第一章三角函數(shù)1.1任意角和弧度制1.1.1任意角【知識(shí)提煉】1.任意角(1)概念：平面內(nèi)一條_____繞著_____從一個(gè)位置_____到另一個(gè)位置所成的圖形.(2)要素：射線端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)(3)分類：類型定義圖示正角按_______方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角按_______方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線_____作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個(gè)零角逆時(shí)針順時(shí)針沒有2.象限角前提(1)角的頂點(diǎn)與_____重合(2)角的始邊與______________重合結(jié)論角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是___________原點(diǎn)x軸的非負(fù)半軸第幾象限角3.終邊相同的角范圍所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)集合表示集合S=__________________________含義任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與____________的和{β|β=α+k·360°，k∈Z}整數(shù)個(gè)周角【即時(shí)小測(cè)】1.判斷.(1)終邊與始邊重合的角是零角.(

)(2)終邊相同的角一定相等(

)(3)第一象限角一定不是負(fù)角.(

)(4)終邊在x軸上的角既是第一象限角也是第二象限角.(

)【解析】(1)錯(cuò)誤.終邊與始邊重合的角是k·360°(k∈Z)，不一定是零角.(2)錯(cuò)誤.如-10°與350°終邊相同，但是不相等.(3)錯(cuò)誤.如-330°角是第一象限角，但它是負(fù)角.(4)錯(cuò)誤.終邊在x軸上的角不屬于任何象限.答案：(1)×

(2)×

(3)×

(4)×2.下列各組角中，終邊不相同的是(

)A.60°與-300°

B.230°與950°C.1050°與-300°D.-1000°與80°【解析】選C.A終邊相同.因?yàn)?0°-(-300°)=360°；B終邊相同.因?yàn)?30°-950°=-2×360°；C終邊不相同.因?yàn)?050°-(-300°)=3×360°+270°D終邊相同.因?yàn)?1000°-80°=-3×360°.3.請(qǐng)?jiān)谙卤碇刑羁战堑趲紫笙藿?81°406°-750°【解析】因?yàn)?81°=180°+1°，所以181°是第三象限角；因?yàn)?06°=360°+46°，所以406°是第一象限角；因?yàn)?750°=-2×360°-30°，所以750°與-30°終邊相同，所以750°是第四象限角.答案：第三象限角第一象限角第四象限角4.將35°角的終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°所得的角度數(shù)為_______，將35°角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)兩周后的角度數(shù)________.【解析】將35°角的終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°所得的角為35°-60°=-25°，將35°角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)兩周后的角為35°+2×360°=755°.答案：-25°

755°5.將-885°化為α+k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是______【解析】-885°=195°+(-3)×360°.答案：195°+(-3)×360°【知識(shí)探究】知識(shí)點(diǎn)1

