第六章數(shù)字高程模型的內(nèi)插第一頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一教學目的與要求

通過本章的學習，讓大家掌握DEM內(nèi)插的各種方法的原理和過程，包括整體內(nèi)插、局部內(nèi)插，逐點內(nèi)插。第2頁第二頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一本章重點與難點本章重點

內(nèi)插分類

內(nèi)插的各種方法本章難點

各種內(nèi)插方法

第3頁第三頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一內(nèi)容提要第一節(jié)內(nèi)插方法的分類第二節(jié)整體內(nèi)插第三節(jié)分塊內(nèi)插第四節(jié)逐點內(nèi)插法第四頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一1.1內(nèi)插方法的分類

內(nèi)插是數(shù)字高程模型的核心問題，它貫穿在DEM的生產(chǎn)、質(zhì)量控制、精度評定和分析應用等各個環(huán)節(jié)。DEM內(nèi)插就是根據(jù)若干相鄰參考點的高程求出待定點上的高程值，在數(shù)學上屬于插值問題。任意一種內(nèi)插方法都是基于原始地形起伏變化的連續(xù)光滑性，或者說鄰近的數(shù)據(jù)點間有很大相關性才可能由鄰近的數(shù)據(jù)點內(nèi)插出待定點的高程。第5頁第五頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一1.1內(nèi)插方法的分類按內(nèi)插點的分布范圍，可以將內(nèi)插分為三類。整體內(nèi)插分塊內(nèi)插逐點內(nèi)插根據(jù)二元函數(shù)逼近數(shù)學面和參考點的關系，內(nèi)插又可以分為兩種。純二維內(nèi)插曲面擬合內(nèi)插第6頁第六頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一1.1內(nèi)插方法的分類二維插值要求曲面通過內(nèi)插范圍的全部參考點，曲面擬合則不要求曲面嚴格包括參考點，但該方法要求擬合面相對于已知數(shù)據(jù)點的高差的平方和最小，即遵從最小二乘法則?？梢姡瑑?nèi)插的中心問題在于鄰域的確定和選擇適當?shù)牟逯岛瘮?shù)。第7頁DEM內(nèi)插分類第七頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一1.2整體內(nèi)插第8頁整體內(nèi)插的擬合模型整體內(nèi)插的擬合模型是由研究區(qū)域內(nèi)所有采樣點的觀測值建立的。整體內(nèi)插主要通過多項式函數(shù)來實現(xiàn)，因此又稱整體函數(shù)法內(nèi)插。這些函數(shù)模型的特點是不能提供內(nèi)插區(qū)域的局部特性，因此該方法常被用于模擬大范圍的宏觀變化趨勢。第八頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一1.2整體內(nèi)插第9頁整體內(nèi)插的擬合模型數(shù)學表達式設描述研究區(qū)域的曲面形式為下列二元多項式：式中有n個待定系數(shù)C

