四十章動態(tài)型問題

18.（2018江蘇蘇州，18,3分）如圖①，在梯形ABCD中，AD〃BC,ZA=60°,動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以lcm/s的

速度沿著A-BfCfD的方向不停移動，直到點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D后才停止.已知4PAD的面積S（單位：cm?）與點(diǎn)P

移動的時間（單位：s）的函數(shù)如圖②所示，則點(diǎn)P從開始移動到停止移動一共用了（4+2盜）秒（結(jié)果保

留根號）.

24

（圖②）

分析：根據(jù)圖②判斷出AB、BC的長度，過點(diǎn)B作BELAD于點(diǎn)E,然后求出梯形ABCD的高

BE,再根據(jù)t=2時4PAD的面積求出AD的長度，過點(diǎn)C作CF_LAD于點(diǎn)F,然后求出

DF的長度，利用勾股定理列式求出CD的長度，然后求出AB、BC、CD的和，再根據(jù)

時間=路程+速度計算即可得解.

解答：解：由圖②可知，t在2到4秒時，APAD的面積不發(fā)生變化，

...在AB上運(yùn)動的時間是2秒，在BC上運(yùn)動的時間是4-2=2秒，

???動點(diǎn)P的運(yùn)動速度是lcm/s,

.\AB=2cm,BC=2cm,

過點(diǎn)B作BE±AD于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CF±AD于點(diǎn)F,

則四邊形BCFE是矩形，

/.BE=CF,BC=EF=2cm,

VZA=60°,

ABE=ABsin60°=2X

2

AE=ABcos60°=2X.1=1,

2

.,.1XADXBE=3V3,

即.XADX后3&,

解得AD=6cm,

ADF=AD-AE-EF=6-1-2=3,

在RSCDF中，2=^22=2^,

CD=^CF2+DF+3

所以，動點(diǎn)P運(yùn)動的總路程為AB+BC+CD=2+2+2后4+2?,

?動點(diǎn)P的運(yùn)動速度是lcm/s,__

.?.點(diǎn)P從開始移動到停止移動一共用了（4+273）+1=4+2?（秒）.

故答案為：（4+273）.

cB

EA

點(diǎn)評：本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖②的三角形的面積的變化情況判斷出AB、

BC的長度是解題的關(guān)鍵，根據(jù)梯形的問題中，經(jīng)常作過梯形的上底邊的兩個頂點(diǎn)的

高線作出輔助線也很關(guān)鍵.

23.(2018貴州省畢節(jié)市，23,12分)如圖①，有一張矩形紙片，將它沿對角線AC剪開，得到4ACD和4A'BC'.

⑴如圖②，將4ACD沿A'C邊向上平移，使點(diǎn)A與點(diǎn)C，重合，連接卜D和BC,四邊形A，BCD是形;

(2)如圖③，將4ACD的頂點(diǎn)A與A，點(diǎn)重合，然后繞點(diǎn)A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A、B在同一直線上，

則旋轉(zhuǎn)角為度；連接CC，,四邊形CDBC'是形；

(3)如圖④，將AC邊與A'C'邊重合，并使頂點(diǎn)B和D在AC邊的同一側(cè)，設(shè)AB、CD相交于E,連接BD,四

邊形ADBC是什么特殊四邊形？請說明你的理由。

第23題圖

解析：(1)利用平行四邊形的判定，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得出即可；(2)利用旋轉(zhuǎn)變換的

性質(zhì)以及直角梯形判定得出即可；(3)利用等腰梯形的判定方法得出BD〃AC,AD=CE,即可得出答案.

解案：解：(1)平行四邊形；

證明：,??AD=AB,AA'=AC,C與BD互相平分，

四邊形A'BCD是平行四邊形；.

(2)；DA由垂直于AB,逆時針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D、A、B在同一直線上，

.?.旋轉(zhuǎn)角為90度；

證明：VZD=ZB=90°,A,D,B在一條直線上，勺~-yCC(C)

.?.CD〃BC',.'.四邊形CDBC'是直角梯形；Dc……......

故答案為：9。，直角梯；,V

(3)四邊形ADBC是等腰梯形；與BA'SDA(A'LB/

①②③④

證明：過點(diǎn)B作BMLAC,過點(diǎn)D作DN_LAC,垂足

分別為M,N,

\?有一張矩形紙片，將它沿對角線AC剪開，得到4ACD和AA'BC'./.AACD^AA,BC',；.BM=ND,；.BD〃

AC,

???AD=BC,...四邊形ADBC是等腰梯形.

