第六節(jié)二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布必備知識·夯實雙基關鍵能力·題型突破【課標標準】1.了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數字特征，并能解決簡單的實際問題.2.了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實際問題.3.了解服從正態(tài)分布的隨機變量，了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義．必備知識·夯實雙基知識梳理1.n重伯努利試驗把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗．將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為________________．2．二項分布(1)定義：一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數，則X的分布列為P(X＝k)＝________________，k＝0，1，2，…，n，則稱隨機變量X服從二項分布，記作____________．(2)均值與方差：若X～B(n，p)，則E(X)＝________，D(X)＝________．n重伯努利試驗

X～B（n，p）npnp（1－p）

1

x＝μ⑤當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖(1)所示．⑥當μ取定值時，正態(tài)曲線的形狀由σ確定，σ較小時，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較集中；σ較大時，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散，如圖(2)所示．

X～N（μ，σ2）μσ2

×√√√2．(教材改編)雞接種一種疫苗后，有90%不會感染某種病毒，如果有5只雞接種了疫苗，則恰好有4只雞沒有感染病毒的概率約為(

)A．0.33

B．0.66C．0.5

D．0.45答案：A

3．(教材改編)某學校高二年級數學學業(yè)質量檢測考試成績X～N(80，25)，如果規(guī)定大于或等于85分為A等，那么在參加考試的學生中隨機選擇一名，他的成績?yōu)锳等的概率是________．0.1585

答案：B

5．(易錯)已知隨機變量X服從正態(tài)分布X～N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，則c＝________．

關鍵能力·題型突破題型一二項分布例1[2023·河北滄州模擬]足球比賽淘汰賽階段常規(guī)比賽時間為90分鐘，若在90分鐘結束時進球數持平，需進行30分鐘的加時賽，若加時賽仍是平局，則采用“點球大戰(zhàn)”的方式決定勝負．“點球大戰(zhàn)”的規(guī)則如下：①兩隊各派5名隊員，雙方輪流踢點球，累計進球個數多者勝；②如果在踢滿5輪前，一隊的進球數已多于另一隊踢滿5輪最多可能射中的球數，則不需要再踢(例如：第4輪結束時，雙方“點球大戰(zhàn)”的進球數比為2∶0，則不需要再踢第5輪了)；③若前5輪“點球大戰(zhàn)”中雙方進球數持平，則從第6輪起，雙方每輪各派1人罰點球，若均進球或均不進球，則繼續(xù)下一輪，直到出現一方進球另一方不進球的情況，進球方勝出．

X0123P

題后師說(1)判斷某隨機變量是否服從二項分布的關鍵點：①在每一次試驗中，事件發(fā)生的概率相同；②各次試驗中的事件是相互獨立的；③在每一次試驗中，試驗的結果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生．(2)在求n重伯努利試驗中事件恰好發(fā)生k次的概率時，首先要確定好n和k的值，再準確利用公式求概率．

X024P題型二超幾何分布例2[2023·廣東廣州模擬]近年來，某市為促進生活垃圾分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設置了相應的垃圾桶．為調查居民生活垃圾分類投放情況，現隨機抽取了該市三類垃圾桶中的生活垃圾，總計400噸，數據統(tǒng)計如下表(單位：噸)．

廚余垃圾桶可回收物桶其他垃圾桶廚余垃圾602020可回收物104010其他垃圾3040170(1)試估計廚余垃圾投放正確的概率P；(2)某社區(qū)成立了垃圾分類宣傳志愿者小組，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，現從這10名志愿者中隨機選取3名，利用節(jié)假日到街道進行垃圾分類宣傳活動(每名志愿者被選到的可能性相同)．設X為選出的3名志愿者中男性志愿者的個數，求隨機變量X的分布列及數學期望．

X0123P題后師說(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數．超幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數X的概率分布．(2)超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質是古典概型．鞏固訓練2共享電動車是一種新的交通工具，通過掃碼開鎖，實現循環(huán)共享．某校園旁停放了10輛共享電動車，這些電動車分為熒光綠和橙色兩種顏色，已知從這些共享電動車中任取1輛，取到的是橙色的概率為P＝0.4，若從這些共享電動車中任意抽取3輛．(1)求取出的3輛共享電動車中恰好有一輛是橙色的概率；(2)求取出的3輛共享電動車中橙色的電動車的輛數X的分布列與數學期望．

X0123P

題后師說利用對稱性，μ，σ以及分布區(qū)間的特征進行轉化，使分布區(qū)間轉化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率．鞏固訓練3[2023·江西南昌模擬]國際上常用體重指數作為判斷胖瘦的指標，體重指數是體重(單位：千克)與身高(單位：米)的平方的比值．高中學生由于學業(yè)壓力，缺少體育鍛煉等原因，導致體重指數偏高．某市教育局為督促各學校保證學生體育鍛煉時間，減輕學生學習壓力，準備對各校學生體重指數進行抽查，并制定了體重指數檔次及所對應得分如下表：檔次低體重正常超重肥胖體重指數x(單位：kg/m2)x<17.317.3≤x<23.923.9≤x<27.2x≥27.2學生得分801008060

16.316.917.117.518.218.519.019.319.519.820.220.220.520.821.221.421.521.922.322.522.822.923.023.323.323.523.623.824.024.124.124.324.524.624.824.925.225.325.525.725.926.126.426.727.127.628.228.829.130.0

檔次低體重正常超重肥胖體重指數x(單位：kg/m2)x<17.317.3≤x<23.923.9≤x<27.2x≥27.2人數325175

1.[2022·新高考Ⅱ卷]已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>2.5)＝________．0.14解析：由題意可知P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.2．[2021·新高考Ⅱ卷]某物理量的測量結果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，下列結論中不正確的是(

)A．σ越小，該物理量在一次測量中在(9.9，10.1)的概率越大B．σ越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C．σ越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．σ越小，該物理量在一次測量中落在(9.9，10.2)與落在(10，10.3)的概率相等答案：D解析：對于A，σ2為數據的方差，所以σ越小，數據在μ＝10附近越集中，所以測量結果落在(9.9，10.1)內的概率越大，故正確；對于B，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10