ij(i，J＝0，1，2，…，m)，為了解求這些系數(shù)，可量取研究范圍內(nèi)不同平面位置的n個參考點三維坐標：P1(x1,y1,z1)，P2(x2，y2，z2),P3(x3，y3,z3)，…，Pn(xn,yn,zn)，將其代入方程從而使n階線性方程組有惟一解將待插點的坐標代入式中，可得到待定點的高程值。第九頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一1.2整體內(nèi)插第10頁整體內(nèi)插方法整體函數(shù)內(nèi)插法的優(yōu)點是易于理解，因為簡單地形特征參考點比較少，選擇低次多項式來描述就可以了。但當?shù)孛矎碗s時，需要增加參考點的個數(shù)。選擇高次多項式固然能使數(shù)學面與實際地面有更多的重合點，但由于多項式是自變量冪函數(shù)的和式，參考點的增減或移位都需對多項式的所有參數(shù)做全面調(diào)整，從而參考點間會出現(xiàn)難以控制的振蕩現(xiàn)象，使函數(shù)極不穩(wěn)定。第十頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一1.2整體內(nèi)插第11頁整體內(nèi)插方法另外，整體內(nèi)插法中需要解求高次的線性方程組，參考點測量誤差的微小擾動都可能引起高次多項式參數(shù)的很大變化，使高次多項式插值很難得到穩(wěn)定解。由于整體內(nèi)插法的上述缺點，實際工作中很少用于直接內(nèi)插。它的主要用途是在某種局部內(nèi)插方法對區(qū)域進行內(nèi)插前，從數(shù)據(jù)中去除—些不符合總體趨勢的宏觀地物特征。第十一頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2.1分塊內(nèi)插第12頁由于實際的地形是很復雜的，整個地形不可能用一個多項式來擬合，因此DEM內(nèi)插中一般不用整體函數(shù)內(nèi)插，而采用局部函數(shù)內(nèi)插(即分塊內(nèi)插較宜)。第十二頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2.1分塊內(nèi)插第13頁分塊內(nèi)插是把參考空間分成若干分塊，對各分塊使用不同的函數(shù)。要考慮的問題是各相鄰分塊函數(shù)問的連續(xù)性問題。分塊的大小根據(jù)地貌復雜程度和參考點的分布密度決定。一般相鄰分塊間要求有適當寬度的重疊，以保證相鄰分塊間能平滑、連續(xù)地拼接。典型的局部內(nèi)插有線性內(nèi)插、多項式內(nèi)插、雙線性內(nèi)插和樣條函數(shù)內(nèi)插等。特別是基于TIN和正方形格網(wǎng)的剖分法雙線性內(nèi)插是DFM分析與應用中最常用的方法。第十三頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2.1分塊內(nèi)插（線性內(nèi)插）線性內(nèi)插是首先使用最靠近插值點的三個已知數(shù)據(jù)點確定一個平面，繼而求出內(nèi)插點的高程值的方法?；赥IN的內(nèi)插廣泛采用這種簡便的方法。第14頁算法的基本思想第十四頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2/26/2021第15頁第十五頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一第16頁第十六頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2.1分塊內(nèi)插（雙線性內(nèi)插）雙線性多項式內(nèi)插是使用最靠近插值點的四個已知數(shù)據(jù)點組成一個四邊形，進而確定一個雙線性多項式來內(nèi)插待插點的高程?；诟窬W(wǎng)的內(nèi)插廣泛采用這種方法。設確定的函數(shù)形式為：其中是所求的參數(shù),設四個點

第17頁算法的基本思想第十七頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2/26/2021第18頁如果數(shù)據(jù)參考點呈正方形格網(wǎng)分布，則可以直接使用雙線性內(nèi)插公式：式中，A，B，C，D為正方形四個格網(wǎng)點，l是格網(wǎng)邊長。第十八頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2.1分塊內(nèi)插（二元樣條函數(shù)內(nèi)插）為保證各分塊曲面間的光滑性，按照彈性力學條件使所確定的n次多項式曲面與其相鄰分塊的邊界上所有n—1次導數(shù)都連續(xù)，這n次多項式就稱為樣條函數(shù)?？梢杂脴訔l函數(shù)內(nèi)插法對規(guī)則格網(wǎng)數(shù)據(jù)的高程重新插值。樣條函數(shù)插值克服了高次多項式插值可能出現(xiàn)的振蕩現(xiàn)象，具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性和收斂性。同時，如果某個點位置發(fā)生變化時，只需要修改局部曲線，而不必重新計算整條曲線，這點要優(yōu)于趨勢面分析方法。 第19頁算法的基本思想第十九頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2.1分塊內(nèi)插（二元樣條函數(shù)內(nèi)插）任一矩形ABCD可構(gòu)成雙三次曲面方程式中有16個待定系數(shù)，須列出16個線性方程，才能確定它們的數(shù)值。已知A，B，C，D四個角點，將它們的三維直角坐標量測值代人式中，可列出4個線性方程，其余12個方程根據(jù)下述力學條件建立，這些力學條件為：