點(diǎn)評：此題主要考查了圖形的剪拼與平行四邊形的判定和等腰梯形的判定、直角梯形的判定方法等知識，熟練

掌握判定定理是解題關(guān)鍵.

26.（2019年廣一西玉林市，26,12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形AOCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0,4）,

現(xiàn)有兩動點(diǎn)P,Q,點(diǎn)P從點(diǎn)0出發(fā)沿線段0C（不包括端點(diǎn)0,C）以每秒2個單位長度的速度勻速向點(diǎn)C運(yùn)動，

點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CD（不包括端點(diǎn)C、D）以每秒1個單位長度的速度勻速向點(diǎn)D運(yùn)動.點(diǎn)P,Q同時出發(fā)，

同時停止.設(shè)運(yùn)動的時間為t（秒），當(dāng)t=2（秒）時，PQ=2V5.

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并直接寫出t的取值范圍；

（2）連接AQ并延長交x軸于點(diǎn)E,把AE沿AD翻折交CD延長線于點(diǎn)F,連接EF,則4AEF的面積S是否隨t

的變化而變化？若變化，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；若不變化，求出s的值.

（3）在（2）的條件下，t為何值時，四邊形APQF是梯形？

解：（1）設(shè)0C=x,當(dāng)t=2時，0P=4,PC=x—4；CQ=2.

22222

在RtZ\PQC中，PQ=PC+CQ,.（2V5J=（%-4）+2，解得玉=0（不合題意，舍去），x2=8,AD

點(diǎn)坐標(biāo)（8,4）；

（2）由翻折可知，點(diǎn)Q和點(diǎn)F關(guān)于直線AD對稱，.?.QD=DF=4-t,而AD=8,二S.QF=gx8x2（4—。=32—8f.

設(shè)經(jīng)過A（0,4）、Q（8,t）兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為y=故有：

A=bt—4/—4

解得女=，，一次函數(shù)的解析式為y=.X+4,易知一次函數(shù)與大軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為

t=Sk+h88

32321三一8卜2(4—f)=8f,

0),.'.EC=------8,S.rnF=—x

4-/4-tQ2

：.S^FE=SMFQ+SSQFE=32-8f+8f=32....AAEF的面積S不隨t的變化而變化，s的值為32.

(3)因AP與QF不平行，要想使四邊形APQF是梯形，須有PQ〃AF.

VAF=AQ,AZAFQ=ZAQF,而NCQE=NAQF,要想PQ〃AF,須有NAFQ=NPQC,故只需具備條件NPQC=NCQE,

又；QC_LPE,CQP=NQCE,QC=QC,.-.△CQP^AQCE,.\PC=CE,即8-2t=-----8,解得乙=6+2,(不

4—f

合題意，舍去），L=6-2岔.故當(dāng)/=6-2若時，四邊形APQF是梯形.

22.(2018珠海，22,9分)如圖，在等腰梯形ABCD中AB〃CD,AB=3四，DC=四，高CE=2亞，對角線AC、BD

交于H,平行于線段BD的兩條直線MN、RQ同時從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速平移，分別交等腰梯形ABCD的

邊于M、N和R、Q,分別交對角線AC于F、G；當(dāng)直線RQ到達(dá)點(diǎn)C時，兩直線同時停止移動.記等腰梯形ABCD

被直線MN掃過的面積為5,被直線RQ掃過的面積為$2,若直線MN平移的速度為1單位/秒，直線RQ平移的速

度為2單位/秒,設(shè)兩直線移動的時間為x秒.

(1)填空:NAHB=;AC=;

⑵若S?=3S],求x;

(3)若邑="玷,求m的變化范圍.

【解析】(1)如圖第22題-1所示,

平移對角線DB,交AB的延長線于P.則四邊形BPCD是平行四邊形,BD=PC,BP=DC=&.因為等腰梯形ABCD,AB

〃CD,所以AC=BD.所以AC=PC.又高CE=2亞，AB=3&,所以AE=EP=2也.所以NAHB=90°AC=4;

⑵直線移動有兩種情況：0〈尤<3及需要分類討論.①當(dāng)0<x<3時，有*=4./.

222sl{AF)

3

S2。3sl②當(dāng)5vx?2時,先用含有x的代數(shù)式分別表示5,S2,然后由$2=3號列出方程,解之可得x的值；

(3)分情況討論：①當(dāng)0<x<3時，m=叢=4.②當(dāng)時，由S,=〃珞，得

2sl2

m=a=g-gfr)=一36(,一21+4.然后討論這個函數(shù)的最值,確定m的變化范圍.

