課時作業(yè)(二)向量的加法運算一、選擇題1．(多項選擇)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(DA,\s\up14(→))＝a，且b是非零向量，那么以下結論正確的選項是()A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)＋b＝aC．a(chǎn)＋b＝b D．|a＋b|<|a|＋|b|答案：AC解析：∵eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(DA,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＋eq\o(DA,\s\up14(→))＝0，∴a為零向量．∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于這個向量本身，∴A，C正確，B，D錯誤．2．如下圖的方格紙中有定點O，P，Q，E，F(xiàn)，G，H，那么eq\o(OP,\s\up14(→))＋eq\o(OQ,\s\up14(→))＝()A．eq\o(OH,\s\up14(→)) B．eq\o(OG,\s\up14(→))C．eq\o(FO,\s\up14(→)) D．eq\o(EO,\s\up14(→))答案：C解析：設a＝eq\o(OP,\s\up14(→))＋eq\o(OQ,\s\up14(→))，利用向量加法的平行四邊形法那么作出向量a，再平移即可發(fā)覺a＝eq\o(FO,\s\up14(→)).3．如圖，在正六邊形ABCDEF中，假設AB＝1，那么|eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(FE,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))|等于()A．1 B．2C．3 D．2eq\r(3)答案：B4．在平行四邊形ABCD中，假設|eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))|＝|eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))|，那么四邊形ABCD是()A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不確定答案：B解析：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))＝eq\o(BD,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))，又|eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))|＝|eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))|，∴|eq\o(BD,\s\up14(→))|＝|eq\o(AC,\s\up14(→))|，∴該平行四邊形ABCD為矩形．二、填空題5．某人在靜水中游泳，速度為4eq\r(3)km/h.假如此人沿垂直于水流的方向游向河對岸，水的流速為4km/h，那么此人實際沿________的方向前進，速度為________．答案：與水流方向成60°8km/h解析：如下圖，∵OB＝4eq\r(3)，OA＝4，∴OC＝8，∴∠COA＝60°.即他實際沿與水流方向成60°的方向前進，速度為8km/h.6．設|a|＝8，|b|＝12，那么|a＋b|的最大值與最小值分別為________．答案：20,47．依據(jù)圖示填空，其中a＝eq\o(DC,\s\up14(→))，b＝eq\o(CO,\s\up14(→))，c＝eq\o(OB,\s\up14(→))，d＝eq\o(BA,\s\up14(→)).(1)a＋b＋c＝________.(2)b＋d＋c＝________.答案：(1)eq\o(DB,\s\up14(→))(2)eq\o(CA,\s\up14(→))8．設六邊形A1A2A3A4A5A6是正六邊形，O是它的中心，那么eq\o(OA1,\s\up14(→))＋eq\o(OA2,\s\up14(→))＋eq\o(OA3,\s\up14(→))＋eq\o(OA4,\s\up14(→))＋eq\o(OA5,\s\up14(→))＋eq\o(OA6,\s\up14(→))＝________.答案：0解析：∵eq\o(OA1,\s\up14(→))與eq\o(OA4,\s\up14(→))，eq\o(OA2,\s\up14(→))與eq\o(OA5,\s\up14(→))，eq\o(OA3,\s\up14(→))與eq\o(OA6,\s\up14(→))分別互為相反向量，∴eq\o(OA1,\s\up14(→))＋eq\o(OA2,\s\up14(→))＋eq\o(OA3,\s\up14(→))＋eq\o(OA4,\s\up14(→))＋eq\o(OA5,\s\up14(→))＋eq\o(OA6,\s\up14(→))＝0.9．假設P為△ABC的外心，且eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PB,\s\up14(→))＝eq\o(PC,\s\up14(→))，那么∠ACB＝________.答案：120°解析：由eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PB,\s\up14(→))＝eq\o(PC,\s\up14(→))，知四邊形ACBP為平行四邊形，又P為△ABC外心，∴四邊形ACBP為菱形，且PA＝PC＝AC，∠ACP＝60°，易得∠ACB＝120°.三、解答題10．