第20頁(1)相鄰面片拼接處在X和Y方向的斜率都應保持連續(xù)；(2)相鄰面片拼接處的扭矩連續(xù)。第二十頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2.1分塊內(nèi)插（二元樣條函數(shù)內(nèi)插）問題的關鍵是設法求得三次曲面的一階導數(shù)和二階混合導數(shù)。設R為沿x軸方向的斜率，s是沿y袖方向的斜率，扭矩為T，則：

第21頁第二十一頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2.1分塊內(nèi)插（二元樣條函數(shù)內(nèi)插）可使用不同的方法求得四個角點的R，S，T值．較為簡單的是使用差商來代替導數(shù)。使用等權(quán)一階差商中數(shù)求任一網(wǎng)格點A(i，j)的導數(shù)的公式可寫為：

第22頁第二十二頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2.1分塊內(nèi)插（二元樣條函數(shù)內(nèi)插）因此，對于任一角點的導數(shù)值，需要使用它周圍8個角點高程求出。這樣，在ABCD矩形當中，已知四角點高程ZA、ZB、Zc、ZD，以及它們的導數(shù)值RA，RB，RC，RD，SA，SB，SC，SD。和TA、TB、TC、TD就可建立16個方程，求解后得出曲面方程系數(shù)代入方程，就可解算某一點的高程。根據(jù)上述定義求得的曲面在相鄰邊上的一階導數(shù)是連續(xù)的，因此，整個區(qū)域的曲面連接是光滑的。

第23頁第二十三頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2.1分塊內(nèi)插（二元樣條函數(shù)內(nèi)插）與整體內(nèi)插不同，樣條函數(shù)保留了微地物特征，擬合時只需與少量數(shù)據(jù)點配準，因此內(nèi)插速度快，同時也保證了分塊間連接處為平滑連續(xù)的曲面。這意味著樣條函數(shù)內(nèi)插法可以修改曲面的某一分塊而不必重新計算整個曲面。應該指出的是，在分塊上展鋪樣條曲面時，對相鄰多項式分片曲面間的拼接，采用了彈性力學條件，而地表分塊不是狹義的彈性殼體，并不具備采用彈性力學條件的前提，所以，盡管樣條函數(shù)法有比較嚴密的理論基礎，但未必是數(shù)字高程插值的良好數(shù)學模型。

第24頁第二十四頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2.1分塊內(nèi)插（多面疊加內(nèi)插法）多面疊加法是美國依阿華州大學Hardy教授于1977年提出的，它的基本思想是任何一個規(guī)則的或不規(guī)則的連續(xù)曲面均可以由若干個簡單面(或稱單值數(shù)學面)來疊加逼近。具體做法是在每個數(shù)據(jù)點上建立一個曲面，然后在z方向上將各個旋轉(zhuǎn)曲面按一定比例疊加成一張整體的連續(xù)曲面，使之嚴格地通過各個數(shù)據(jù)點。

第25頁第二十五頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2/26/2021第26頁這里Q(x，y，xi，yi)為參加插值計算的簡單數(shù)學面，又稱多面函數(shù)的核函數(shù)；n為簡單數(shù)學面的張數(shù)．或多層疊加面的層數(shù)，它的值與分塊擴充范圍內(nèi)參考點的個數(shù)相等Ki(i＝1，2，3，…,n)為待定參數(shù)，它代表了第i個核函數(shù)對多層疊加面的貢獻。為了計算方便，多層疊加面中的n個核函數(shù)一般選用同一類型的簡單函數(shù)，通常是圍繞豎向軸旋轉(zhuǎn)的曲面，這條豎軸正好通過某一參考點。第二十六頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一第27頁第二十七頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一6/5/2023第28頁[X,Y]=meshgrid(-8:.5:8);;Z=6+(X.^2+Y.^2).^(2/3);mesh(X,Y,Z)第二十八頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2/26/2021第29頁第二十九頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2.1分塊內(nèi)插（多面疊加內(nèi)插法）多面疊加內(nèi)插法在實際應用中，有以下一些常用的核函數(shù)選擇方法：

