2019-2020學(xué)年廣東省惠州市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】先因式分解，再解一元二次不等式即可.【詳解】解：∵，∴，解得.用集合表示為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法，是基礎(chǔ)題.2．已知等差數(shù)列中，，，則的值是（）A．7 B．12 C．15 D．64【答案】C【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，即可得出.【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，又，，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題3．正四棱錐的底面邊長和高都等于2，則該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．8【答案】C【解析】利用正四棱錐的體積公式直接求解.【詳解】∵正四棱錐的底面邊長和高都等于2，∴該四棱錐的體積.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查棱錐的體積的求法，屬于基礎(chǔ)題.4．不等式組構(gòu)成的區(qū)域面積為（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【解析】由二元一次不等式的幾何意義畫出平面區(qū)域，然后結(jié)合三角形面積公式求解【詳解】根據(jù)題意，對(duì)于不等式組，直線與直線相交于點(diǎn)，設(shè)；直線與直線相交于點(diǎn)，設(shè)；直線與直線相交于點(diǎn)，設(shè)；則不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)榈膬?nèi)部區(qū)域及邊界.如圖所示:又由直線與垂直，又由，則；故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次不等式組與平面區(qū)域，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題.5．關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意可得出，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】不等式的解集為，所以，即，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用一元二次不等式恒成立求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6．在中，，，，則等于（）A．90° B．60° C．45° D．120°【答案】A【解析】直接利用正弦定理和余弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】解：中，，，，所以由余弦定理，解得.利用正弦定理，解得，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用正余弦定理解三角形，考查運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題.7．已知，，若直線與線段有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】先求出直線的斜率和直線的斜率，再根據(jù)題意求得的范圍.【詳解】由于直線的斜率為，且經(jīng)過定點(diǎn)，設(shè)此定點(diǎn)為，直線的斜率為，直線的斜率為，如下圖所示，故，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的概率的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題.8．設(shè)的內(nèi)角、、所對(duì)邊分別為、、，若，則此三角形一定是（）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】B【解析】根據(jù)余弦定理表示出，與已知等式聯(lián)立，化簡(jiǎn)求解.【詳解】由余弦定理得，又，所以得：，∴，∴.又和都大于0，則，即三角形為等腰三角形.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9．《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑[nào].如圖，在鱉臑中，面，，，，則下列選項(xiàng)中，不正確的是（）A．面面B．二面角的余弦值為C．與面所成角為D．三棱錐外接球的表面積為【答案】D【解析】對(duì)于A，證明面，利用面面垂直的判定定理可得面面；對(duì)于B，由面得，，可得就是二面角的平面角，解三角形即可；對(duì)于C，面易得與面所成角為；對(duì)于D，取的中點(diǎn)為，則，可得外接球的半徑為1，即得表面積.【詳解】∵，，，∴，∴，可得，，則有，∴.對(duì)于A，∵面∴，又，，得面，又平面，∴面面故正確；對(duì)于B，∵面，∴，，∴就是二面角的平面角，余弦值為，故正確；對(duì)于C，∵面，∴與面所成角為，故正確；對(duì)于D，取的中點(diǎn)為，則，所以三棱錐外接球的球心為，半徑為1，其表面積，故錯(cuò).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定定理和線面角，二面角的求法，考查多面體外接球的表面積，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10．已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比是正整數(shù)，前項(xiàng)和為，若，且是正整數(shù)，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】試題分析：∵數(shù)列{an}是以d為公差的等差數(shù)列，且a1=d，;又?jǐn)?shù)列{bn}是公比q的等比數(shù)列，且b1=d2，∴;∴∈N．又∵q是正整數(shù)，∴1+q+q2=7，解得q=2．∴；故選B．【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．二、多選題11．若，下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】CD【解析】通過反例、作差法、不等式的性質(zhì)可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】解：由，取，，則可排除A、B，因?yàn)?，所以，所以，即，故C正確；所以，即，故D正確.故選：CD.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)和作差法比較大小，是基礎(chǔ)題.12．如圖，直線，，的斜率分別為，，，傾斜角分別為，，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】根據(jù)直線的圖象特征，結(jié)合查直線的斜率和傾斜角，得出結(jié)論.【詳解】解：如圖，直線，，的斜率分別為，，，傾斜角分別為，，，則，，故，且為鈍角，故選：AD.【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角與斜率，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.三、填空題13．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則的前項(xiàng)和為__.