如下圖，O為正六邊形ABCDEF的中心，試通過計算，用圖中有向線段表示以下向量的和：(1)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))；(2)eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(FE,\s\up14(→))；(3)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(FE,\s\up14(→)).解：(1)∵四邊形OABC是平行四邊形，∴eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))＝eq\o(OB,\s\up14(→)).(2)∵BC∥AD∥FE，BC＝FE＝eq\f(1,2)AD，∴eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AO,\s\up14(→))，eq\o(FE,\s\up14(→))＝eq\o(OD,\s\up14(→))，∴eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(FE,\s\up14(→))＝eq\o(AO,\s\up14(→))＋eq\o(OD,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→)).(3)∵|eq\o(OA,\s\up14(→))|＝|eq\o(FE,\s\up14(→))|，eq\o(OA,\s\up14(→))與eq\o(FE,\s\up14(→))反向，∴eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(FE,\s\up14(→))＝0.11．如圖，G是△ABC所在平面內(nèi)一點．求證：G是△ABC的重心的充要條件是eq\o(GA,\s\up14(→))＋eq\o(GB,\s\up14(→))＋eq\o(GC,\s\up14(→))＝0.證明：(充分性)如圖，以GB，GC為鄰邊作?GBEC，連接GE，交BC于點M，那么M是BC的中點，也是GE的中點．由于eq\o(GB,\s\up14(→))＋eq\o(GC,\s\up14(→))＝eq\o(GE,\s\up14(→))，又eq\o(GA,\s\up14(→))＋eq\o(GB,\s\up14(→))＋eq\o(GC,\s\up14(→))＝0，所以eq\o(GE,\s\up14(→))＝eq\o(AG,\s\up14(→)).于是可得點G在線段AM上，且AG＝2GM，又AM是△ABC的邊BC上的中線，所以G是△ABC的重心．(必要性)如圖，延長AG交BC于點D，那么由G是△ABC的重心，得D是BC的中點，且AG＝2GD．延長GD到E′，使DE′＝GD，連接E′B，E′C，那么四邊形GBE′C是平行四邊形，所以eq\o(GB,\s\up14(→))＋eq\o(GC,\s\up14(→))＝eq\o(GE′,\s\up14(→))＝－eq\o(GA,\s\up14(→))，故eq\o(GA,\s\up14(→))＋eq\o(GB,\s\up14(→))＋eq\o(GC,\s\up14(→))＝0.綜上，G是△ABC的重心的充要條件是eq\o(GA,\s\up14(→))＋eq\o(GB,\s\up14(→))＋eq\o(GC,\s\up14(→))＝0.12．如圖，向量a，b，c，d.(1)求作a＋b＋c＋d.(2)設|a|＝2，e為單位向量，求|a＋e|的最大值．解：(1)在平面內(nèi)任取一點O，作Oeq\o(A,\s\up14(→))＝a，Aeq\o(B,\s\up14(→))＝b，Beq\o(C,\s\up14(→))＝c，Ceq\o(D,\s\up14(→))＝d，那么Oeq\o(D,\s\up14(→))＝a＋b＋c＋d.(2)在平面內(nèi)任取一點O，作Oeq\o(A,\s\up14(→))＝a，Aeq\o(B,\s\up14(→))＝e，那么a＋e＝Oeq\o(A,\s\up14(→))＋Aeq\o(B,\s\up14(→))＝Oeq\o(B,\s\up14(→))，由于e是單位向量，所以點B在以A為圓心的單位圓上(如下圖)，由圖可知當點B在點B1處時，即O，A，B1三點共線時|a＋e|最大，所以|eq\o(OB1,\s\up14(→))|即|a＋e|的最大值，最大值是3.13．如圖，中心為O的正八邊形A1A2…A7A8中，a1＝eq\o(A1A2,\s\up14(→))，ai＝AiAi＋1(i＝1,2，…，7)，bj＝eq\o(OAj,\s\up14(→))(j＝1，2，…，8)，試化簡a2＋a5＋b2＋b5＋b7.解：∵eq\o(OA3,\s\up14(→))＋eq\o(OA7,\s\up14(→))＝0，∴a2＋a5＋b2＋b5＋b7＝eq\o(A2A3,\s\up14(→))＋eq\o(A5A6,\s\up14(→))＋eq\o(OA2,\s\up14(→))＋eq\o(OA5,\s\up14(→))＋eq\o(OA7,\s\up14(→))＝(eq\o(OA2,\s\up14(→))＋eq\o(A2A3,\s\up14(→)))＋(eq\o(OA5,\s\up14(→))＋eq\o(A5A6,\s\up14(→)))＋eq\o(OA7,\s\up14(→))＝eq\o(OA3,\s\up14(→))＋eq\o(OA6,\s\up14(→))＋eq\o(OA7,\s\up14(→))＝eq\o(OA6,\s\up14(→))＝b6.14．在某次大地震后，一架救援直升飛機從A地沿北偏東60°方向飛行了40km到達B地，再由B地沿正北方向飛行40km到達C地，用向量法求此時直升飛機與A地的相對位置．解：如下圖，設eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))分別是直升飛機兩次位移，那么eq\o(AC,\s\up14(→))表示兩次位移的合位移，即eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\