(1)Arthur，Q(d)＝exp(-25d2／a2)，其中d為兩點之間的距離，a為一參數(shù)，為各數(shù)據(jù)點間最大距離。

(2)呂言法，以三次曲面為核函數(shù)，Q(d)＝1+d3。

(3)針對上述Hardy選用的二次函數(shù)進行各種改進，由值為o，o．6和10進行實驗，得出了的結(jié)果。它表明值越大內(nèi)插的曲面(圖中僅繪出沿x方向的曲線)越平滑。

第30頁第三十頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2/26/2021第31頁第三十一頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一該函數(shù)的改進形式的函數(shù)如下：式中(dki)min2表示數(shù)據(jù)點i與距離最近的數(shù)據(jù)點k的距離。當n＝m時，Q矩陣也不是對稱矩陣，因為在每個數(shù)據(jù)點上有各自的參數(shù)(dki)min。利用該核函數(shù)可以很好地考慮地貌結(jié)構(gòu)線的作用，此時只要沿地貌結(jié)構(gòu)線上取一組密集數(shù)據(jù)點(或先內(nèi)插出來)，就會產(chǎn)生很小的(dki)min值，結(jié)果在雙曲面頂端產(chǎn)生一個大的斜率，由此保證了內(nèi)插曲面上突變性的轉(zhuǎn)折。對多層疊加面的解算，可通過將m個參考點的三維坐標代入．得一誤差方程組，按最小二乘法解求待定系數(shù)(m＞n)。2/26/2021第32頁第三十二頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2.1分塊內(nèi)插（多面疊加內(nèi)插法）多面疊加的一個重要的優(yōu)點是：如果希望對地形增加各種約束和限制，則可以設計某一函數(shù)將其增加到多面疊加的函數(shù)體內(nèi)。比如希望在內(nèi)插中考慮地面坡度的信息，就可以設計具有坡度特性的函數(shù)。在數(shù)字高程模型中，如果在數(shù)據(jù)點密度較小和數(shù)據(jù)點精度很高的情況下，要優(yōu)先采用多面疊加的內(nèi)插方法。但在一般情況下，地球表面特征都很復雜，難以確定某一特定函數(shù)嚴格表示地形變化(人工地物除外)。另外這種方法處理煩瑣，計算量大，因而多面疊加方法并不常用。

第33頁第三十三頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2.1分塊內(nèi)插（最小二乘配置法）最小二乘配置內(nèi)插法是一種基于統(tǒng)計的、廣泛用于測量學科中的內(nèi)插方法。在測量中，某一個測量值包含著三部分：

(1)與某些參數(shù)有關的值。由于它是這些參數(shù)的函數(shù)，而這個函數(shù)在空間是一個曲面，被稱為趨勢面。

(2)不能簡單地用某個函數(shù)表達的值．稱為系統(tǒng)的信號部分。(3)觀測值的偶然誤差，或稱為隨機噪聲。

第34頁第三十四頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2.1分塊內(nèi)插（最小二乘配置法）當去掉趨勢面之后，如果觀測值包含信號和噪聲兩部分(且信號與噪聲期望均為0，兩者的協(xié)方差也為零)，則可獲得信號估值的殘差平方和為最小的線性內(nèi)插方法，包括內(nèi)插、濾波和推估，統(tǒng)稱最小二乘配置。數(shù)字高程模型滿足該條件，故可以使用此法內(nèi)插。

第35頁第三十五頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2.1分塊內(nèi)插（最小二乘配置法）首先假設任一分塊地表都會有一張能反應其基本形態(tài)的趨勢面。趨勢面通常用簡單的冪級數(shù)多項式來表示，對復雜的地表面來講，它具有削平、填平實際曲面的作用。

