shù)y＝f（x）的增減情況，怎樣反映函數(shù)y＝f(x)增減的快慢呢？能否從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化的快慢呢？梳理一般地，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得快，這時(shí)，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”（向上或向下)；反之，函數(shù)的圖象就比較“平緩”．類型一利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性例1證明：函數(shù)f（x)＝eq\f（sinx,x)在區(qū)間eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π,2）,π））上單調(diào)遞減．反思與感悟關(guān)于利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題(1）首先考慮函數(shù)的定義域，所有函數(shù)性質(zhì)的研究必須保證在定義域內(nèi)這個(gè)前提下進(jìn)行．（2)f′(x）>（或〈)0，則f(x)單調(diào)遞增(或遞減）;但要特別注意,f（x）單調(diào)遞增（或遞減），則f′(x）≥（或≤）0。跟蹤訓(xùn)練1證明：函數(shù)f（x)＝eq\f(lnx,x)在區(qū)間(0，e）上是增函數(shù)．類型二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間命題角度1不含參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間例2求f（x）＝3x2－2lnx的單調(diào)區(qū)間．反思與感悟求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟（1）確定函數(shù)y＝f（x）的定義域．(2)求導(dǎo)數(shù)y′＝f′(x)．(3）解不等式f′（x)>0，函數(shù)在定義域內(nèi)的解集上為增函數(shù)．(4)解不等式f′（x）<0，函數(shù)在定義域內(nèi)的解集上為減函數(shù)．跟蹤訓(xùn)練2求函數(shù)f(x)＝eq\f（ex，x－2）的單調(diào)區(qū)間．命題角度2含參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間例3討論函數(shù)f(x)＝x2－alnx（a≥0）的單調(diào)性．反思與感悟（1）在判斷含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性時(shí),不僅要考慮到參數(shù)的取值范圍，而且要結(jié)合函數(shù)的定義域來(lái)確定f′(x）的符號(hào),否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤．(2）分類討論是把數(shù)學(xué)問(wèn)題劃分為若干個(gè)局部問(wèn)題,在每一個(gè)局部問(wèn)題中，原先的不確定因素，就變成了確定性問(wèn)題,當(dāng)這些局部問(wèn)題都解決了，整個(gè)問(wèn)題就解決了．跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x）＝eq\f（1，2）x2－(a＋m）x＋alnx，且f′（1）＝0，其中a，m∈R。(1)求m的值；(2)求函數(shù)f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間．類型三含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性引申探究試求函數(shù)f（x）＝kx－lnx的單調(diào)區(qū)間．例4若函數(shù)f(x)＝kx－lnx在區(qū)間（1,＋∞)上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是________．反思與感悟（1)討論含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性,通常歸結(jié)為求含參數(shù)不等式的解集的問(wèn)題，而對(duì)含有參數(shù)的不等式要針對(duì)具體情況進(jìn)行討論,但始終注意定義域?qū)握{(diào)性的影響以及分類討論的標(biāo)準(zhǔn)．（2)利用導(dǎo)數(shù)法解決取值范圍問(wèn)題的兩個(gè)基本思路①將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，即f′（x）≥0（或f′(x）≤0）恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗(yàn)參數(shù)取“＝"時(shí)是否滿足題意．②先令f′(x）>0（或f′（x）〈0),求出參數(shù)的取值范圍后，再驗(yàn)證參數(shù)取“＝”時(shí)f(x）是否滿足題意．（3）恒成立問(wèn)題的重要思路①m≥f（x)恒成立?m≥f（x）max。②m≤f(x)恒成立?m≤f（x）min.跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x）＝x2＋eq\f(a,x）(x≠0，常數(shù)a∈R）．若函數(shù)f(x)在x∈[2，＋∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．1．函數(shù)f(x)＝x＋lnx在（0,6)上是(）A．