第=page11頁，共=sectionpages11頁2023年山東省青島市高考數(shù)學(xué)一模試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知全集U=R.A={x

A.{x|?2<x≤3}2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=A.1 B.?1 C.i D.3.在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)(sin2π3,A.32 B.?12 C.4.龍洗，是我國著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍紋故稱龍洗，為古代皇宮盥洗用具，其盆體可以近似看作一個(gè)圓臺(tái).現(xiàn)有一龍洗盆高15cm，盆口直徑40cm，盆底直徑20cmA.1824cm3 B.2739cm35.定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，fA.3 B.2 C.43 D.6.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0A.3+12 B.3 C.7.某次考試共有4道單選題，某學(xué)生對(duì)其中3道題有思路，1道題完全沒有思路.有思路的題目每道做對(duì)的概率為0.8，沒有思路的題目，只好任意猜一個(gè)答案，猜對(duì)的概率為0.25.若從這4道題中任選2道，則這個(gè)學(xué)生2道題全做對(duì)的概率為(

)A.0.34 B.0.37 C.0.42 D.0.438.已知函數(shù)f(x)=x3?12sinx，若θ∈(0A.a>b>c B.b>a二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.在(2x?1A.常數(shù)項(xiàng)是1120 B.第四項(xiàng)和第六項(xiàng)的系數(shù)相等

C.各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256 D.各項(xiàng)的系數(shù)之和為25610.下列說法正確的是(

)A.若直線a不平行于平面α，a?α，則α內(nèi)不存在與a平行的直線

B.若一個(gè)平面α內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一個(gè)平面β，則α/?/β

C.設(shè)l，m，n為直線，m，n在平面α內(nèi)，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的充要條件

D.若平面α⊥平面α11.1979年，李政道博士給中國科技大學(xué)少年班出過一道智趣題：“5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡覺，準(zhǔn)備第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起來，先吃掉1個(gè)桃子，然后將其分成5等份，藏起自己的一份就去睡覺了；第2只猴子又爬起來，吃掉1個(gè)桃子后，也將桃子分成5等份，藏起自己的一份睡覺去了；以后的3只猴子都先后照此辦理.問最初至少有多少個(gè)桃子？最后至少剩下多少個(gè)桃子？”.下列說法正確的是(

)A.若第n只猴子分得bn個(gè)桃子(不含吃的)，則5bn=4bn?1?1(n=2,3,4,5)

B.若第n只猴子連吃帶分共得到an個(gè)桃子，則12.已知A、B是平面直角坐標(biāo)系xOy中的兩點(diǎn)，若OA=λOB(λ∈R)，OA.點(diǎn)(1,1)關(guān)于圓x2+y2=4的對(duì)稱點(diǎn)是(?2,?2)

B.圓x2+y2=4上的任意一點(diǎn)A關(guān)于圓x2+y2=4的對(duì)稱點(diǎn)就是A自身

C.圓x2三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知O(0,0)，A(1,2)，B(3,14.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在拋物線y2=2px(p>0)上存在兩點(diǎn)E，F(xiàn)，使得15.濕地公園是國家濕地保護(hù)體系的重要組成部分，某市計(jì)劃在如圖所示的四邊形ABCD區(qū)域建一處濕地公園.已知∠DAB=90°，∠DBA=45

16.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在整數(shù)集Z上的函數(shù)，且滿足f(0)=1，f(1)=0，對(duì)任意的x，y四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知函數(shù)f(x)=2cos2ωx+sin2ωx(ω>0)18.(本小題12.0分)

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差d≠0，S2，S4，S5+4成等差數(shù)列，a2，a4，a8成等比數(shù)列．

(1)求Sn；19.(本小題12.0分)

如圖，在Rt△PAB中，PA⊥AB，且PA=4，AB=2，將△PAB繞直角邊PA旋轉(zhuǎn)2π3到△PAC處，得到圓錐的一部分，點(diǎn)D是底面圓弧20.(本小題12.0分)

2023年4月12日是成都七中118周年校慶.為了紀(jì)念這一特殊的日子，兩校區(qū)學(xué)生會(huì)在全校學(xué)生中開展了校慶知識(shí)測(cè)試，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的測(cè)試成績，按照[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分組，得到如下所示的樣本頻率分布直方圖：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校學(xué)生測(cè)試成績的中位數(shù)；

(2)用樣本的頻率估計(jì)概率，從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生的成績，用P(X=k)表示這10名學(xué)生中恰有k名學(xué)生的成績?cè)赱90,100]上的概率，求P(X21.(本小題12.0分)

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A為橢圓C的上頂點(diǎn)，△AF1F2為等腰直角三角形，其面積為1．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)W22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=lnx，圓C：x2+(y?b)2=2．