第36頁第三十六頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2/26/2021第37頁圖中第i號參考點的實測高程數(shù)據(jù)記為Hi，投影到趨勢面的參考點i的高程記為hi,從趨勢面起算的參考點的高程記為Zi。Zi包含兩個部分：實際地面與參考面的較差、和參考點高程的量測誤差ri.第三十七頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2.1分塊內(nèi)插（最小二乘配置法）Zi、Si、ri應滿足的條件是E(Zi)＝E(Si))＝E(ri)＝0。ri稱做噪聲，純系偶然誤差Si稱做信號。由于趨勢面的數(shù)學規(guī)律性，Si將對一定范圍內(nèi)的內(nèi)插點高程產(chǎn)生系統(tǒng)性影響。換句話說，信號Si具有局部相關性，在數(shù)理統(tǒng)計中，通常是用協(xié)方差來描述這種相關性的。

第38頁Zi＝Si十ri第三十八頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2.1分塊內(nèi)插（最小二乘配置法）若這一個子區(qū)域內(nèi)共有n個數(shù)據(jù)點，則每個數(shù)據(jù)點都能列出一個觀測值方程式，對于n個數(shù)據(jù)點，根據(jù)相關平差原理，列出、(i＝1，2，…，n)的誤差方程組的矩陣形式如下：Z＝S十R＝H一AW

第39頁從趨勢面起算的高程向量趨勢面上對應的高程向量參考點高程觀測向量第三十九頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一n為分塊擴充范圍內(nèi)參考點的個數(shù)。按最小二乘法相關平差方法求解，得到趨勢面系數(shù)向量：

任一內(nèi)插點P的信號為用待插點在趨勢面上的高程hp’加上待插點的信號sp’，即得所求待插點的高程Hp’：

2.1分塊內(nèi)插（最小二乘配置法）第40頁Z的協(xié)方差陣第四十頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一最小二乘配置法數(shù)字高程分塊內(nèi)插的關鍵問題之一是如何建立z或s的協(xié)方差矩陣，也就是如何解決信號相關性規(guī)律的問題。由數(shù)理統(tǒng)計理論得知，二維各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的協(xié)方差僅與不同點間的水平距離有關；最小二乘配置法內(nèi)插高程時，認為信號和趨勢面起算高程的協(xié)方差僅與點間的水平距離有關：距離愈近，協(xié)方差愈大，超過一定的距離．協(xié)方差趨近于零值。高斯函數(shù)正好滿足函數(shù)值隨距離縮短而增大的條件，所以習慣上以高斯函數(shù)作為相關函數(shù)，用來計算協(xié)方差。

2.1分塊內(nèi)插（最小二乘配置法）第41頁第四十一頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2/26/2021第42頁隨機過程(StochasitcProcess)是一連串隨機事件動態(tài)關系的定量描述。隨機過程論與其他數(shù)學分支如位勢論、微分方程、力學及復變函數(shù)論等有密切的聯(lián)系，是在自然科學、工程科學及社會科學各領域研究隨機現(xiàn)象的重要工具。隨機過程論目前已得到廣泛的應用，在諸如天氣預報、統(tǒng)計物理、天體物理、運籌決策、經(jīng)濟數(shù)學、安全科學、人口理論、可靠性及計算機科學等很多領域都要經(jīng)常用到隨機過程的理論來建立數(shù)學模型。

