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高考理科數(shù)學(xué)《概率與統(tǒng)計(jì)》題型歸納與訓(xùn)練

【題型歸納】

題型一古典概型與幾何概型

例1、某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替浮現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)光為40秒.若一名行人來到該路口碰到紅燈，則至少需要等待15秒才浮現(xiàn)綠燈的概率為.【答案】

【解析】由于紅燈持續(xù)時(shí)光為40秒.所以這名行人至少需要等待15秒才浮現(xiàn)綠燈的概率為

.例2、市政府為調(diào)查市民對(duì)本市某項(xiàng)調(diào)控措施的態(tài)度，隨機(jī)抽取了100名市民，統(tǒng)計(jì)了他們的月收入頻率分布和對(duì)該項(xiàng)措施的贊成人數(shù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：

(1)用樣本估量總體的思想比較該市月收入低于20(百元)和不低于30(百元)的兩類人群在該項(xiàng)措施的態(tài)度上有何不同；

(2)現(xiàn)從樣本中月收入在)20,10[和)70,60[的市民中各隨機(jī)抽取一個(gè)人舉行跟蹤調(diào)查，求抽取的兩個(gè)人恰好對(duì)該措施一個(gè)贊成一個(gè)不贊成的概率．【答案】（1）詳見解析；（2）

20

11

.【解析】(1)由表知，樣本中月收入低于20(百元)的共有5人，其中持贊成態(tài)度的共有2人，故贊成人數(shù)的頻率為

52，月收入不低于30(百元)的共有75人，其中持贊成態(tài)度的共有64人，故贊成人數(shù)的頻率為75

64，∵

5

2

7564>，∴按照樣本估量總體的思想可知月收入不低于30(百元)的人群對(duì)該措施持贊成態(tài)度的比月收入低于20(百元)的人群持贊成態(tài)度的比例要高．

(2)將月收入在)20,10[內(nèi)，不贊成的3人記為321,,aaa，贊成的2人記為54,aa，將月收入在)70,60[內(nèi)，不贊成的1人記為1b，贊成的3人記為,,,432bbb從月收入在)20,10[和)70,60[內(nèi)的人中各隨機(jī)抽取1人，基本領(lǐng)件總數(shù)20=n，其中大事“抽取的兩個(gè)人恰好對(duì)該措施一個(gè)贊成一個(gè)不贊成”包含的基本領(lǐng)件有

5840155

408

-=

),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(1514433323423222413121bababababababababababa共11個(gè)，∴抽取

的兩個(gè)人恰好對(duì)該措施一個(gè)贊成一個(gè)不贊成的概率20

11=

P.【易錯(cuò)點(diǎn)】求解古典概型問題的關(guān)鍵：先求出基本領(lǐng)件的總數(shù)，再確定所求目標(biāo)大事包含基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概型概率公式求解．普通涉及“至多”“至少”等大事的概率計(jì)算問題時(shí)，可以考慮其對(duì)立大事的概率，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算．【思維點(diǎn)撥】

1.求復(fù)雜互斥大事概率的辦法

一是直接法，將所求大事的概率分解為一些彼此互斥大事概率的和，運(yùn)用互斥大事的求和公式計(jì)算；二是

間接法，先求此大事的對(duì)立大事的概率，再用公式()()

1PAPA＝

－，即運(yùn)用逆向思維的辦法(正難則反)求解，應(yīng)用此公式時(shí)，一定要分清大事的對(duì)立大事到底是什么大事，不能重復(fù)或遺漏．特殊是對(duì)于含“至多”“至少”等字眼的題目，用其次種辦法往往顯得比較簡(jiǎn)便．

2.求古典概型的概率的基本步驟:算出全部基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)；求出大事A包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)；代入公式，求出()PA；幾何概型的概率是幾何度量之比,主要使用面積、體積之比與長度之比.題型二統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

例1、某高校藝術(shù)專業(yè)400名同學(xué)參與某次測(cè)評(píng)，按照男女同學(xué)人數(shù)比例，使用分層抽樣的辦法從中隨機(jī)抽取了100名同學(xué)，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：],90,80[,),40,30[),30,20[Λ并收拾得到如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）從總體的400名同學(xué)中隨機(jī)抽取一人，估量其分?jǐn)?shù)小于70的概率；

（Ⅱ）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的同學(xué)有5人，試估量總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間)50,40[內(nèi)的人數(shù)；

（Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估量總體

中男生和女生人數(shù)的比例．

【答案】（Ⅰ）4.0；（Ⅱ）20；（Ⅲ）2:3.

