第二章平面向量一、選擇題(第1題)1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分別是AB，(第1題)A．與共線 B．與共線C．與相等 D．與相等2．下列命題正確的是()．A．向量與是兩平行向量B．若a，b都是單位向量，則a＝bC．若＝，則A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形D．兩向量相等的充要條件是它們的始點(diǎn)、終點(diǎn)相同3．平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3，1)，B(－1，3)，若點(diǎn)C滿足＝a＋b，其中a，b∈R，且a＋b＝1，則點(diǎn)C的軌跡方程為()．A．3x＋2y－11＝0 B．(x－1)2＋(y－1)2＝5C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝04．已知a、b是非零向量且滿足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，則a與b的夾角是(A． B． C． D．5．已知四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上(不包括端點(diǎn)A，C)，則＝()．A．λ(＋)，λ∈(0，1) B．λ(＋)，λ∈(0，)C．λ(－)，λ∈(0，1) D．λ(－)，λ∈(0，)6．△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC的中點(diǎn)，則＝()．A．＋ B．－C．＋ D．＋7．若平面向量a與b的夾角為60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，則向量a的模為()．A．2 B．4 C8．點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足·＝·＝·，則點(diǎn)O是△ABC的()．A．三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn)9．在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共線，則四邊形ABCD為()．A．平行四邊形 B．矩形 C．梯形 D．菱形(第10題)10．如圖，梯形ABCD中，||＝||，∥∥則相等向量是()．(第10題)A．與 B．與C．與 D．與二、填空題11．已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)與相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，則x＝．13．已知平面上三點(diǎn)A，B，C滿足||＝3，||＝4，||＝5，則·＋·＋·的值等于．14．給定兩個(gè)向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，則實(shí)數(shù)m等于．15．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若＋＋＝0，則O是△ABC的．

16．設(shè)平面內(nèi)有四邊形ABCD和點(diǎn)O，＝a，＝b，＝c,＝d，若a＋c＝b＋d，則四邊形ABCD的形狀是．三、解答題17．已知點(diǎn)A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若點(diǎn)P滿足＝＋λ(λ∈R)，試求λ為何值時(shí)，點(diǎn)P在第三象限內(nèi)？(第18題)18．如圖，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，且MN與AD交于(第18題)

19．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE(利用向量證明)．((第19題)20．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，－1)，則|2a－b|的最大值．

參考答案一、選擇題(第1題(第1題)解析：如圖，與，與不平行，與共線反向．2．A解析：兩個(gè)單位向量可能方向不同，故B不對(duì)．若＝，可能A，B，C，D四點(diǎn)共線，故C不對(duì)．兩向量相等的充要條件是大小相等，方向相同，故D也不對(duì)．3．D解析：提示：設(shè)＝(x，y)，＝(3，1)，＝(－1，3)，a＝(3a，a)，b＝(－b，3b)，又a＋b＝(3a－b，a＋3b)，∴(x，y)＝(3a－b，a＋3b)，∴，又a＋b＝1，由此得到答案為D．4．B解析：∵(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，∴(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，∴a2＝b2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cosθ＝2|a|2cosθ．解得cosθ＝．∴a與b的夾角是．5．