一般來說，把一組隨機變量定義為隨機過程。在研究隨機過程時人們透過表面的偶然性描述出必然的內(nèi)在規(guī)律并以概率的形式來描述這些規(guī)律，第四十二頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2/26/2021第43頁一個實際的隨機過程是任意一個受概率支配的過程，例子有：①看做是受孟德爾遺傳學支配的群體的發(fā)展；②受分子碰撞影響的微觀質(zhì)點的布朗運動，或者是宏觀空間的星體運動；③賭場中一系列的賭博；④公路一指定點汽車的通行。第四十三頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2/26/2021第44頁數(shù)學上的隨機過程是由實際隨機過程概念引起的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。人們研究這種過程，是因為它是實際隨機過程的數(shù)學模型，或者是因為它的內(nèi)在數(shù)學意義以及它在概率論領域之外的應用。數(shù)學上的隨機過程可以簡單的定義為一組隨機變量，即指定一參數(shù)集，對于其中每一參數(shù)點t指定一個隨機變量x(t)。如果回憶起隨機變量自身就是一個函數(shù)，以ω表示隨機變量x(t)的定義域中的一點，并以x(t，ω)表示隨機變量在ω的值，則隨機過程就由剛才定義的點偶(t，ω)的函數(shù)以及概率的分配完全確定。如果固定t，這個二元函數(shù)就定義一個ω的函數(shù)，即以x(t)表示的隨機變量。如果固定ω，這個二元函數(shù)就定義一個t的函數(shù)，這是過程的樣本函數(shù)。一個隨機過程的概率分配通常是由指定它的隨機變量的聯(lián)合分布來給定的，這些聯(lián)合分布以及由它們誘導出來的概率可以解釋為樣本函數(shù)的性質(zhì)的概率。第四十四頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2/26/2021第45頁一個隨機過程的概率分配通常是由指定它的隨機變量的聯(lián)合分布來給定的，這些聯(lián)合分布以及由它們誘導出來的概率可以解釋為樣本函數(shù)的性質(zhì)的概率。例如，如果t0是一個參數(shù)值，樣本函數(shù)在t0取正值的概率是隨機變量x(t0)有正值的概率。在這個水平上的基本定理：任意指定的自身相容的聯(lián)合概率分布對應一隨機過程。平穩(wěn)過程這類隨機過程中的任意有限多外隨機變量的聯(lián)合分布不受參數(shù)平移的影響，即x(t1+h)，…，x(tn+h)的分布與h無關。

第四十五頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2/26/2021第46頁平穩(wěn)隨機過程

狹義平穩(wěn)概念：所謂平穩(wěn)隨機過程，是指它的任何n維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)與時間起點無關。也就是說，如果對于任意的n和τ，隨機過程ξ(t)的n維概率密度函數(shù)滿足

則稱ξ(t)是平穩(wěn)隨機過程。該平穩(wěn)稱為嚴格平穩(wěn)，狹義平穩(wěn)或嚴平穩(wěn)。第四十六頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2/26/2021第47頁如果一個平穩(wěn)隨機過程，只要滿足一些較寬的條件，其集平均(統(tǒng)計平均值和自相關函數(shù)等)實際上可以用一個樣本函數(shù)在整個時間軸上的平均值來代替，這就是各態(tài)歷經(jīng)性。各態(tài)歷經(jīng)性

概念：對于一個平穩(wěn)的隨機過程，如果統(tǒng)計平均＝時間平均，這個隨機過程就叫做各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機過程。

第四十七頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一最小二乘配置法有嚴密的數(shù)理統(tǒng)計理論依據(jù)，但大量的試驗結(jié)果表明，它未必能在數(shù)字地面模型內(nèi)插應用中取得良好的擬合效果，原因主要是以下兩點：

(1)應用最小二乘配置法的前提是處理對象必須屬于遍歷性平穩(wěn)隨機過程。但實際地表起伏現(xiàn)象都十分復雜，各類地貌形態(tài)未必都符合各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計規(guī)律，地面點間趨勢面起算高程的相關度量未必僅與距離有關。實際上，大多數(shù)地貌變化都不是各向同性的，地表起伏的相關性不僅與距離有關，也與方向有關。如果前提條件不符合，就難以保證得到良好的內(nèi)插質(zhì)量。(2)確定趨勢面和協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)是一個循環(huán)迭代過程。當?shù)諗克俣嚷龝r，其計算量可能比大多數(shù)高程內(nèi)插算法都大，因而此方法并不實用。