￡2U3；

—X2

【答案】(1)90°,4;

(2)直線移動有兩種情況：0<xv?3及一3<x<2.

22

3

①當(dāng)0<%<一時，TMN〃BD,???△AMNsaARQ,AANF^AAQG.

2

3

②當(dāng)］<x<2時，如圖第22題-2所示,

2

第22題圖-2

f4-2xY/2

CG=4—2x,CH=1,S^CD=—x4xl=2.SACRQ=2x―—I=8(2一

2

29

S,=-x,S2=8-8(2-%)"

926

由S2=35,得方程8—8(2—x)~=3x§V,解得％=不(舍去)，%2=2.

x=2.

(3)當(dāng)0<x<3時,m=4

2

當(dāng)時，

2

一,8-8(2-x)23648<12?

由S,=加B，得根=——-----一二+，—12=-36---------+4.

2

■22Xx\x3J

3

131171

M是上的二次函數(shù)，當(dāng)巳時，即當(dāng)上《上〈士時，M隨乙的增大而增大.

x22x3x

3

當(dāng)x=一時,最大值m=4.當(dāng)x=2時,最小值m=3.

2

.,.3Wm近4.

【點(diǎn)評】本題是一道幾何代數(shù)綜合壓軸題,重點(diǎn)考查等腰梯形，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的增減性和最值及

分類討論，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想等的綜合應(yīng)用.解題時，

(1)小題,通過平移對角線,將等腰梯形轉(zhuǎn)化為等腰三角形,從而使問題得以簡化,是我們解決梯形問題常用的方

法.

(2)小題直線移動有兩種情況：0<x<13及需3要分類討論.這點(diǎn)萬不可忽略,解題時用到的知識點(diǎn)主

22

要是相似三角形面積比等于相似比的平方.

(3)小題仍需要分情況討論.對于函數(shù)m=-36+4,討論它的增減性和最值是個難點(diǎn).討論之前點(diǎn)明

我們把這個函數(shù)看作"M是'的二次函數(shù)”對順利作答至關(guān)重要.

x

16、(2018?湖南省張家界市?16題?3分)已知線段AB=6,C、D是

AB上兩點(diǎn)，且AC=DB=1,P是線段CD上一動點(diǎn)，在AB同側(cè)分別作等邊三角

形APE和等邊三角形PBF,G為線段EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P由點(diǎn)C移動到點(diǎn)D時，

G點(diǎn)移動的路徑長度為.

【分析】

不好意思，本題做不出來，還請高手補(bǔ)充

ACPDB

18.(2018湖北荊州,18,3分)如圖⑴所示，E為矩形ABCD的邊AD上一

點(diǎn)，動點(diǎn)P、Q同時從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿折線BE—ED—DC運(yùn)動到點(diǎn)C時停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動到點(diǎn)C時停止，它

們運(yùn)動的速度都是1cm/秒.設(shè)P、Q同發(fā)t秒時，4BPQ的面積為ycm：已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖(2)(曲

線0M為拋物線的一部分)，則下列結(jié)論:

①AD=BE=5；②cosNABE=,；③當(dāng)0Vt<5時，y=|t2；④當(dāng)t=疊秒時，△ABEs/\QBP；其中正確的結(jié)

圖⑶

【解析】首先，分析函數(shù)的圖象兩個坐標(biāo)軸表示的實際意義及函數(shù)的圖象的增減情況.

橫軸表示時間t,縱軸表示△BPQ的面積y.

當(dāng)0VtW5時，圖象為拋物線，圖象過原點(diǎn)，且關(guān)于y軸對稱，y隨的t增大而增大，

t=5的時候，△BPQ的面積最大，

5VtV7時，y是常函數(shù)，/kBPCI的面積不變，為10.

從而得到結(jié)論：t=5的時候，點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)C,點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)E,

所以BE=BC=AD=5Xl=5cm,

5VtV7時，點(diǎn)P從E-D,所以ED=2Xl=2cm,AE=3cm,AB=4cm.

cosZABE=—=-.

BE5

2

設(shè)拋物線0M的函數(shù)關(guān)系式為y=〃2(aNO,ovtW5),把(5,10)代入得到10=25a,所以a=§,

2

所以當(dāng)0VtW5時，y=yt2

當(dāng)t>5時，點(diǎn)P位于線段CD上，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，.

