4.6利用相似三角形測(cè)高北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)這些頂部不可到達(dá)的高大建筑，要如何測(cè)量它們的高度呢？情境引入

胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔，被譽(yù)為“世界古代八大奇跡之一”，古希臘數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家泰勒斯曾經(jīng)利用相似三角形的原理測(cè)量金字塔的高度，你知道他是怎么做到的嗎？情境引入

合作探究活動(dòng)課題：利用相似三角形的有關(guān)知識(shí)測(cè)量旗桿(或路燈)

的高度；活動(dòng)方式：分組活動(dòng)、全班交流研討.活動(dòng)工具：小鏡子、標(biāo)桿、皮尺等測(cè)量工具.分組

方法1：利用陽(yáng)光下的影子

如圖，每個(gè)小組選一名同學(xué)直立于旗桿影子的頂端處，其他人分為兩部分，一部分同學(xué)測(cè)量該同學(xué)的影長(zhǎng)，另一部分同學(xué)測(cè)量同一時(shí)刻旗桿的影長(zhǎng).思考1：根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，你能求出旗桿的高度嗎？說(shuō)明你的理由.合作探究

方法1：利用陽(yáng)光下的影子

思考1：根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，你能求出旗桿的高度嗎？說(shuō)明你的理由.CAEBD解：如圖所示：∵AB⊥ED，CD⊥ED，∴∠ABE=∠CDB=90°.∵AE∥CB，∴∠AEB=∠CBD.∴△AEB∽△CBD.合作探究方法1：利用陽(yáng)光下的影子

思考2：這種測(cè)量方法，需要測(cè)出哪些長(zhǎng)度？如何求旗桿的高？同學(xué)的身高AB：同學(xué)的影長(zhǎng)BE：旗桿的影長(zhǎng)DB：1.6m0.8m10m解：∵△AEB∽△CBD，∴∴解得CD=20m.合作探究CD的長(zhǎng)度CAEBD

方法2：利用杠桿

如圖，每個(gè)小組選一名同學(xué)作為觀測(cè)者，在觀測(cè)者與旗桿之間的地面上直立一根高度適當(dāng)?shù)臉?biāo)桿.觀測(cè)者適當(dāng)調(diào)整自己所處的位置，使旗桿的頂端、標(biāo)桿的頂端與自己的眼睛恰好在一條直線上，這時(shí)其他同學(xué)立即測(cè)出觀測(cè)者的腳到標(biāo)桿底端的距離，以及觀測(cè)者的腳到標(biāo)桿底端的距離，然后測(cè)出標(biāo)桿的高.思考1：根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，你能求出旗桿的高度嗎？說(shuō)明你的理由.合作探究

解：過(guò)點(diǎn)A做AN⊥CD，交EF于M.則∠AME=∠ANC=90°，又∵點(diǎn)A、E、C三點(diǎn)共線，∴∠EAM=∠CAN.∴△AME∽△ANC.NMACEBFD合作探究思考1：根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，你能求出旗桿的高度嗎？說(shuō)明你的理由.方法2：利用標(biāo)桿

同學(xué)的眼睛到地面距離AB：同學(xué)到標(biāo)桿的距離BF：同學(xué)到旗桿的距離BD：1.5m4m148m解：∵△AME∽△ANC，∴解得CN=18.5.∴CD=1.5+18.5=20(m)NMACEBFD標(biāo)桿的高EF：2m合作探究方法2：利用標(biāo)桿

思考2：這種測(cè)量方法，需要測(cè)出哪些長(zhǎng)度？如何求旗桿的高？CD的長(zhǎng)度方法3：利用鏡子反射

如圖，每個(gè)小組選一名同學(xué)作為觀測(cè)者，在觀測(cè)者與旗桿之間的地面上平放一面鏡子，在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記，觀測(cè)者看著鏡子來(lái)回移動(dòng)，直至看到旗桿頂端在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合.思考1：測(cè)量所需的數(shù)據(jù)，根據(jù)所測(cè)的結(jié)果你能求出旗桿的高度嗎？說(shuō)明你的理由.ACDEB合作探究ACDEB

方法3：利用鏡子反射

思考1：測(cè)量所需的數(shù)據(jù)，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，你能求出旗桿的高度

嗎？說(shuō)明你的理由.解：如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，

則∠ABE=∠CDE=90°.