任意角的概念觀察圖形，回答下列問題：?jiǎn)栴}1：角的概念是通過什么方式進(jìn)行推廣的？問題2：掌握角的概念應(yīng)注意角的哪些要素？【總結(jié)提升】1.角的概念的推廣(1)角的概念是通過角的終邊的運(yùn)動(dòng)來推廣的，根據(jù)角的終邊的旋轉(zhuǎn)“方向”，得到正角、負(fù)角和零角.(2)表示角時(shí)，應(yīng)注意箭頭的方向不可丟掉，箭頭方向代表角的正負(fù).2.用旋轉(zhuǎn)來描述角時(shí)需要注意的三個(gè)要素(1)旋轉(zhuǎn)中心：射線旋轉(zhuǎn)時(shí)繞的端點(diǎn).(2)旋轉(zhuǎn)方向：旋轉(zhuǎn)變換的方向分為逆時(shí)針和順時(shí)針兩種，這是一對(duì)意義相反的量，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，我們可以把一對(duì)意義相反的量用正負(fù)數(shù)來表示，那么許多問題就可以解決了.(3)旋轉(zhuǎn)量：當(dāng)旋轉(zhuǎn)超過一周時(shí)，旋轉(zhuǎn)量即超過360°，角度的絕對(duì)值可大于360°.于是就會(huì)出現(xiàn)720°，-540°等角度.知識(shí)點(diǎn)2象限角與終邊相同的角觀察圖形，回答下列問題：?jiǎn)栴}1：定義象限角、終邊相同的角的前提條件是什么？問題2：終邊相同的角之間有什么關(guān)系？問題3：如何用集合符號(hào)表示各象限角、終邊落在坐標(biāo)軸上的角？【總結(jié)提升】1.定義的前提條件(1)研究象限角、終邊相同的角時(shí)，必須注意前提條件：角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.(2)如果角的頂點(diǎn)不與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，或者角的始邊不與x軸的非負(fù)半軸重合，則沒有象限角、終邊相同角的概念.2.象限角的集合表示象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<90°+k·360°，k∈Z}第二象限角{α|90°+k·360°<α<180°+k·360°，k∈Z}第三象限角{α|180°+k·360°<α<270°+k·360°，k∈Z}第四象限角{α|270°+k·360°<α<360°+k·360°，k∈Z}3.對(duì)終邊相同的角的說明所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)(而且只有這樣的角)，可以用式子α+k·360°，k∈Z表示.在運(yùn)用時(shí)，需注意以下幾點(diǎn)：(1)k是整數(shù)，這個(gè)條件不能漏掉.(2)α是任意角.(3)k·360°與α之間用“+”號(hào)連接，如k·360°-30°應(yīng)看成k·360°+(-30°)(k∈Z).(4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差周角的整數(shù)倍.【拓展延伸】終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合表示角的終邊的位置集合表示終邊落在x軸的非負(fù)半軸上{α|α=k·360°，k∈Z}終邊落在x軸的非正半軸上{α|α=180°+k·360°，k∈Z}終邊落在y軸的非負(fù)半軸上{α|α=90°+k·360°，k∈Z}終邊落在y軸的非正半軸上{α|α=270°+k·360°，k∈Z}終邊落在y軸上{α|α=90°+k·180°，k∈Z}終邊落在x軸上{α|α=k·180°，k∈Z}終邊落在坐標(biāo)軸上{α|α=k·90°，k∈Z}【題型探究】類型一與任意角有關(guān)的概念的辨析【典例】1.給出下列說法：(1)終邊在y軸非負(fù)半軸上的角是直角.(2)始邊相同而終邊不同的角一定不相等.(3)三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角.(4)第四象限角一定是負(fù)角.(5){α|α=k·180°，k∈Z}={0°，180°，360°}.其中正確說法的個(gè)數(shù)是(

)A.1

B.2

C.3

D.42.將分針撥快10分鐘，則分針?biāo)D(zhuǎn)過的度數(shù)為________.【解題探究】1.典例1中，直角、三角形的內(nèi)角、負(fù)角的大小分別是多少度？象限角是如何定義的？提示：直角是度數(shù)為90°的角、三角形的內(nèi)角是大于0°小于180°的角、負(fù)角是小于0°的角.角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限就是第幾象限的角.2.典例2中，分針的旋轉(zhuǎn)方向是順時(shí)針和逆時(shí)針？提示：分針的旋轉(zhuǎn)方向是順時(shí)針.【解析】1.選A.(1)錯(cuò)誤.-270°是終邊在y軸非負(fù)半軸上的角但不是直角.(2)正確.相等的角始邊相同則終邊必相同，所以始邊相同而終邊不同的角一定不相等.(3)錯(cuò)誤.三角形的內(nèi)角可以是直角，它既不是第一象限角，也不是第二象限角.(4)錯(cuò)誤.如271°是第四象限角，但不是負(fù)角.(5)錯(cuò)誤.{0°，180°，360°}{α|α=k·180°，k∈Z}2.將分針撥快10分鐘，分針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，所以分針?biāo)D(zhuǎn)過的度數(shù)為-60°.答案：-60°【方法技巧】1.角的表示的技巧(1)通常用希臘字母α，β等表示，如“角α”或“∠α”，也可以簡(jiǎn)化為“α”.(2)也可以用三個(gè)大寫字母表示(前面要加“∠”)，如“∠AOB”.(3)用圖示表示角時(shí)，箭頭不可以丟掉，因?yàn)榧^代表了旋轉(zhuǎn)的方向，也即箭頭代表著角的正負(fù).2.判斷角的概念問題的關(guān)鍵與技巧(1)關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念.(2)技巧：判斷一種說法正確需要證明，而判斷一種說法錯(cuò)誤只要舉出反例即可.【變式訓(xùn)練】射線OA繞端點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°到OB位置，接著逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)250°到OC位置，然后再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°到OD位置，則∠AOD=________.【解析】如圖：∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=(-80°)+250°+(-270°)=-100°.答案：-100°類型二終邊相同的角的表示和應(yīng)用【典例】1.(2015·成都高一檢測(cè))若角α與β的終邊垂直，則α與β的關(guān)系是(