當(dāng)t=尊秒，點(diǎn)P位于P，處，CP'=CD-DP，=4-（尊-7）=—cm.

444

在4ABE和△€>'BP'中，M="=S,NA=Q'=90°,所以△ABES/\Q，BP'

AECP'3

【答案】①③④

【點(diǎn)評】本題綜合考察了動點(diǎn)問題、二次函數(shù)、三角形相似、常一函數(shù)、銳角三角函數(shù)、分段函數(shù)的知識，綜合

性強(qiáng)。讀函數(shù)的圖象時首先要理解橫縱坐標(biāo)表示的含義，理解問題敘述的過程，把圖象的過程和幾何的動點(diǎn)運(yùn)

動過程相結(jié)合，化靜為動，從而解決問題。本題考察的知識點(diǎn)全面，難度較大。

8.（2018湖北黃岡，8,3）如圖，在Rt/XABC中，ZC=90°,AC=BC=6cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每

秒加cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動；同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動，將△PQC

沿BC翻折，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P'.設(shè)Q點(diǎn)運(yùn)動的時間t秒，若四邊形QPCP為一菱形，貝!It的值為（）

A.V2B.2C.272D.3

【解析】連接PP'交BC于點(diǎn)D,若四邊形QPCP為菱形，則PP'±BC,CD=-CQ=-（6-t）,

/.BD=6--(6-t)=3+L.在RtZ\BPD中，PB=AB-AP=6拒一直t,而PB=&BD,

22

.\6^-V2t=V2(3+-t),解得：t=2,故選B.

2dB8sa>

【答案】B

【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰直角三角形和菱形的性質(zhì)，要能在動態(tài)變化中抓住靜態(tài)結(jié)論利用方程思想解題.難

度中等.

12.（2018甘肅蘭州，12,4分）如圖，AB是。。的直徑，弦BC=2cm,F是弦BC的中點(diǎn)，NABC=60°.若動點(diǎn)E

以2cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿著A-*B-*A的方向運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0Wt<3）,

連接EF,當(dāng)4BEF是直角三角形時，t的值為（）

7779

A.—B.1C.一或1D.一或1或一

4444

解析：；AB是。0的直徑，.,.NACB=90°；RtzXABC中，BC=2,NABC=60°；

.,.AB=2BC=4cm.①當(dāng)NBFE=90。時；RtZ\BEF中，NABC=60°,

則BE=2BF=2cm；故此時AE=AB-BE=2cm；：.E點(diǎn)運(yùn)動的距離為：2cm或6cm,

故t=ls或3s；由于0WtV3,故t=3s不合題意，舍去；所以當(dāng)NBFE=90°時，t=ls；②當(dāng)NBEF=90°時；同

①可求得BE=0.5cm,此時AE=AB-BE=3.5cm；，E點(diǎn)運(yùn)動的距離為：3.5cm或4.5cm,故t=l.75s或2.25s；綜上

所述，當(dāng)t的值為1、1.75或2.25s時，4BEF是直角三角形.故選D.

答案：D

點(diǎn)評：根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到直角三角形ABC,再根據(jù)30°直角三角形的性質(zhì)，可求出AB的長.ABEF

是直角三角形，則有兩種情況：①NBFE=90°,②NBEF=90°；在上述兩種情況所得到的直角三角形中，已知

了BC邊和NB的度數(shù)，即可求得BE的長；由AE-AB-BE即可求出AE的長，也就能得出E點(diǎn)運(yùn)動的距離（有兩種

情況），從而求出t的值.此題綜合考查了圓周角定理的推論、垂徑定理以及直角三角形的性質(zhì)，是一道動態(tài)

題，同時還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的難度.

26.（2018貴州遵義，26,分）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點(diǎn)，由A向C運(yùn)動（與

A、C不重合），Q是CB延長線上一點(diǎn)，與點(diǎn)P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運(yùn)動（Q不與B重合），過

P作PEJ_AB于E,連接PQ交AB于D.

(1)當(dāng)NBQD=30°時，求AP的長；

(2)當(dāng)運(yùn)動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由.

解析：(1))由△ABC是邊長為6的等邊三角形，可知NACB=60°,再由NBQD=30°可知NQPC=90°,設(shè)AP=x,

貝！|PC=6-x,QB=x,在RtaQCP中，NBQD=30°,PC=上QC,即6-x=1(6+x),求出x的值即可；

22

(2)作QFJ_AB,交直線AB的延長線于點(diǎn)F,連接QE,PF,由點(diǎn)P、Q做勻速運(yùn)動且速度相同，可知AP=BQ,

再根據(jù)全等三角形的判定定理得出AAPE絲aBOF,再由AE=BF,PE=QF且PE〃QF,可知四邊形PEQF是平行

四邊形，進(jìn)而可得出EB+AE=BE+BF=AB,DE=』AB,由等邊△ABC的邊長為6可得出DE=3,故當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動

2

時，線段DE的長度不會改變.