2.1分塊內(nèi)插（最小二乘配置法）第48頁第四十八頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2/26/2021第49頁第四十九頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一有限元法是以離散方式處理連續(xù)量的一種數(shù)學方法，它的思路是將一定范圍的連續(xù)整體分割成為有限個單元(如三角形、正方形等)的集合。相鄰單元邊界的端點稱做結(jié)點，通過解求各個結(jié)點處的物理量來描述物理量的整體分布。

2.1分塊內(nèi)插（有限元法）第50頁第五十頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一有限元法通常采用分片光滑的奇次樣條作為各個單元的內(nèi)插函數(shù)，已經(jīng)用于數(shù)字高程模型內(nèi)插的有雙線性B樣條和雙三次B樣條兩種，其整體解是一系列基函數(shù)的線性組合，形式為解求上述函數(shù)的全部系數(shù)．須列出與所求問題等價的二次泛函數(shù)取極小值的條件，建立并計算系數(shù)向量的線性方程組，使上式有確定解。有限元法的計算量取決于分塊內(nèi)結(jié)點的個數(shù)，而不是像上述其他分塊內(nèi)插方法那樣主要與參考點個數(shù)有關。所以單元劃分越細．有限元法的計算量越大。

2.1分塊內(nèi)插（有限元法）第51頁第五十一頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一分塊內(nèi)插的分塊范圍在內(nèi)插過程中一經(jīng)確定，其形狀、大小相位置都保持不變，凡落在分塊上的待插點都用展鋪在該分塊上的惟一確定的數(shù)學面進行內(nèi)插。逐點內(nèi)插法是以待插點為中心、定義一個局部函數(shù)去擬合周圍的數(shù)據(jù)點，數(shù)據(jù)點的范圍隨待插點位置的變化而移動，因此又稱移動曲面法。

2.2逐點內(nèi)插法第52頁第五十二頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一對于每個待插的點，可選取其鄰近的n個數(shù)據(jù)點(可稱其為參考點)擬合一多項式曲面擬合的曲面可選用如下的形式：

Z＝AX2十BX2十CY2十DX十EY十F式中：X，Y，Z是各參考點的坐標值，A，B，C，D，E，F(xiàn)為待定的參數(shù)。由n個選定的參考點用最小二乘法進行求解多項式中的各參數(shù)。

2.2逐點內(nèi)插法（移動擬合法）第53頁第五十三頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一移動擬合法的關鍵在于解決下面兩個問題：(1)如何確定待插點的最小鄰域范圍以保證有足夠的參考點；(2)如何確定各參考點的權(quán)重。選擇鄰近點一般考慮兩個因素：(1)范圍，即采用多大面積范圍內(nèi)的參考點來計算被插點的數(shù)值；(2)點數(shù)，即選擇多少參考點參加計算。這兩個因素的確定要根據(jù)具體情況而定。

2.2逐點內(nèi)插法（移動擬合法）第54頁第五十四頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一動態(tài)圓半徑方法：從數(shù)據(jù)點的平均密度出發(fā)．確定圓內(nèi)數(shù)據(jù)點(平均要有10個)，以解求圓的半徑，其公式為：N為總點數(shù)，A為總面積。這種方法實際上綜合考慮了點數(shù)和范圍兩個因素。

2.2逐點內(nèi)插法（移動擬合法）第55頁第五十五頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一按方位取點法：有時數(shù)據(jù)點分布并不理想這時可以以格網(wǎng)點為中心把平面平均分成n個扇面，從每個扇面內(nèi)取一點作加權(quán)平均這就克服了數(shù)據(jù)點偏向的缺點。

2.2逐點內(nèi)插法（移動擬合法）第56頁第五十六頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一按方位取點法：觀測點的相互位置越接近，其相似性越強；距離越遠，則相似性越小。因此．不同的采樣點由于相對于待插點的距離不同，對待插點的高程插值影響程度是不同的。所以，在移動擬合時，我們一般采用與距離相關的權(quán)函數(shù)．常用的權(quán)函數(shù)有：2.2逐點內(nèi)插法（移動擬合法）第57頁第五十七頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一加權(quán)移動平均方法利用插值點周圍樣點的數(shù)值來計算插值點的數(shù)值，其計算公式如下：式中，

