第三節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度第一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一

連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間,對這種類型的隨機(jī)變量,不能象離散型隨機(jī)變量那樣,以指定它取每個值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.

下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法.第二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一2.3.1連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)定義：設(shè)X是一隨機(jī)變量，若存在一個非負(fù)可積函數(shù)f(x)使得其中F(x)

是它的分布函數(shù)．則稱X是連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)是它的概率密度函數(shù)(p.d.f.)，簡稱為密度函數(shù)或概率密度．第三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一xf(x)xF(x

)分布函數(shù)F(x)與密度函數(shù)f(x)的幾何意義第四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一概率密度函數(shù)f(x)的性質(zhì)3、在f(x)

的連續(xù)點處，f(x)描述了X在x附近單位長度的區(qū)間內(nèi)取值的概率.12這兩條性質(zhì)是判定一個函數(shù)

f(x)是否為某r.vX的概率密度函數(shù)的充要條件.f(x)xo面積為1第五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一注意:對于連續(xù)型隨機(jī)變量X,P(X=a)=0這里a可以是隨機(jī)變量X的一個可能的取值.命題:連續(xù)型隨機(jī)變量取任一常數(shù)的概率為零.事實上第六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一對于連續(xù)型隨機(jī)變量Xbxf(x)a第七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一xf(x)a第八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一例2.3.1設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度函數(shù)試確定常數(shù)A，以及的分布函數(shù).解:由知A=3，即而的分布函數(shù)為第九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一解Step1:利用密度函數(shù)的性質(zhì)求出

a例：已知密度函數(shù)求概率Step2:密度函數(shù)在區(qū)間的積分得到此區(qū)間的概率第十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一例：已知分布函數(shù)求密度函數(shù)（2)X

的密度函數(shù)（2）密度函數(shù)為解

第十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一解

當(dāng)x<1時012345yxx當(dāng)1x<5時例：已知密度函數(shù)求分布函數(shù)已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為求X的分布函數(shù)第十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一當(dāng)x≥5時所以0151第十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一2.3.2.1均勻分布(a,b)上的均勻分布記作2.3.2常見的連續(xù)型隨機(jī)變量若X的密度函數(shù)為，則稱X服從區(qū)間其中X的分布函數(shù)為第十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一即X的取值在(a,b)內(nèi)任何長為d–c的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關(guān),只與其長度成正比.這正是幾何概型的情形.在進(jìn)行大量數(shù)值計算時，如果在小數(shù)點后第k位進(jìn)行四舍五入，則產(chǎn)生的誤差可以看作服從應(yīng)用場合:第十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一例設(shè)ξ在[-1，5]上服從均勻分布，求方程有實根的概率。解

方程有實數(shù)根

即

而

的密度函數(shù)為

所求概率為

第十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一2.3.2.2指數(shù)分布若X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布記作X的分布函數(shù)為>0為常數(shù)第十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一對于任意的0<a<b,應(yīng)用場合:用指數(shù)分布描述的實例有：隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間電話問題中的通話時間無線電元件的壽命動物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似第十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一例2.3.2令：B={等待時間為10-20分鐘}第十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一2.3.2.3正態(tài)分布若X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布記作

X

～N(,2)為常數(shù)，第二十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一

正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布.

正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布.德莫佛

德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項概率的一個近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面.第二十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一正態(tài)分布的密度函數(shù)的性質(zhì)與圖形關(guān)于x=對稱（-，）升，（，+）降單調(diào)性對稱性拐點中間高兩邊低y-+x第二十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一１2μ，σ對密度曲線的影響

第二十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一

正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于對稱的鐘形曲線。特點是“兩頭小，中間大，左右對稱”。

決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度。第二十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一應(yīng)用場合:

若隨機(jī)變量X受到眾多相互獨立的隨機(jī)因素的影響，而每一個別因素的影響都是微小的，且這些影響可以疊加,則X服從正態(tài)分布.可用正態(tài)變量描述的實例非常之多：各種測量的誤差；人的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線的抗拉強(qiáng)度；熱噪聲電流強(qiáng)度；學(xué)生們的考試成績；第二十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，這可以由以下情形加以說明：⑴正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見的分布之一，大量的隨機(jī)現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的．可以證明，如果一個隨機(jī)指標(biāo)受到諸多因素的影響，但其中任何一個因素都不起決定性作用，則該隨機(jī)指標(biāo)一定服從或近似服從正態(tài)分布．⑵正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，這些性質(zhì)是其它許多分布所不具備的．⑶正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布．正態(tài)分布的重要性:第二十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一正態(tài)分布的分布函數(shù)F(x)1

x第二十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布定義X~N（0，1）分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

密度函數(shù)分布函數(shù)StandardNormaldistribution偶函數(shù)第二十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計算分布函數(shù)X-x第二十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計算公式查表例

X~N（0，1）

第三十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化定理查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表概率計算

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.第三十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一一般正態(tài)分布的區(qū)間概率。。。第三十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一設(shè)X~N（1，4），求P(0<X<1.6)解例第三十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一正態(tài)分布的實際應(yīng)用

已知90分以上的12人，60分以下的83人，若從高分到低分依次錄取，某人成績?yōu)?8分，問此人能否被錄?。?/p>

某單位招聘155人，按考試成績錄用，共有526人報名，假設(shè)報名者的考試成績分析

首先求出和然后根據(jù)錄取率或者分?jǐn)?shù)線確定能否錄取第三十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一解

成績X服從

錄取率為

可得

得

查表得

第三十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一解

查表得

………..解得

故

設(shè)錄取的最低分為則應(yīng)有

某人78分，可被錄取。第三十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一3準(zhǔn)則由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計算可以求得，這說明，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內(nèi)，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%.當(dāng)X～N(0,1)時，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.9974第三十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布,時，可以認(rèn)為，Y的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi).

這在統(tǒng)計學(xué)上稱作“3準(zhǔn)則”

（三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）.第三十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一

例

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會在0.01以下來設(shè)計的.設(shè)男子身高X～N(170,62),問車門高度應(yīng)如何確定?

解:

設(shè)車門高度為hcm,按設(shè)計要求P(X

h)0.01或

P(X<h)0.99，下面我們來求滿足上式的最小的

h.再看一個應(yīng)用正態(tài)分布的例子:第三十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一因為X～N(170,62),故

P(X<h)=0.99查表得(2.33)=0.9901>0.99所以=2.33,即

h=17