增函數(shù)B．減函數(shù)C．在eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f(1,e)))上是減函數(shù)，在eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,e），6）)上是增函數(shù)D．在eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0,\f(1，e)））上是增函數(shù)，在eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，6）)上是減函數(shù)2．設(shè)函數(shù)f(x）在定義域內(nèi)可導(dǎo),y＝f(x）的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象可能是（）3．函數(shù)f（x）＝lnx－ax（a〉0)的單調(diào)遞增區(qū)間為（)A.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)）） B.eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，a），＋∞)）C．（0,＋∞) D．（0，a)4．若函數(shù)f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞）內(nèi)單調(diào)遞增，則m的取值范圍是()A．m≥eq\f（4,3) B．m>eq\f(4,3)C．m≤eq\f(4，3) D．m〈eq\f（4,3）5．求函數(shù)f（x）＝(x－k)ex的單調(diào)區(qū)間．1．導(dǎo)數(shù)的符號(hào)反映了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值的大小反映了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間或某點(diǎn)附近變化的快慢程度．2．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間的一般步驟（1）確定函數(shù)f（x）的定義域．（2）求導(dǎo)數(shù)f′(x）．（3)在函數(shù)f(x）的定義域內(nèi)解不等式f′(x）>0和f′（x）<0。（4)根據(jù)（3）的結(jié)果確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1正遞增正正遞增負(fù)遞減負(fù)負(fù)遞減負(fù)負(fù)遞減思考2一般地，設(shè)函數(shù)y＝f（x），在區(qū)間（a，b）上：(1）如果f′（x）>0,則f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞增．(2)如果f′（x）<0,則f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞減．梳理>銳上升遞增<鈍下降遞減知識(shí)點(diǎn)二思考如圖所示，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間（0，b）或(a，0）內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，圖象“陡峭”，在區(qū)間(b，＋∞）或(－∞，a）內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較小，圖象“平緩"．題型探究例1證明∵f′（x）＝eq\f（xcosx－sinx，x2），又x∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π,2)，π）),則cosx<0，sinx>0，∴xcosx－sinx〈0,∴f′(x)<0，∴f（x）在eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π，2)，π）)上單調(diào)遞減．跟蹤訓(xùn)練1證明∵f(x)＝eq\f（lnx,x），∴f′(x）＝eq\f（x·\f（1，x）－lnx，x2)＝eq\f(1－lnx，x2).又0<x<e,∴l(xiāng)nx<lne＝1.∴f′(x）＝eq\f(1－lnx，x2）〉0,故f（x）在區(qū)間(0，e)上是增函數(shù)．例2解f（x)＝3x2－2lnx的定義域?yàn)椋?,＋∞)．f′(x）＝6x－eq\f(2，x)＝eq\f（23x2－1,x）＝eq\f（2\r(3）x－1\r（3)x＋1,x)，由x〉0,解f′(x)〉0，得x>eq\f（\r（3）,3），由x<0,解f′（x）<0，得0<x<eq\f（\r(3）,3)?！嗪瘮?shù)f（x）＝3x2－2lnx的單調(diào)遞增區(qū)間為(eq\f（\r（3),3）,＋∞）,單調(diào)遞減區(qū)間為(0,eq\f（\r（3），3)）．跟蹤訓(xùn)練2解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，2）∪(2，＋∞)．f′（x)＝eq\f(exx－2－ex,x－22）＝eq\f(exx－3,x－22）。因?yàn)閤∈(－∞，2）∪（2，＋∞），所以ex>0，（x－2)2>0。由f′（x）>0，得x〉3,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(3，＋∞)；由f′(x）<0，得x〈3,又函數(shù)f(x）的定義域?yàn)椋ǎ蓿?）∪（2，＋∞),所以函數(shù)f（x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，2），(2,3）．