)A.β=α+90°B.β=α±90°C.β=k·360°+α+90°，k∈ZD.β=k·360°+α±90°，k∈Z2.在與10030°角終邊相同的角中，求滿足下列條件的角.(1)最大的負(fù)角.(2)360°～720°內(nèi)的角.【解題探究】1.典例1中，角α的終邊如何旋轉(zhuǎn)后與β終邊相同？提示：角α的終邊順(逆)時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后與β終邊相同.2.典例2中，與10030°終邊相同的角如何表示？計(jì)算所求角的關(guān)鍵是計(jì)算什么？提示：與10030°終邊相同的角可表示為10030°+k·360°，k∈Z.計(jì)算所求角的關(guān)鍵是確定整數(shù)k.【解析】1.選D.因?yàn)榻铅僚cβ的終邊垂直，所以α+90°或α-90°與β的終邊相同，所以β=k·360°+α±90°，k∈Z.2.與10030°角終邊相同的角的一般形式為β=10030°+k·360°(k∈Z).(1)由10030°+k·360°<0°.得k·360°<-10030°，所以又k∈Z，故所求的最大負(fù)角為β=-50°.(2)由360°≤10030°+k·360°<720°，得-9670°≤k·360°<-9310°，又k∈Z，解得k=-26.故所求的角為β=670°.【方法技巧】1.在0°到360°范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法(1)一般地，可以將所給的角α化成k·360°+β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角.(2)如果所給的角的絕對(duì)值不是很大，可以通過如下方法完成：當(dāng)所給角是負(fù)角時(shí)，采用連續(xù)加360°的方式；當(dāng)所給角是正角時(shí)，采用連續(xù)減360°的方式，直到所得結(jié)果達(dá)到要求為止.2.終邊相同角常用的三個(gè)結(jié)論(1)終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍.(2)終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍.(3)終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍.【變式訓(xùn)練】1.與-463°終邊相同的角可以表示為(

)A.k·360°+463°(k∈Z)

B.k·360°+103°(k∈Z)C.k·360°+257°(k∈Z)D.k·360°-257°(k∈Z)【解析】選C.因?yàn)?463°=257°-2×360°，所以與-463°終邊相同的角可以表示為k·360°+257°(k∈Z).2.(2015·江陵高一檢測(cè))已知角α，β的終邊相同，那么α-β的終邊在(

)A.x軸的非負(fù)半軸上B.y軸的非負(fù)半軸上C.x軸的非正半軸上D.y軸的非正半軸上【解題指南】由角α，β的終邊相同可得，α=k·360°+β(k∈Z)，由此可求α-β并得到其終邊位置.【解析】選A.因?yàn)榻铅?，β的終邊相同，所以α=k·360°+β(k∈Z)，所以α-β=k·360°(k∈Z)，所以α-β的終邊在x軸的非負(fù)半軸上.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知α=-1910°.(1)把α寫成β+k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，指出它是第幾象限的角.(2)求θ，使θ與α的終邊相同，且-720°≤θ<0°.【解析】(1)方法一：作除法運(yùn)算，注意余數(shù)必須非負(fù)，得：-1910÷360=-6……250，所以α=250°-6×360°，它是第三象限的角.方法二：設(shè)α=β+k·360°(k∈Z)，則β=-1910°-k·360°(k∈Z)，令-1910°-k·360°≥0°，解得k≤k的最大整數(shù)解為k=-6，求出相應(yīng)的β=250°，于是α=250°-6×360°，它是第三象限的角.(2)令θ=250°+k·360°(k∈Z)，取k=-1，-2就得到符合-720°≤θ<0°的角.250°-360°=-110°，250°-720°=-470°.故θ=-110°或-470°.類型三象限角與區(qū)間角的表示【典例】1.(2015·九江高一檢測(cè))2016°是第__________象限角.(