【解析】（Ⅰ）按照頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為6.010)04.002.0(=?+，所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為4.06.01=-.

（Ⅱ）按照題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為，分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為.

所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)估量為.（Ⅲ）由題意可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的同學(xué)人數(shù)為6010010)04.002.0(=??+，所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為302

1

60=?

.所以樣本中的男生人數(shù)為60230=?，女生人數(shù)為4060100=-，男生和女生人數(shù)的比例為2:340:60=，所以按照分層抽樣的原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估量為2:3.【易錯(cuò)點(diǎn)】求解統(tǒng)計(jì)圖表問題，重要的是仔細(xì)觀看圖表，發(fā)覺實(shí)用信息和數(shù)據(jù)．對(duì)于頻率分布直方圖，應(yīng)注重圖中的每一個(gè)小矩形的面積是落在該區(qū)間上的頻率，全部小矩形的面積和為1，當(dāng)小矩形等高時(shí)，說明頻率相等，計(jì)算時(shí)不要漏掉其中一個(gè)．【思維點(diǎn)撥】

1．容易隨機(jī)抽樣特點(diǎn)是從總體中逐個(gè)抽?。m用范圍：總體中的個(gè)體較少．

2．系統(tǒng)抽樣特點(diǎn)是將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)章在各部分中抽?。m用范圍：總體中的個(gè)體數(shù)較多．

3．分層抽樣特點(diǎn)是將總體分成幾層，分層舉行抽?。m用范圍：總體由差異顯然的幾部分組成．4．利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)

利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時(shí)易出錯(cuò)，應(yīng)注重區(qū)別這三者．在頻率分布直方圖中：(1)最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；

(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．5.求回歸直線方程的關(guān)鍵

①正確理解計(jì)算^

^

,ab的公式和精確?????的計(jì)算．

②在分析實(shí)際中兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可按照樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)

(0.010.020.040.02)100.9+++?=[40,50)1001000.955-?-=[40,50)5

40020220

?

=

系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程估量和預(yù)測(cè)變量的值．6.自立性檢驗(yàn)的關(guān)鍵

①按照22?列聯(lián)表精確?????計(jì)算2K，若22?列聯(lián)表沒有列出來，要先列出此表．②2K的觀測(cè)值k越大，對(duì)應(yīng)假設(shè)大事0H成立的概率越小，0H不成立的概率越大．題型三概率、隨機(jī)變量及其分布

例1、“過大年，吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習(xí)俗．2022年春節(jié)前夕，市某質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取了100包某種品牌的速凍水餃，檢測(cè)其某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，

（1）求所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）①由直方圖可以認(rèn)為，速凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值聽從正態(tài)分布，利用該正態(tài)分布，求

落在內(nèi)的概率；

②將頻率視為概率，若某人從某超市購買了4包這種品牌的速凍水餃，記這4包速凍水餃中這種質(zhì)量指標(biāo)值位于內(nèi)的包數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

附：①計(jì)算得所抽查的這100包速凍水餃的質(zhì)量指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為；②若，則，．

【答案】(1)(2)（3）的分布列為

；．

【解析】（1）所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為

AxZ(

)2

,Nμσ

Z()14.55,38.45()10,30XX11.95σ=≈(

)2

~,ZNμσ

()0.6826PZμσμσ-??SAxyxyxyxAz,xy2

0.051.4zyx=--AAybxa∧∧∧=+122

1n

iiin

i

ixynxy

bxnx∧

==-=

=-∑∑()()()

1

2

1

n

i

i

ini

ixxyyxx==∑∑aybx∧

∧

=-0.850.6yx=+AA2

0.051.4zyx=--=20.050.850.8xx-+-A0.80.050.85ztxxx=

=--+800.0150.85xx?

?=-++??

?4x=tAA

3.某商場(chǎng)對(duì)商品30天的日銷售量y(件)與時(shí)光t(天)的銷售狀況舉行收拾，得到如下數(shù)據(jù)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，日銷售量y(件)與時(shí)光t(天)之間具有線性相關(guān)關(guān)系．

(1)請(qǐng)按照表中提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于t的線性回歸方程atby+=.(2)已知商品30天內(nèi)的銷售價(jià)格z(元)與時(shí)光t(天)的關(guān)系為,)

,200(,20)

,3020(,100??