答案：解：(1)???△ABC是邊長為6的等邊三角形，

.,.NACB=60°,

VZBQD=30°,

AZQPC=90°,

設(shè)AP=x,則PC=6-x,QB=x,

；.QC=QB+BC=6+x,

,在RtZiQCP中，ZBQD=30",

**.PC=-1QC,即6-X=J(6+X),解得x-2；

22

(2)當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動時，線段DE的長度不會改變.理由如下：

作QF_LAB,交直線AB的延長線于點(diǎn)F,連接QE,PF,

又于E,

/.ZDFQ=ZAEP=90°,

???點(diǎn)P、Q做勻速運(yùn)動且速度相同，

；.AP=BQ,

VAABC是等邊三角形，

，NA=NABC=NFBQ=60°,

...在aAPE和△BQF中，

VNA=NFBQNAEP=NBFQ=90°,

二ZAPE=ZBQF,

<ZA=ZFBQ

AP=BQ

,NAEP=NBFQ

.,.△APE^ABQF,

；.AE=BF,PE=QF且PE〃QF,

:.四邊形PEQF是平行四邊形，

.,.DE=1EF,

2

：EB+AE=BE+BF=AB,

.?.DEJAB,

2

又?.?等邊aABC的邊長為6,

；.DE=3,

當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動時，線段DE的長度不會改變.

點(diǎn)評：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助

線構(gòu)造出全等三角形是答案此題的關(guān)鍵.

24.(2018山東省青島市，24,12)(12分)已知：如圖，在RtZkABC中，ZC=90°,AC=6cm,BC=8cm,D、E

分別是AC、AB的中點(diǎn)，連接DE,點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DE方向勻速運(yùn)動，速度為lcm/s；同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出

發(fā),沿BA方向勻速運(yùn)動，速度為2cm/s,當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動時，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動.連接PQ,設(shè)運(yùn)動時間為t(s)(0<t<4).

解答下列問題：

⑴當(dāng)t為何值時，PQ±AB?

⑵當(dāng)點(diǎn)Q在BE之間運(yùn)動時，設(shè)五邊形PQBCD的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑶在(2)的情況下，是否存在某一時刻t,使PQ分四邊形BCDE兩部分的面積之比為SAKS：S五邊形網(wǎng)>=1：29?

若存在，求出此時t的值以及點(diǎn)E到PQ的距離h；若不存在，請說明理由.

第24題

24.【解析】(1)要使PQLAB,只要說明△PQES/\ACB,所以得方,可得求t值.

(2)五邊形PQBCD的面積=梯形DEBC的面積-的面積，易求梯形DEBC的面積，求4PEQ的面積，要作EQ

邊上高，利用△PMEs/kABC可求出高..(3)可先假設(shè)其存在，即S△昵：S五邊形的=1：29,根據(jù)(2)中關(guān)系代

入計算，若得出結(jié)果與假設(shè)一致，則假設(shè)正確，反之，則假設(shè)不成立.

【答案】解：⑴如圖①，在Rt^ABC中，AC=6,BC=8,.,?他=仲m=10.

：D、E分別是AC、AB的中點(diǎn).

.?.AD=DC=3,AE=EB=5,DE〃BC且DE=BC=4,因為PQ_LAB,NPQB=NC=90°,又DE〃BC,，NAED=NB,；.△

PEQE

PQE^AACB,/?.

ADDL

4-+2t-541

t=

由題意得：PE=4-t,QE=2t-5,即7TL解得TA-

LK)o

⑵過點(diǎn)P作PMAB于M,由△PMEs△ABC,得—=—.，—=—,^-PM=-(4-t),，

ACAB6105

ii3339

2

S^F=-EQPM=-(5-2t)--(4-t)=-t--t+6.