(1)若b=1，寫出曲線y=f(x)與圓C的一條公切線的方程(無需證明)；答案和解析1.【答案】A

【解析】解：全集U=R，集合A={x|3<x<7}，B={x|?2<x<6}，

∴2.【答案】A

【解析】解：∵z(1+i)=2，

∴z=21+i=2(13.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閟in2π3=32,cos2π3=?124.【答案】B

【解析】解：如圖所示，畫出圓臺(tái)的立體圖形和軸截面平面圖形，并延長EC與FD于點(diǎn)G．

根據(jù)題意，AB=20cm，CD=10cm，AC=15cm，EC=6cm，

設(shè)CG=xcm，E5.【答案】D

【解析】解：由f(x)+f(x+1)=1，得f(x+16.【答案】C

【解析】解：顯然直線y=3x與F1F2交于原點(diǎn)O，

由雙曲線對(duì)稱性知，若四邊形AF1BF2是矩形，則|AB|=|F1F2|，

設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，而F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,07.【答案】C

【解析】解：設(shè)事件A表示“兩道題全做對(duì)”，

若兩個(gè)題目都有思路，則P1=C32C42×0.82=0.32，

若兩個(gè)題目中一個(gè)有思路一個(gè)沒有思路，則P28.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閒(?x)=(?x)3?12sin(?x)=?(x3?12sinx)=?f(x)，

所以f(x)在R上是奇函數(shù)．所以c=?f(?12)=f(12)，

對(duì)f(x)=x3?12sinx求導(dǎo)得，f′(x)=3x2?12cosx，

令g(x)=3x2?12cosx，則g′(x)=6x+12sinx9.【答案】AC【解析】解：根據(jù)二項(xiàng)式定理，(2x?1x)8的通項(xiàng)公式為Tk+1=C8k28?k(?1)kx8?2k，

對(duì)于A，常數(shù)項(xiàng)為C8424(?1)4=1120，故A正確；

對(duì)于B，第四項(xiàng)的系數(shù)為C8328?3(?1)3=?1792，第六項(xiàng)的系數(shù)為C85210.【答案】AB【解析】解：選項(xiàng)A，若存在直線，則由直線和平面平行的判定定理知直線a與平面α平行，與條件相矛盾，故選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B，由面面平行的判定定理可知選項(xiàng)B正確；

選項(xiàng)C，當(dāng)直線m，n不相交時(shí)，由線面垂直的判定定理知：l⊥m且l⊥n時(shí)，得不到l⊥α，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D，當(dāng)α1//β1，α⊥β時(shí)，可滿足題設(shè)條件，此時(shí)平面α與平面β所成的二面角為90°，平面α1與平面β1所成的二面角為0°，故選項(xiàng)11.【答案】AB【解析】解：設(shè)最初有c1個(gè)桃子，猴子每次分剩下的桃子依次為c2，c3，c4，c5，c6，

則cn=cn?1?1?15(cn?1?1)=45(cn?1?1),(n≥2)，

若第n只猴子分得bn個(gè)桃子(不含吃的)，

則bn+1=15(cn?1),bn=15(cn?1?1)(n≥2)，

所以bn+1=15(cn?1)=45(cn?1?1)?15=4bn?15(n≥2)，

即5bn=4bn?1?1(n=2,3,4,5)，故A正確；

由A，5bn=4bn?1?1(12.【答案】BC【解析】解：對(duì)于A選項(xiàng)，取點(diǎn)A(1,1)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于圓x2+y2=4的對(duì)稱點(diǎn)為B，

則存在e使得，OB=eOA，可得OA?OB=eOA2=2e=4，則e=2，

所以，OB=2OA=(2,2)，

因此，點(diǎn)(1,1)關(guān)于圓x2+y2=4的對(duì)稱點(diǎn)是(2,2)，A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，由題意可知|OA|=2，

設(shè)點(diǎn)A關(guān)于圓x2+y2=4的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，則存在實(shí)數(shù)k，使得OB=kOA，

所以，OA?OB=kOA2=4k=4，可得k=1，即OB=OA，

因此，圓x2+y2=4上的任意一點(diǎn)A關(guān)于圓x2+y2=4的對(duì)稱點(diǎn)就是A自身，B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)M(x0,y0)13.【答案】(?【解析】解：根據(jù)題意可得：OA=(1,2)，OB=(3,?1)，