A解析：由平行四邊形法則，＋＝，又＋＝，由λ的范圍和向量數(shù)乘的長(zhǎng)度，λ∈(0，1)．6．D解析：如圖，∵＝，∴＝＋＝＋．(第6題)7．C解析：由(a＋2b)·(a－3b)＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72．而|b|＝4，a·b＝|a||b|cos60°＝2|a|，∴|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D解析：由·＝·＝·，得·＝·,即·(－)＝0，故·＝0，⊥，同理可證⊥，∴O是△ABC的三條高的交點(diǎn)．9．C解析：∵＝＋＋＝－8a－2b＝2，∴∥且||≠|(zhì)|．∴四邊形ABCD為梯形．10．D解析：與，與，與方向都不相同，不是相等向量．二、填空題11．－．解析：A，B，C三點(diǎn)共線等價(jià)于，共線，＝－＝(4，5)－(k，12)＝(4－k，－7)，＝－＝(－k，10)－(4，5)＝(－k－4，5)，又A，B，C三點(diǎn)共線，∴5(4－k)＝－7(－k－4)，∴k＝－．12．－1．解析：∵M(jìn)(－1，3)，N(1，3)，∴＝(2，0)，又a＝，∴解得∴x＝－1．13．－25．解析：思路1：∵＝3，＝4，＝5，∴△ABC為直角三角形且∠ABC＝90°，即⊥，∴·＝0，∴·＋·＋·＝·＋·＝·(＋)＝－()2＝－＝－25．思路2：∵＝3，＝4，＝5，∴∠ABC＝90°，∴cos∠CAB＝＝，cos∠BCA＝＝．D(第13題)根據(jù)數(shù)積定義，結(jié)合圖(右圖)知D(第13題)·＝·cos∠ACE＝4×5×(－)＝－16，·＝·cos∠BAD＝3×5×(－)＝－9．∴·＋·＋·＝0―16―9＝－25．14．．解析：a＋mb＝(3＋2m，4－m)，a－b＝(1，5)．∵(a＋mb)⊥(a－b)，∴(a＋mb)·(a－b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0m＝．(第15(第15題)解析：如圖，以，為鄰邊作□AOCF交AC于點(diǎn)E，則＝＋，又＋＝－，∴＝2＝－．O是△ABC的重心．16．答案：平行四邊形．解析：∵a＋c＝b＋d，∴a－b＝d－c，∴＝．∴四邊形ABCD為平行四邊形．三、解答題17．λ＜－1．解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)．＋λ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵＝＋λ，∴(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴即(第18題)要使點(diǎn)P在第三象限內(nèi)，只需解得λ＜(第18題)18．＝(，2)．解析：∵A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，＝(－4，－3)，＝(－3，－5)．又D是BC的中點(diǎn)，∴＝(＋)＝(－4－3，－3－5)＝(－7，－8)＝(－，－4)．又M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴F是AD的中點(diǎn)，∴＝－＝－＝－(－，－4)＝(，2)．19．證明：設(shè)＝a，＝b，則＝a＋b，＝b－a．(第19題)∴·＝(a＋b)·(b－a)＝b2－a2＋a·b．(第19題)又⊥，且＝，∴a2＝b2，a·b＝0．∴·＝0，∴⊥．本題也可以建平面直角坐標(biāo)系后進(jìn)行證明．20．分析：思路1：2a－b＝(2cosθ－，2sinθ＋1)，∴|2a－b|2＝(2cosθ－)2＋(2sinθ＋1)2＝8＋4sinθ－4cosθ．又4sinθ－4cosθ＝8(sinθcos－cosθsin)＝8sin(θ－)，最大值為8，∴|2a－b|2的最大值為16，∴|2a－b|的最大值為4．思路2：將向量2a，b平移，使它們的起點(diǎn)與原點(diǎn)重合，則|2a－b|表示2a，b終點(diǎn)間的距離．|2a|＝2，所以2a的終點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)P，b的終點(diǎn)是該圓上的一個(gè)定點(diǎn)Q，由圓的知識(shí)可知，|PQ|的最大值為直徑的長(zhǎng)為4．但具體落到實(shí)處應(yīng)該是一種尊重，一種接人待物的方式方法。和文化知識(shí)有關(guān)，但不是必然，主要來(lái)自家庭的影響和后天的修為。赫本被譽(yù)為女神，不僅僅因其貌美，貌美的很多，并不能被全世界的人記??；也不是因?yàn)閷W(xué)歷，比她學(xué)歷高的比比皆是。但她用她的一生詮釋了修養(yǎng)這個(gè)概念，她在遺言里這樣說(shuō)“若要優(yōu)美的嘴唇，就要講親切的話。手不僅能解決自身問(wèn)題還能幫助別人；腦不僅能原諒別人還可以讓自身不斷進(jìn)步。我們身上每個(gè)零件都有用處，那些喜歡到處釋放物質(zhì)垃圾和精神垃圾的人都是不健全的?？催^(guò)很多父母抱怨自己的孩子不如旁人，那就看看自己是不是樣樣都行，孩子其實(shí)就是站在你面前的鏡子。在發(fā)成績(jī)單時(shí)，在開家長(zhǎng)會(huì)時(shí)，你惱怒了，你大打出手了，這恰恰暴露你精神世界的粗鄙。