)A.一B.二

C.三

D.四2.(2015·宿州高一檢測(cè))如圖，分別寫出符合下列條件的角的集合：(1)終邊落在射線OB上.(2)終邊落在直線OA上.(3)終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界).【解題探究】1.典例1中，2016°如何改寫為α+k·360°，k∈Z的形式？提示：2016°=216°+5×360°.2.典例2中射線OA，OB分別可看作哪個(gè)角的終邊？陰影區(qū)域第三象限的部分的邊界分別可看作哪個(gè)角的終邊？提示：典例2中射線OA，OB分別可看作30°，60°角的終邊.陰影區(qū)域第三象限的部分的邊界分別可看作210°，240°角的終邊.【解析】1.選C.2016°=216°+5×360°.216°是第三象限角，所以2016°也是第三象限角.2.(1)終邊落在射線OB上的角的集合為：{α|α=60°+k·360°，k∈Z}.(2)終邊落在直線OA上的角的集合為：{α|α=30°+k·360°，k∈Z}∪{α|α=210°+k·360°，k∈Z}={α|α=30°+2k·180°，k∈Z}∪{α|α=30°+(2k+1)·180°，k∈Z}={α|α=30°+k·180°，k∈Z}.(3)終邊落在第一象限陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)的角的集合為：{α|30°+k·360°≤α≤60°+k·360°，k∈Z}，終邊落在第三象限陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)的角的集合為：{α|210°+k·360°≤α≤240°+k·360°，k∈Z}，終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)的角的集合為：{α|30°+k·360°≤α≤60°+k·360°，k∈Z}∪{α|210°+k·360°≤α≤240°+k·360°，k∈Z}={α|30°+2k·180°≤α≤60°+2k·180°，k∈Z}∪{α|30°+(2k+1)·180°≤α≤60°+(2k+1)·180°，k∈Z}={α|30°+k·180°≤α≤60°+k·180°，k∈Z}.【延伸探究】1.(變換條件)若將典例2圖中直線OA改為虛線，其他條件不變，第(3)問的結(jié)果如何？【解析】改為虛線說明不含此邊界，終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合為：{α|30°+k·180°<α≤60°+k·180°，k∈Z}.2.(改變問法)若α在典例2(3)中第三象限陰影區(qū)域內(nèi)，試畫出角的終邊所在的陰影區(qū)域.【解析】因?yàn)?10°+k·360°≤α≤240°+k·360°，k∈Z，所以105°+k·180°≤≤120°+k·180°，k∈Z，所以角的終邊所在的陰影區(qū)域如圖所示.【方法技巧】表示區(qū)域角的三個(gè)步驟第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的-360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡(jiǎn)區(qū)間{x|α<x<β}，其中β-α<360°；第三步：起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示，寫出終邊落在陰影部分的角的集合.【解析】設(shè)終邊落在陰影部分的角為α，角α的集合由兩部分組成.①{α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°，k∈Z}.②{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°，k∈Z}.所以角α的集合應(yīng)當(dāng)是集合①與②的并集：{α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°，k∈Z}∪{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°，k∈Z}={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°，k∈Z}∪{α|(2k+1)180°+30°≤α<(2k+1)180°+105°，k∈Z}={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°或(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)180°+105°，k∈Z}={α|k·180°+30°≤α<k·180°+105°，k∈Z}.【延伸探究】1.(改變問法)本題條件下，寫出終邊落在陰影部分的角的集合的補(bǔ)集(全集為任意角構(gòu)成的集合).【解析】結(jié)合圖形可知，所求集合為{α|k·180°-75°≤α<k·180°+30°，k∈Z}.2.(增加條件，改變問法)設(shè)終邊落在陰影部分的角為α，試畫出角α+80°的終邊所在的陰影區(qū)域.【解析】因?yàn)閧α+80°|k·180°+110°≤α