例3解函數(shù)f(x)的定義域是(0，＋∞），f′（x)＝2x－eq\f（a，x）＝eq\f(2x2－a，x）。設(shè)g(x)＝2x2－a，由g(x）＝0，得2x2＝a。當(dāng)a＝0時(shí),f′（x)＝2x〉0，函數(shù)f(x）在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞增;當(dāng)a〉0時(shí)，由g（x）＝0，得x＝eq\f(\r(2a），2)或x＝－eq\f（\r(2a),2)(舍去）．當(dāng)x∈(0，eq\f(\r(2a）,2))時(shí)，g（x)<0，即f′(x）<0，當(dāng)x∈(eq\f（\r(2a），2），＋∞）時(shí)，g(x）>0，即f′（x)〉0.所以當(dāng)a〉0時(shí)，函數(shù)f(x）在區(qū)間(0，eq\f（\r（2a)，2)）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（eq\f(\r(2a)，2），＋∞）上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f（x）在(eq\f(\r（2a）,2)，＋∞)上單調(diào)遞增,在(0，eq\f(\r（2a），2））上單調(diào)遞減．跟蹤訓(xùn)練3解（1)由題設(shè)知，函數(shù)f(x）的定義域?yàn)?0，＋∞），f′(x)＝x－(a＋m）＋eq\f（a，x）.由f′（1)＝0,得1－（a＋m)＋a＝0，解得m＝1.(2)由(1)得f′（x)＝x－（a＋1）＋eq\f（a，x)＝eq\f(x2－a＋1x＋a,x）＝eq\f(x－ax－1，x).當(dāng)a〉1時(shí)，由f′(x）〉0，得x〉a或0〈x<1,此時(shí)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(a，＋∞)，(0,1）；當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞);當(dāng)0〈a〈1時(shí)，由f′（x)>0,得x>1或0<x〈a，此時(shí)f(x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞），（0,a)；當(dāng)a≤0時(shí),由f′(x）>0，得x>1，此時(shí)f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)．綜上，當(dāng)a〉1時(shí)，f(x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，＋∞），(0，1)；當(dāng)a＝1時(shí)，f(x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，＋∞）；當(dāng)0〈a<1時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，（0，a);當(dāng)a≤0時(shí)，f(x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞）．例4[1，＋∞)解析由于f′（x）＝k－eq\f(1,x）,f(x）＝kx－lnx在區(qū)間(1,＋∞）上單調(diào)遞增?f′(x）＝k－eq\f（1，x）≥0在（1,＋∞)上恒成立．由于k≥eq\f(1,x)，而0〈eq\f（1,x)<1,所以k≥1，即k的取值范圍為[1，＋∞）．引申探究解f(x）＝kx－lnx的定義域?yàn)?0，＋∞），f′（x）＝k－eq\f（1,x），當(dāng)k≤0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，＋∞)；當(dāng)k〉0時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(eq\f(1，k)，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為（0，eq\f（1,k）)．跟蹤訓(xùn)練4解f′（x)＝2x－eq\f(a,x2）＝eq\f（2x3－a,x2).要使f（x)在［2，＋∞）上單調(diào)遞增，則f′（x)≥0在x∈[2，＋∞)時(shí)恒成立，即eq\f(2x3－a，x2）≥0在x∈[2，＋∞）時(shí)恒成立．∵x2>0,∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在x∈［2，＋∞）上恒成立，∴a≤(2x3）min。設(shè)y＝2x3,∵y＝2x3在［2,＋∞）上單調(diào)遞增,∴(2x3）min＝16,∴a≤16。當(dāng)a＝16時(shí)，f′（x)＝eq\f(2x3－16,x2)≥0(x∈［2,＋∞))，有且只有f′（2）＝0,∴a的取值范圍是（－∞,16］．當(dāng)堂訓(xùn)練1．A[∵x∈(0,＋∞），f′(x）＝1＋eq\f(1，x）〉0,∴函數(shù)在(0，6)上單調(diào)遞增．］2．C[原函數(shù)的單調(diào)性是當(dāng)x〈0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x〉0時(shí)，f(x)的單調(diào)性變化依次為增、減、增．故當(dāng)x〈0時(shí)，f′(x)〉0;當(dāng)x>0時(shí)，f′(x）的符號(hào)變化依次為＋，－，＋.故選C.］3．A[f（x）的定義域?yàn)椋鹸|x〉0},且a〉0，由f′(x）＝eq\f(1，x）－a〉0，得0〈x〈eq\f(1，a）.］4．A[∵