?∈<<+∈≤≤+-=NtttNtttz按照(1)

中求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)t為何值時(shí)，商品的日銷售額最大．參考公式：2

1

21^

)(tnt

y

tny

tbn

ii

n

ii

i

--=

∑∑==，

tbya^

^-=.

【答案】(1)40^

+-=ty；(2)預(yù)測(cè)當(dāng)20=t時(shí)，商品的日銷售額最大，最大值為1600元．【解析】(1)按照題意，6)108642(51=++++?=

t，34)3033323738(5

1

=++++?=y，98030103383263743825

1

=?+?+?+?+?=∑=iiiyt，220228642222225

1

2

=++++=∑=iit，

所以回歸系數(shù)為16

52203465980)(2

2

1

21

^

-=?-??-=--=

∑∑==tnt

y

tny

tbn

ii

n

ii

i

，

406)1(34^

^=?--=-=tbya，

故所求的線性回歸方程為40^

+-=ty.（2）由題意得日銷售額為,,3020),40)(100(,200),40)(20(??

?∈≤≤+-+-∈<<+-+=N

ttttN

ttttL

當(dāng)Ntt∈<<,200時(shí)，900)10(80020)40)(20(2

2

+--=++-=+-+=tttttL，所以當(dāng);90010max==Lt時(shí)，

當(dāng)Ntt∈≤≤,3020時(shí)，900)70(4000140)40)(100(2

2

--=+-=+-+-=tttttL，所以當(dāng).160020max==Lt時(shí)，

綜上所述，預(yù)測(cè)當(dāng)20=t時(shí)，A商品的日銷售額最大，最大值為1600元.題型三概率、隨機(jī)變量及其分布

AAAA

1.在心理學(xué)討論中，常采納對(duì)照實(shí)驗(yàn)的辦法評(píng)價(jià)不同心理示意對(duì)人的影響，詳細(xì)辦法如下：將參與實(shí)驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理示意，另一組接受乙種心理示意，通過對(duì)照這兩組志愿者接受心理示意后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理示意的作用，現(xiàn)有6名男志愿者654321,,,,,AAAAAA和4名女志愿者

4321,,,BBBB，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理示意，另5人接受乙種心理示意.

（I）求接受甲種心理示意的志愿者中包含1A但不包含的頻率。

（II）用X表示接受乙種心理示意的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.【答案】（I）

(II)X的分布列為

X的數(shù)學(xué)期望是.

【解析】（I）記接受甲種心理示意的志愿者中包含1A但不包含1B的大事為M,則18

5

)(51048==CCMP；

(II)由題意知X可取的值為：4,3,2,1,0，則421

)0(51056===CCXP,215)1(5

101446===CCCXP,2110)2(5102436===CCCXP,215)3(5103426===CCCXP,42

1

)4(5104

416===CCCXP,

因此X的分布列為

X的數(shù)學(xué)期望是

=2.某市醫(yī)療保險(xiǎn)采取定點(diǎn)醫(yī)療制度，根據(jù)“就近就醫(yī)、便利管理”的原則，規(guī)定參與保險(xiǎn)人員可自主挑選

1B5

.18

2EX=0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EXPXPXPXPXPX=?=+?=+?=+?=+?=151********2.4221212142

?

+?+?+?+?=

四家醫(yī)療保險(xiǎn)定點(diǎn)醫(yī)院和一家社區(qū)醫(yī)院作為就診的醫(yī)療機(jī)構(gòu).若甲、乙、丙、丁4名參與保險(xiǎn)人員所在地區(qū)

附近有三家社區(qū)醫(yī)院，并且他們的挑選是等可能的、互相自立的.（1）求甲、乙兩人都挑選社區(qū)醫(yī)院的概率；（2）求甲、乙兩人不挑選同一家社區(qū)醫(yī)院的概率；

（3）設(shè)在4名參與保險(xiǎn)人員中挑選社區(qū)醫(yī)院的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望及方差.

【答案】(1)

；(2)；(3)答案見解析.【解析】（1）設(shè)“甲、乙兩人都挑選社區(qū)醫(yī)院”為時(shí)光A,那么9

1

3131)(=?=AP,所以甲、乙兩人都挑選社區(qū)醫(yī)院的概率為

.(2)設(shè)“甲、乙兩人挑選同一家社區(qū)醫(yī)院”為大事B，那么3

1

3131)(1

3=?

?=CBP,所以甲、乙兩人不挑選同一家社區(qū)醫(yī)院的概率3

2

)(1)(=

-=BPBP.依題意)3

1,4(~B