又∵∠AEB=∠CED(光線的入射角等于反射角).∴△ABE∽△CDE.合作探究方法3：利用鏡子反射

思考2：這種測(cè)量方法，需要測(cè)出哪些長(zhǎng)度？如何求旗桿的高？同學(xué)的眼睛到地面的距離AB：同學(xué)到鏡子中標(biāo)記的距離BE：1.5m1.8m24m解：∵△ABE∽△CDE，∴即解得CD=20m.鏡子到旗桿的距離DE：合作探究CD的長(zhǎng)度ACDEB

你還有哪些測(cè)量旗桿高度的方法?想一想

在旗桿旁邊立一個(gè)木棍，測(cè)量棍長(zhǎng)和影長(zhǎng)，再測(cè)量旗桿的影長(zhǎng)，由

可求出旗桿長(zhǎng).

在旗桿前方地上放置測(cè)角儀，移動(dòng)測(cè)角儀的位置，使得測(cè)角儀測(cè)量到的旗桿頂端到地面的直線與地面成45°，測(cè)量此時(shí)測(cè)角儀到旗桿的距離后加上測(cè)角儀的高度，即可求出旗桿的高度.還有其他方法哦，要開動(dòng)腦筋才能想到.

《海島算經(jīng)》最早附于《九章算術(shù)注》之后，唐初開始單行.劉徽在該書中精心編了九個(gè)測(cè)量問(wèn)題，都是利用測(cè)量的方法來(lái)計(jì)算高、深、廣、遠(yuǎn)問(wèn)題的.其中第一個(gè)問(wèn)題是測(cè)算海島的高、遠(yuǎn)問(wèn)題，因此得名.《海島算經(jīng)》是中國(guó)最早的一部測(cè)量數(shù)學(xué)專著，也是中國(guó)古代高度發(fā)達(dá)的地圖學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

劉徽，公元3世紀(jì)人，是中國(guó)歷史上最杰出的數(shù)學(xué)家之一.《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是他留給后世最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn).讀一讀典型例題例

《海島算經(jīng)》第一個(gè)問(wèn)題的大意是：如圖，要測(cè)量海島上一座山峰的高度AH，立兩根高3丈的標(biāo)桿BC和DE，兩桿之間的距離BD=1000步，D，B，H成一線，DG=127步；從B處退行123步到F，人的眼睛貼著地面觀察A點(diǎn)，A，C，F(xiàn)，三點(diǎn)成一線.試計(jì)算山峰的高度AH及HB的長(zhǎng)(這里1步=6尺，1丈=10尺，結(jié)果用丈表示).怎樣利用相似三角形求得線段AH及HB的長(zhǎng)呢？請(qǐng)你試一試！

先將步數(shù)與丈的單位統(tǒng)一成尺再進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)△AHF∽△CBF，得

；由△AHG∽△EDG，得

利用這兩個(gè)比例式可以求得HB和AH，最后結(jié)果要化成丈．典型例題解：如圖，CB=ED=3丈=30尺，BD=1000步=6000尺，BF=123步=738尺，DG=127步=762尺.∵AH⊥HG，CB⊥HG.∴∠AHF=∠CBF.又∠AFH=∠CFB，∴△AFH∽△CFB

.∴即同理，可證△AHG∽△EDG，得即∴由①②兩式可以解得HB=184500尺=18450丈，AH=7530尺=735丈.

隨堂練習(xí)1.高4m的旗桿在水平面上的影子長(zhǎng)6m，此時(shí)測(cè)得附近一個(gè)建筑物的影子長(zhǎng)24m，則該建筑物的高度為

m.

2.如圖，是小玲設(shè)計(jì)用手電來(lái)測(cè)量某古城墻高度的示意圖．在點(diǎn)P處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后，剛好射到古城墻CD的頂端C處．已知AB⊥BD，CD⊥BD.且測(cè)得AB＝1.2m，BP＝1.8m，PD＝12m.那么該古城墻CD的高度是(

)A．6m

B．8m

C．18m

D．21m16B∵∠EMA=∠CNA，∠1=∠1∴△AEM∽△ACN∴解得CN=3.6m，則CD=3.6+1.6=5.2m，即樹高為5.2m.隨堂練習(xí)3.小明為測(cè)量一棵樹CD的高度，他在距樹24m處立了一根高為2m的標(biāo)桿EF，然后小明前后調(diào)整自己的位置，當(dāng)他與樹相距27m時(shí)，他的眼睛、標(biāo)桿的頂端和樹頂端在同一直線上，已知小明眼睛到地面的距離為1.6m，求樹的高度.ANCEFBDM1過(guò)點(diǎn)A作AN∥BD交CD于N、EF于M.解：如圖，由題意得：AB=1.6m，EF=2m，BD=27m，F(xiàn)D=24m.利用相似三角形測(cè)高

利用相似三角形測(cè)高的常見(jiàn)方法：利用太陽(yáng)光線平行構(gòu)造相似，通過(guò)同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例構(gòu)造比例式；