A

5WDCBE=2X(4+8)X3=18-

???y=18-審條+6)=-2+率+12

⑶假設(shè)存在時刻t,使S.：S五邊形謝產(chǎn)1:29,此時SAPQE=-!-S四邊冊BCDE????：2-型/+6=-!-X18,即2t2-13t+18=0.A

30四3CDE51030

9

ti=2,5^(舍去).當(dāng)t=2時,

PM=-x(4-2)=-,ME=-x(4-2)=-.EQ=5-2X2=1,MQ=ME+EQ=-+1=—,PQ=《PM2+MQ])22=

555555+苧

PQ?1口號福二嚼（或券”

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，將相似三角形與二次函數(shù)融合在一起，運(yùn)用了勾股定理、三角

形面積公式知識，綜合強(qiáng).像本題這樣的存在型問題是中考的?？键c(diǎn)，要注意掌握這類問題的解題方法.

24.（2018湖北咸寧，24,12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,4）,動點(diǎn)A以每秒1個單

位長的速度，從點(diǎn)0出發(fā)沿x軸的正方向運(yùn)動，M是線段AC的中點(diǎn).將線段AM以點(diǎn)A為中心，沿順時針方向旋

轉(zhuǎn)90。，得到線段AB.過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為E,過點(diǎn)C作），軸的垂線，交直線BE于點(diǎn)D,運(yùn)動時間為f

（1）當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時，求，的值；

25

（2）設(shè)4BCD的面積為S,當(dāng)/為何值時，5=—?

4

（3）連接MB,當(dāng)MB〃0A時，如果拋物線y=oy2-10儀的頂點(diǎn)在AABM內(nèi)部（不包括邊），求a的取值范圍.

【解析】（1）易證得RtZkCAOsRt/kABE；當(dāng)B、D重合時，BE的長已知（即0C長），根據(jù)AC、AB的比例關(guān)系，

可得AO、BE的比例關(guān)系，由此求得t的值.

（2）求4BCD的面積時，可以CD為底、BD為高來解，那么表示出BD的長是關(guān)鍵；RtACAO^RtAABE,且知道

AC、AB的比例關(guān)系，即可通過相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出BE的長，進(jìn)一步得到BD的長，在表達(dá)BD長時，

應(yīng)分兩種情況考慮：①B在線段DE上，②B在ED的延長線上.

（3）通過配方法，可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，將其橫坐標(biāo)分別代入直線MB、AB的解析式中，可得拋物線對稱軸

與這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)這兩個坐標(biāo)即可判定出a的取值范圍.

［答案］（1）VZG4O+NBAE=90°,ZABE+ZBAE=90°,

ZCAO=ZABE.

ARtACAO^RtAABE....................................................2分

.CAAO

??-------,

ABBE

=/.r=8.3分

AB4

(2)由Rt2\CA0sRtZ\ABE可知：BE=\,AE=2.

4分

2

當(dāng)0Vf<8時，S=gcO-8O=g(2+r)(4—；)=等.

.??4=，2=3?.........................................................................................??????6分

當(dāng)/>8時，5=^CDBD=^(2+0(1-4)=y.

."=3+5&,Z2=3-572(為負(fù)數(shù)，舍去).

當(dāng)，=3或3+5近時，S=—......................................................................................8分

4

(3)如圖，過M作MNLx軸于N,則/N=，C0=2.

2

當(dāng)MB〃OA時，BE=MN=2,OA=2BE=4.........................................................9分

拋物線y=or2-10or的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5,-25a)................................................10分

它的頂點(diǎn)在直線x=5上移動.直線x=5交MB于點(diǎn)（5,2）,交AB于點(diǎn)（5,1）.11分

21

：.l<-25a<2.：_____<a<——.....................................................................12分

2525

【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，屬于圖形的動點(diǎn)問題，前兩問的關(guān)鍵在于找出相似三角形，得到關(guān)鍵線段的

表達(dá)式，注意點(diǎn)在運(yùn)動過程中未知數(shù)的取值范圍問題.最后一問中，先得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是簡化解題的關(guān)

鍵.

25.（2018貴州六盤水，25,16分）如圖13,已知△ABC中，AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm,如果點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA

方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，它們的速度均為2cm/s,連接PQ,

設(shè)運(yùn)動的時間為t（單位：s）（0Wt<4）.解答下列問題：

（1）當(dāng)t為何值時，PQ〃BC.（4分）

（2）設(shè)4AQP的面積為S（單位：cm?）,當(dāng)t為何值時，S取得最大值，并求出最大值.

（3）是否存在某時刻3使線段PQ恰好把AABC的面積平分？若存在求出此時t的值；若不存在，請說明理由.

