行列式按行(列)展開第一頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一課前復(fù)習(xí)性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.即.性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號(hào).推論如果行列式有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素完全相同，則此行列式為零.性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.推論2行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．性質(zhì)4若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和,則這個(gè)行列式等于兩個(gè)行列式之和.性質(zhì)5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變．第二頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，叫做元素的代數(shù)余子式．例如一、余子式與代數(shù)余子式記作第三頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一注行列式的每個(gè)元素分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式.即．外都為零，那末這行列式等于與它的代數(shù)余子式引理的乘積，一個(gè)階行列式，如果其中第行所有元素除證當(dāng)位于首位時(shí),即即有又從而命題得證第四頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一得把的第行依次與第行，第行，…第1行對(duì)調(diào)下證一般情形,此時(shí)第五頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一得把的第列依次與第列，第列，…第1列對(duì)調(diào)第六頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一中的余子式注意到：元素在行列式中的余子式仍然是在行列式第七頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一于是有故即所以命題得證第八頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即證二、行列式按行（列）展開法則定理利用行列式的性質(zhì)四--拆分原理有第九頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即推論命題得證第十頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一把行列式按第行展開有證把行列式中的換成可得相同同理命題得證第十一頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)第十二頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一例1計(jì)算行列式常用方法：化零，展開.三、應(yīng)用舉例解第十三頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一例2第四行各元素余子式之和為分析以表示中元素的余子式，則有第十四頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一例3第十五頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一例4計(jì)算范德蒙德(Vandermonde)行列式將前一行乘以加到后一行上解（從后往前）第十六頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一按第一列展開，并把每一列的共因子提出，有

n-1階范德蒙德行列式第十七頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一第十八頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一解每一行提取各行的公因子，于是得到例5計(jì)算第十九頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知第二十頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一四、行列式按某k行(列)展開（Laplace定理）定義位于這些行和列交叉處的個(gè)元素，按照原來的順序定義行標(biāo)、列標(biāo).在階行列式中,任意取定行(列)構(gòu)成一個(gè)階行列式，稱為的一個(gè)階子式.劃去這行列，余下的元素按照原來的順序構(gòu)成一個(gè)階行列式，稱為的余子式.在其前面，稱為的代數(shù)余子式.冠以符號(hào)分別為階子式在中的其中行列式共有個(gè)階子式.第二十一頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一例6求行列式解定理在階行列式中,取定行(列)式的乘積之和等于行列式.由這行