為已測得的第i個位置的屬性值；

為第i個位置屬性值的權(quán)重；X0為待插值的位置；n為已知樣點的數(shù)目。2.2逐點內(nèi)插法（加權(quán)移動平均法）第五十八頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一第五十九頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一第六十頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一第六十一頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一第六十二頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一上面討論的選點方式中．存在一個很重要卻經(jīng)常被忽略的問題：參考點坐標或參考點所在坐標系統(tǒng)的微小變化都會使選點結(jié)果差別很大，結(jié)果可能造成數(shù)字高程模型表面的不連續(xù)。造成這個問題的原因在于僅以距離為基礎進行選點和定義權(quán)重，而事實上距離難以很好地描述空間相鄰性。顯然，對于離散數(shù)據(jù)點之間的空間相鄰性描述，需要給出一種較好的數(shù)學表達，Voronoi圖就是一種很好的工具。

2.2逐點內(nèi)插法（Voronoi圖法）第63頁第六十三頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一上面討論的選點方式中．存在一個很重要卻經(jīng)常被忽略的問題：參考點坐標或參考點所在坐標系統(tǒng)的微小變化都會使選點結(jié)果差別很大，結(jié)果可能造成數(shù)字高程模型表面的不連續(xù)。造成這個問題的原因在于僅以距離為基礎進行選點和定義權(quán)重，而事實上距離難以很好地描述空間相鄰性。顯然，對于離散數(shù)據(jù)點之間的空間相鄰性描述，需要給出一種較好的數(shù)學表達，Voronoi圖就是一種很好的工具。

2.2逐點內(nèi)插法（Voronoi圖法）第64頁第六十四頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一第六十五頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一2/26/2021第66頁第六十六頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一插入點x后產(chǎn)生的新的關于x的Voronoi多邊形，記為v

x

。該多邊形與原始鄰接Voronoi多邊形相交，相交部分即為定權(quán)依據(jù)。設點x的相鄰點集為p1,p2……pn．pi為點x的任何一個相鄰點，pi所在的Voronoi多邊形記為Vp?？梢钥闯?，當點x無限接近點pi時，兩多邊形完全重合，對點pi賦全權(quán)；若采樣點x逐漸遠離點pi，相交區(qū)域以及公共邊界都將隨之縮小，當進一步遠離最終分離，這時點A的權(quán)重為0，對點x的內(nèi)插將不再產(chǎn)生影響。從上述討論可以看出，權(quán)的確定是一個連續(xù)的過程，符合權(quán)函數(shù)的要求。

2.2逐點內(nèi)插法（Voronoi圖法）第67頁第六十七頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一選點定權(quán)之后，便可以進行加權(quán)平均的計算。將鄰接點pi的Voronoi多邊形與多邊形vx的相交區(qū)域記為vi(i=1，2，3，…，n)，A的高程記為Hi，用每一個鄰接點的高程Hi乘以各自相應的相交區(qū)域vi的面積，相加后除以整個相交區(qū)域vx的面積，就得點x的高程插值。

2.2逐點內(nèi)插法（Voronoi圖法）第68頁第六十八頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一一維線性的Voronoi圖內(nèi)插

2.2逐點內(nèi)插法（Voronoi圖法）第69頁第六十九頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一一維線性的Voronoi圖內(nèi)插

2.2逐點內(nèi)插法（Voronoi圖法）第70頁第七十頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期一Voronoi地圖可以了解到每個采樣點控制的區(qū)域的范圍，也可以體現(xiàn)出每個采樣點對區(qū)域內(nèi)插的重要性。利用Voronoi地圖中就可以找出一些對區(qū)域內(nèi)插作用不大且可能影響內(nèi)插精度的采樣點值，可以將它剔除。第七十一頁，共七十九頁，編輯于2023年