我倒是很感動(dòng)一句話”不需要你養(yǎng)老，只感謝讓我參與你的成長(zhǎng)?！叭粢蓯鄣难劬Γ鸵吹絼e人的好處；若要苗條的身材，就要把你的食物分享給饑餓的人。若要美麗的秀發(fā)，在于每天有孩子的手指穿過(guò)它；若要優(yōu)雅的姿態(tài)，走路時(shí)要記住行人不只你一個(gè)。人之所以為人，是必須充滿精力，自我悔改，自我反省，自我成長(zhǎng)；并非向人抱怨；當(dāng)你需要幫助的時(shí)候，你可以求助于自己的雙手；在年老之后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)自己的雙手能解決很多難題，一只手用來(lái)幫助自己，另一只用來(lái)幫助別人。這就是對(duì)修養(yǎng)最好的解讀，也是做人的最高境界，更是心靈之美與外在之美完美的結(jié)合。并且修養(yǎng)之美無(wú)處不在滲透影響著你的外在之美。如果大家都能做到，那么我們都是天使。她告訴我們手是用來(lái)勞動(dòng)而不是索取的，腦是用來(lái)懺悔而不是偏執(zhí)的。手不僅能解決自身問(wèn)題還能幫助別人；腦不僅能原諒別人還可以讓自身不斷進(jìn)步。第二章平面向量一、選擇題(第1題)1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則(第1題)A．與共線 B．與共線C．與相等 D．與相等2．下列命題正確的是()．A．向量與是兩平行向量B．若a，b都是單位向量，則a＝bC．若＝，則A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形D．兩向量相等的充要條件是它們的始點(diǎn)、終點(diǎn)相同3．平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3，1)，B(－1，3)，若點(diǎn)C滿足＝＋，其中，∈R，且＋＝1，則點(diǎn)C的軌跡方程為()．A．3x＋2y－11＝0 B．(x－1)2＋(y－1)2＝5C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝04．已知a、b是非零向量且滿足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，則a與b的夾角是()A． B． C． D．5．已知四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上(不包括端點(diǎn)A，C)，則＝()．A．λ(＋)，λ∈(0，1) B．λ(＋)，λ∈(0，)C．λ(－)，λ∈(0，1) D．λ(－)，λ∈(0，)6．△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC的中點(diǎn)，則＝()．A．＋ B．－C．＋ D．＋7．若平面向量a與b的夾角為60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，則向量a的模為()．A．2 B．4 C．6 D．8．點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足·＝·＝·，則點(diǎn)O是△ABC的()．A．三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn)9．在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共線，則四邊形ABCD為()．A．平行四邊形 B．矩形 C．梯形 D．菱形(第10題)10．如圖，梯形ABCD中，||＝||，∥∥則相等向量是()．(第10題)A．與 B．與C．與 D．與二、填空題11．已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)與相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，則x＝．13．已知平面上三點(diǎn)A，B，C滿足||＝3，||＝4，||＝5，則·＋·＋·的值等于．14．給定兩個(gè)向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，則實(shí)數(shù)m等于．15．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若＋＋＝0，則O是△ABC的．

16．設(shè)平面內(nèi)有四邊形ABCD和點(diǎn)O，＝a，＝b，＝c,＝d，若a＋c＝b＋d，則四邊形ABCD的形狀是．三、解答題17．已知點(diǎn)A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若點(diǎn)P滿足＝＋λ(λ∈R)，試求λ為何值時(shí)，點(diǎn)P在第三象限內(nèi)？(第18題)18．如圖，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，且MN與AD交于(第18題)