【答案】【解析】利用數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列，求出該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，利用等比數(shù)列的求和公式可求得該數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，且，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比也為，因此，數(shù)列的前項(xiàng)和為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和，要確定等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14．函數(shù)的最小值為__.【答案】3【解析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，運(yùn)用基本不等式求解.【詳解】函數(shù)，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，則函數(shù)的最小值為3，故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.15．已知直線過點(diǎn)，且與直線平行，則直線的方程為__.【答案】【解析】根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，將的坐標(biāo)代入計(jì)算可得的值，將其代入直線的方程，計(jì)算即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，直線與直線平行，設(shè)直線的方程為，又由直線經(jīng)過點(diǎn)，則有，解可得；故直線的方程為，故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查由兩直線的位置關(guān)系求直線方程，屬于基礎(chǔ)題16．一船向正北方向勻速行駛，看見正西方向兩座相距10海里的燈塔恰好與該船在同一直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見其中一座燈塔在南偏西方向上，另一燈塔在南偏西方向上，則該船的速度是____海里/小時(shí).【答案】【解析】由題意，設(shè)，得到，然后在中，利用正弦定理求解.【詳解】如圖所示：設(shè)船的初始位置為，半小時(shí)后行駛到，兩個(gè)港口分別位于和，所以，，則，設(shè)，則，在中，.所以利用正弦定理，解得所以船速為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的實(shí)際應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.四、解答題17．（1）求的值；（2）求函數(shù)的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接利用兩角差的正切公式的逆用求解.（2）先利用平方關(guān)系和二倍角的正弦公式將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1），.（2）函數(shù)，.當(dāng)，即，取得最大值4.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18．已知數(shù)列滿足，（其中且）.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知得（，），利用累加法求通項(xiàng)公式；（2）寫出，利用裂項(xiàng)相消法求.【詳解】（1）（，）∴，（），當(dāng)時(shí)滿足上式，∴.（2）∴.【點(diǎn)睛】本題考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題.19．一條光線從點(diǎn)射出，與軸相交于點(diǎn)，經(jīng)軸反射后與軸交于點(diǎn).（1）求反射光線的方程；（2）求三角形的面積.【答案】（1），其中；（2）8.【解析】（1）直接利用點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱，求出對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用反射定理，求出直線的方程；（2）首先根據(jù)（1）中直線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出三角形的邊長，再利用三角形的面積公式求出結(jié)果.【詳解】（1）如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，則反射光線所在的直線過點(diǎn)和，所以，所以直線的直線方程為.所以反射光線的的直線方程為，其中.（2）由（1）得知，，所以，所以，，所以..【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱、求直線方程、三角形面積問題.20．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，，，的面積為.（1）求，的值；（2）求的值.【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）利用，，的面積為求得，然后再利用余弦定理求解.（2）結(jié)合（1）利用余弦定理求得的值，再由平方關(guān)系求得的值，然后利用正弦的兩角和公式求解.【詳解】（1）由已知，，，因?yàn)?，即，解?由余弦定理可得：，所以.（2）由（1）及余弦定理有，因?yàn)锳是三角形的內(nèi)角，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理，三角形面積公式和兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.21．已知幾何體中，，，，面，，.（1）求三棱錐的體積；（2）求證：平面平面.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）推導(dǎo)出平面，即為三棱錐的高，由，，得，由此能求出三棱錐的體積.（2）推導(dǎo)出，取中點(diǎn)，由已知可得，，取中點(diǎn)，由已知得，，則，，從而，再推導(dǎo)出，從而平面，由此能證明平面平面.【詳解】解：（1）解：∵，且平面，∴平面，即為三棱錐的高，，，∴，，∴.（2）證明：由（1）知平面，平面，∴，取中點(diǎn)，由已知可得，，則，，∴，∴，∵，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.【點(diǎn)睛】此題考查三棱錐體積的求法，考查面面垂直的證明，考查推理能力，屬于中檔題22．如圖，某公司擬購買一塊地皮建休閑公園，從公園入口沿、方向修建兩條小路，休息亭與入口兩點(diǎn)間相距米（其中為正常數(shù)），過修建一條筆直的鵝卵石健身步行道，步行道交兩條小路于、處，已知，.（1）設(shè)米，米，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）若地皮單價(jià)為定值，試確定、的位置，使三條路圍成的三角形地皮購價(jià)最低.【答案】（1），；（2）當(dāng)米，米時(shí)，三條路圍成的地皮購價(jià)最低.【解析】（1）由已知求得，利用，可得，再由，大于0求得函數(shù)定義域，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式可求；（2）設(shè)三條路圍成地皮購價(jià)為元，地皮單價(jià)為元/平方米，則（為常數(shù)），要使最小，只要最小