設(shè)m=(x,y)，

因?yàn)橄蛄縨//OA，且m與OB的夾角為鈍角，

14.【答案】3【解析】解：根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知：

由△OEF為等邊三角形，

所以E，F(xiàn)關(guān)于坐標(biāo)軸x對(duì)稱，

由|EO|=4，∠AOx=30°，所以E(23,2)，

15.【答案】2【解析】解：由題意可知，ABsin∠ACB=ACsin∠ABC，

所以22sin(180°?30°?45°?60°)=ACsin(45°+60°)，

即22sin45°=ACsi16.【答案】0

11011【解析】解：令x=y=1，f(2)+f(0)=2f2(1)，

∴f(2)=?1，

令x=2，y=1，f(3)+f(1)=2f(2)f(1)，

∴f(3)=0，

令y=1，則f(x+1)+f(x?1)=0，即f(x+1)=?f(x?1)，

可得f(x+2)=?f(17.【答案】解：(1)f(x)=2cos2ωx+sin2ωx=cos2ωx+sin2ωx+1=【解析】(1)根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式化簡f(x)=2sin18.【答案】解：(1)由S2，S4，S5+4成等差數(shù)列，a2，a4，a8成等比數(shù)列，

可得S5+4+S2=2S4a42=a2a8?5a1+10d+4+【解析】(1)根據(jù)等比中項(xiàng)以及等差中項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解公差和首項(xiàng)，

(2)根據(jù)2bn19.【答案】解：(1)當(dāng)D為圓弧BC的中點(diǎn)，即∠CAD=π3時(shí)，BC⊥PD，

證明如下：∵D為圓弧BC的中點(diǎn)，∴∠CAD=∠BAD=π3，即AD為∠CAB的平分線，

∵AC=AB，∴AD為等腰△CAB的高線，即AD⊥BC，

∵PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A，AB，AC?平面ABDC，

∴PA⊥平面ABDC，∴PA⊥BC，

∵PA∩AD=A，∴BC⊥面PAD，∴BC⊥PD．

(2)由(1)得，PA為四棱錐P?ABDC的高，

∵PA=4，∴當(dāng)?shù)酌娣eSAB【解析】(1)BC⊥面即為所求，即BC⊥AD，此時(shí)易知D為圓弧BC的中點(diǎn)；

(2)易知當(dāng)四邊形ABDC面積最大時(shí)，四棱錐的體積最大，設(shè)20.【答案】解：(1)因?yàn)榍皟蓚€(gè)矩形的面積之和為(0.01+0.03)×10=0.4<0.5，前三個(gè)矩形面積和為(0.01+0.03+0.04)×10=0.8>0.5，

所以中位數(shù)在(80,90)之間，設(shè)中位數(shù)為x，

則10×(0.01+0.03)+(x?80)×0.04=0.5，解得x=82.5，故中位數(shù)為82.5；

(2)由題意可得，成績?cè)赱90,100]上的概率為0.2，則不在[90,100]的概率為0.8，

所以X～B(10,0.2)，即有P(X=k)=C10

ξ

0

1

2

P

8

14

3則E(ξ【解析】(1)根據(jù)題意，由中位數(shù)的意義列出方程，即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意可得，當(dāng)P(X=k)取最大值時(shí)，則P21.【答案】解：(1)記|F1F2|=2c，由題意知：|AF1|=|AF2|=a,2c=2a，

∴S△AF1F2=12a2=1，解得a=2，

∴b=1，c=1，

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x22+y2=1．

(2)(i)選①②為條件：設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，W(x0,y0)，

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則Q(x1,?y1)，W(0,y0)，

∴S=12x1?2y1=x1?y1=22，又x122+y12=1，解得P(1,22),Q(1,?22)，

∴k1k2=(y1?y0)(?y1?y0)x1?x1=y02?12=?12，

∴y0=0，

∴W(0,0)為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足題意；

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)W(x0,kx0)，直線l的方程為：y=kx+t，

將y=kx+t代入x22+y2=1，得(1+2k2)x【解析】(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即可求出a、b、c，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)(i)選②③為條件：設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，分l斜率存在和不存在兩種情況討論．l斜率存在時(shí)，設(shè)l為y=kx+t，由k1k2=?12，可得x1x2+2y1y2=0(*)，聯(lián)立直線l與橢圓的方程，得x1x2，y1y2，代入(*)可得k和t的關(guān)系，根據(jù)弦長公式求出|PQ|，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出O到l的距離d，根據(jù)即可求出S；

(ii)選①③為條件：設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，分l斜率存在和不存在兩種情況討論．當(dāng)直線l22.【答案】解：(1)設(shè)f(x)的切線的切點(diǎn)為(x0,lnx0)，

∵f′(x)=1x，

∴切線斜率為k=f′(x0)=1x0，

∴切線方程為y?lnx0=1x0(x?x0)，即x?x0y?x0+x0lnx0=0，

當(dāng)b=1時(shí)，圓的圓心為(0,1)，半徑為2，

當(dāng)f(x)的切線也是圓的切線時(shí)，|?