（3分）

（4）如圖14,把AATQ沿AP翻折，得到四邊形AQPQ..那么是否存在某時刻t使四邊形AQPQ,為菱形？若存在，

求出此時菱形的面積；若不存在，請說明理由.（5分）

分析：(1)由PQ〃BC時的比例線段關(guān)系，列一元一次方程求解；

(2)如解答圖1所示，過P點(diǎn)作PD_LAC于點(diǎn)D,構(gòu)造比例線段，求得PD,從而可以得到S的表達(dá)式，然后利

用二次函數(shù)的極值求得S的最大值；

(3)要點(diǎn)是利用(2)中求得的4AQP的面積表達(dá)式，再由線段PQ恰好把a(bǔ)ABC的面積平分，列出一元二次方

程；由于此一元二次方程的判別式小于0,則可以得出結(jié)論：不存在這樣的某時刻3使線段PQ恰好把△ABC的

面積平分；

(4)首先根據(jù)菱形的性質(zhì)及相似三角形比例線段關(guān)系，求得PQ、QD和PD的長度；然后在Rt^PQD中，求得時

間t的值；最后求菱形的面積，值得注意的是菱形的面積等于4AQP面積的2倍，從而可以利用(2)中4AQP

面積的表達(dá)式，這樣可以化簡計算.

解答：解：VAB=lOcm,AC=8cm,BC=6cm,

二由勾股定理逆定理得aABC為直角三角形，NC為直角.

(1)BP=2t,則AP=10-2t.

..?APAQ10-2Z2t20

.PQ0〃//RBCr,.?-----=-------，即------=—,解得/=—，

ABAC1089

20

.,.當(dāng)一s時，PQ〃BC.

9

(2)如答圖1所示，過P點(diǎn)作PD_LAC于點(diǎn)D.

.APPD10-2fPD解得P￡>=6-3.

.\PD〃BC,即

106

S^-AQ?PD^-x2tx(6--t)=--r+6Z=--(Z--)2+—,

2266622

...當(dāng)1=3s時，S取得最大值，最大值為坦cm?.

22

(3)假設(shè)存在某時刻t,使線段PQ恰好把a(bǔ)ABC的面積平分，

貝!］有S&M—SAABC,SAAB^—AC*BC=24,???此時SzkAMiZ.

22

59

由(2)可知，SAAQP=—廠+6/,

6

...一9*+6/=12,化簡得：t2-5t+10=0,

6

?/△=(-5)2-4XlX10=-15<0,此方程無解，

不存在某時刻3使線段PQ恰好把AABC的面積平分.

(4)假設(shè)存在時刻t,使四邊形AQPQ'為菱形，則有AQ=PQ=BP=2t.

如答圖2所示，過P點(diǎn)作PD_LAC于點(diǎn)D,則有PD〃BC,

APPDAD10-2/PDAD

..-----=------=------，即an-------=----=----,

ABBCAC1068

解得：PD=6--t,AD=S--t,

68

512

AQD=AD-AQ=8——t-2t=8-----1.

85

在RtaPQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2,

即(8-yZ)2+(6-1r)2=(2r)2,

化簡得:13t2-90t+125=0,

25

解得：tl=5>t2=----9

13

25

???t=5s時，AQ=10cm>AC,不符合題意，舍去，At=一.

13

59

由(2)可知，SzkAQk—廠+6f

6

?cMc52,c6,25、2￡252400

??S菱形AQPQf=2SAAQP=2X—廣+6,=2x—x(—)~+6x——-------cm2.

6L51313j169

所以存在時刻t,使四邊形AQPQ，為菱形，此時菱形的面積為現(xiàn)cm?.

169

點(diǎn)評：本題是非常典型的動點(diǎn)型綜合題，全面考查了相似三角形線段比例關(guān)系、菱形的性質(zhì)、勾股定理及其逆

定理、一元一次方程的解法、一元二次方程的解法與判別式、二次函數(shù)的極值等知識點(diǎn)，涉及的考點(diǎn)眾多，計

算量偏大，有一定的難度.本題考查知識點(diǎn)非常全面，是一道測試學(xué)生綜合能力的好題.

專項六動態(tài)型問題（40）

10.（2018浙江省溫州市，10,4分）如圖，在AABC中，NC=90,M是AB的中點(diǎn)，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿

AC方向勻速運(yùn)動到終點(diǎn)C,動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向勻速運(yùn)動到終點(diǎn)B。已知P,Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，并同時

到達(dá)終點(diǎn)，連結(jié)MP,MQ,PQo在整個運(yùn)動過程中，的面積大小變化情況是（）

A.一直增大B.一直減小

C.先減小后增大D,先增大后減少

【解析】本題是一道動態(tài)變化問題，可利用特值判斷選項。

【答案】C

【點(diǎn)評】本題屬于態(tài)變化問題，題中沒有給出邊長和速度，有一定難度.