19．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE(利用向量證明)．((第19題)20．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，－1)，則|2a－b|的最大值．

參考答案一、選擇題(第1題(第1題)解析：如圖，與，與不平行，與共線反向．2．A解析：兩個(gè)單位向量可能方向不同，故B不對(duì)．若＝，可能A，B，C，D四點(diǎn)共線，故C不對(duì)．兩向量相等的充要條件是大小相等，方向相同，故D也不對(duì)．3．D解析：提示：設(shè)＝(x，y)，＝(3，1)，＝(－1，3)，＝(3，)，＝(－，3)，又＋＝(3－，＋3)，∴(x，y)＝(3－，＋3)，∴，又＋＝1，由此得到答案為D．4．B解析：∵(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b∴(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝b2－2a·∴a2＝b2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cosθ＝2|a|2cosθ．解得cosθ＝．∴a與b的夾角是．5．A解析：由平行四邊形法則，＋＝，又＋＝，由λ的范圍和向量數(shù)乘的長(zhǎng)度，λ∈(0，1)．6．D解析：如圖，∵＝，∴＝＋＝＋．(第6題)7．C解析：由(a＋2b)·(a－3b)＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72．而|b|＝4，a·b＝|a||b|cos60°＝2|a|，∴|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D解析：由·＝·＝·，得·＝·,即·(－)＝0，故·＝0，⊥，同理可證⊥，∴O是△ABC的三條高的交點(diǎn)．9．C解析：∵＝＋＋＝－8a－2b＝2，∴∥且||≠|(zhì)|．∴四邊形ABCD為梯形．10．D解析：與，與，與方向都不相同，不是相等向量．二、填空題11．－．解析：A，B，C三點(diǎn)共線等價(jià)于，共線，＝－＝(4，5)－(k，12)＝(4－k，－7)，＝－＝(－k，10)－(4，5)＝(－k－4，5)，又A，B，C三點(diǎn)共線，∴5(4－k)＝－7(－k－4)，∴k＝－．12．－1．解析：∵M(jìn)(－1，3)，N(1，3)，∴＝(2，0)，又a＝，∴解得∴x＝－1．13．－25．解析：思路1：∵＝3，＝4，＝5，∴△ABC為直角三角形且∠ABC＝90°，即⊥，∴·＝0，∴·＋·＋·＝·＋·＝·(＋)＝－()2＝－＝－25．思路2：∵＝3，＝4，＝5，∴∠ABC＝90°，∴cos∠CAB＝＝，cos∠BCA＝＝．D(第13題)根據(jù)數(shù)積定義，結(jié)合圖(右圖)D(第13題)·＝·cos∠ACE＝4×5×(－)＝－16，·＝·cos∠BAD＝3×5×(－)＝－9．∴·＋·＋·＝0―16―9＝－25．14．．解析：a＋mb＝(3＋2m，4－m)，a－b＝(1，5)∵(a＋mb)⊥(a－b)，∴(a＋mb)·(a－b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0m＝(第15題)(第15題)解析：如圖，以，為鄰邊作□AOCF交AC于點(diǎn)E，則＝＋，又＋＝－，∴＝2＝－．O是△ABC的重心．16．答案：平行四邊形．解析：∵a＋c＝b＋d，∴a－b＝d－c，∴＝．∴四邊形ABCD為平行四邊形．三、解答題17．λ＜－1．解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)．＋λ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵＝＋λ，∴(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴即(第18題)要使點(diǎn)P在第三象限內(nèi)，只需解得λ(第18題)18．＝(，2)．解析：∵A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，＝(－4，－3)，＝(－3，－5)．又D是BC的中點(diǎn)，∴＝(＋)＝(－4－3，－3－5)＝(－7，－8)＝(－，－4)．又M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴F是AD的中點(diǎn)，∴＝－＝－＝－(－，－4)＝(，2)．19．證明：設(shè)＝a，＝b，則＝a＋b，＝b－a．(第19題)∴·＝(a＋b)·(b－a)＝b2－a2＋a·b．(第19題)又⊥，且＝，∴a2＝b2，a·b＝0．∴·＝0，∴⊥．本題也可以建平面直角坐標(biāo)系后進(jìn)行證明．20．分析：思路1：2a－b＝(2cosθ－，2sinθ＋1)，∴|2a－b|2＝(2cosθ－)2＋(2sinθ＋1)2＝8＋4sinθ－4cosθ．又4sinθ－4cosθ＝8(sinθcos－cosθsin)＝8sin(θ－)，最大值為8，∴|2a－b|2的最大值為16，∴|2a－b思路2：將向量2a，b平移，使它們的起點(diǎn)與原點(diǎn)重合，則|2a－b|表示2a，b終點(diǎn)間的距離．