14.（2018山東省臨沂市，14,3分）如圖，正方形ABCD的邊長為4cm,動點(diǎn)P、Q同時從點(diǎn)A出發(fā)，以lcm/s

的速度分別沿A-B-C和A-D-C的路徑向點(diǎn)C運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為x（單位：s）,四邊形PBDQ的面積為y（單

位：cm?），則y與x（0/x<8）之間的函數(shù)關(guān)系可用圖象表示為（）

【解析】在0WxW4時,y隨x的增大而減小，在4《xW8時,y隨x的增大而增大；且y與x的函數(shù)關(guān)系是二次

函數(shù)，故選B.

【答案】選B.

【點(diǎn)評】考查動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象問題；根據(jù)自變量不同的取值范圍得到相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵.

25.（2018山東省臨沂市，25,11分）已知，在矩形ABCD中，AB=a,BC=b,動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AD向點(diǎn)D

運(yùn)動。

（1）如圖1,當(dāng)b=2a,點(diǎn)M運(yùn)動到邊AD的中點(diǎn)時，請證明NBMC=90°;

（2）如圖2,當(dāng)b>2a時，點(diǎn)M在運(yùn)動的過程中，是否存在NBMC=90°,若存在，請給予證明；若不存在，請說

明理由；

（3）如圖3,當(dāng)bV2a時，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由。

(范乃超國)

【解析】(1)由b=2a,點(diǎn)M是邊AD的中點(diǎn)，可得AAMB和aDMC是等腰直角三角形，NAMB=NDMC=45°,可證明

NBMC=90°;

(2)(3)分析圖形，△ABMs/J)MC,利用相似圖形的性質(zhì)列出方程，探索方程根的情況，

當(dāng)△=bZ-4ac>0,存在NBMC=90°；當(dāng)△=b2-4acV0,不存在NBMC=90°；

解：(1)證明：；b=2a,點(diǎn)M是邊AD的中點(diǎn)，.*.AB=AM=MD=DC.

又；四邊形ABCD是矩形，NA=NI>90°,二NAMB=NDMC=45°,

.,.NBMC=90°;

(2)存在。

理由：若NBMC=90",則NAMB+NDMC=90",

又,.,NAMB+NABM=90°,/.ZAMB=ZDMC,

又VNA=ND=90°,/.AABM^ADMC,

CDDM

.?.國￡=」_，設(shè)AM為x,整理得，x2-bx+a2=0,

ab-AM

2

Vb>2a,a>0,b>0,/.△=b-4ac>0>

.?.方程有兩個不相等的實數(shù)根，且兩根均大于0,符合題意。

.,.當(dāng)b>2a時，存在NBMC=90°；

(3)不成立。

理由：若NBMC=90°,由(2)可知*2-汝+。2=0,

Vb<2a,a>0,b>0,.,.△=b2-4ac<0,

.?.方程無實數(shù)根，

...當(dāng)b<2a時，不存在NBMC=90°,即(2)中的結(jié)論不成立。

【點(diǎn)評】本題涉及到動點(diǎn)問題，比較復(fù)雜，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分析圖形，確定△ABMsZiDMC,,由數(shù)形

結(jié)合便可解答，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在解題中的重要作用.

21.(2018四川省南充市，21,8分)在Rt^POQ中，0P=0QM,M是PQ中點(diǎn)，把一三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)M

處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與APOQ的兩直角邊分別交于點(diǎn)A、B.

(1)求證：MA=MB;

(2)連接AB,探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，AAOB的周長是否存在最小值.若存在，求出最小值；若不

存在，請說明理由.

解析：（1）連接0M.證明/AMOg/AMO即可.（2）在Rt/AOB中，運(yùn)用勾股定理得到求AB長的式子，轉(zhuǎn)

化成二次函數(shù)的問題，運(yùn)用二次函數(shù)的最值求解.

答案：（1）證明：連接0M.

VZPQR是等腰之間三角形且M是斜邊PQ的中點(diǎn)，

AMOMQ,NM0A=NM0AMQB=45°.

VZAMQ+Z0MB=90°,ZOMB+ZAMO=90°.

,ZAMO=NAM0.

.,./AMOg/AMO.

AMA-MB.

（2）解：由（1）中/AMOq/AMO得A（月BQ.

設(shè)A0=x,則