第一章運動的描述勻變速直線運動專題強化二追及相遇問題【目標(biāo)要求】1.掌握處理追及相遇問題的方法和技巧.2.會用圖象分析追及相遇問題.3.會熟練運用運動學(xué)公式結(jié)合運動圖象解決追及相遇的綜合問題.題型一追及相遇問題題型二圖象法在追及相遇問題中的應(yīng)用課時精練內(nèi)容索引NEIRONGSUOYIN題型一追及相遇問題貳1.分析思路可概括為“一個臨界條件”“兩個等量關(guān)系”.(1)一個臨界條件：速度相等.它往往是物體間能否追上或兩者距離最大、最小的臨界條件，也是分析、判斷問題的切入點；(2)兩個等量關(guān)系：時間等量關(guān)系和位移等量關(guān)系，通過畫草圖找出兩物體的位移關(guān)系是解題的突破口.2.能否追上的判斷方法(臨界條件法)物體B追趕物體A：開始時，兩個物體相距x0，當(dāng)vB＝vA時，若xB>xA＋x0，則能追上；若xB＝xA＋x0，則恰好追上；若xB<xA＋x0，則不能追上.3.特別提醒若被追趕的物體做勻減速直線運動，一定要注意判斷被追上前該物體是否已經(jīng)停止運動.4.常用分析方法(1)物理分析法：抓住“兩物體能否同時到達空間某位置”這一關(guān)鍵，認真審題，挖掘題目中的隱含條件，建立物體運動關(guān)系的情境圖.(2)二次函數(shù)法：設(shè)相遇時間為t，根據(jù)條件列方程，得到關(guān)于位移x與時間t的二次函數(shù)關(guān)系，由此判斷兩物體追及或相遇情況.①若Δ>0，即有兩個解，說明可以相遇兩次；②若Δ＝0，說明剛好追上或相遇；③若Δ<0，說明追不上或不能相遇.(3)極值法設(shè)經(jīng)過時間t，分別列出兩物體的位移—時間關(guān)系式，得位移之差Δx與時間的二次函數(shù)，再利用數(shù)學(xué)極值法求解距離的最大(或最小)值.(4)圖象法：將兩個物體運動的速度—時間關(guān)系圖線在同一圖象中畫出，然后利用圖象分析、求解相關(guān)問題.例1

一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以a＝3m/s2的加速度開始加速行駛，恰在這時一輛自行車以v＝6m/s的速度勻速駛過，從后邊超過汽車.則汽車從路口啟動后，在追上自行車之前經(jīng)過多長時間兩車相距最遠？此時兩車的距離是多少？答案2s

6m解法二(極值法)：設(shè)汽車在追上自行車之前經(jīng)過時間t兩車相距最遠，解析解法一(分析法)：汽車與自行車的速度相等時相距最遠，設(shè)此時經(jīng)過的時間為t，兩車間的距離為Δx，則有v＝at由圖可以看出，在相遇前，t1時刻兩車速度相等，兩車相距最遠，此時的距離為陰影三角形的面積，由二次函數(shù)求極值的條件知：t＝2s時，Δx有最大值6m所以t＝2s時兩車相距最遠，為Δx＝6m.解法三(圖象法)：自行車和汽車的v－t圖象如圖所示，假設(shè)物體A追物體B，開始時，兩個物體相距x0，有兩種典型情況：(1)初速度小的勻加速運動的物體A追勻速運動的物體B，當(dāng)vA＝vB時，二者相距最遠.(2)初速度大的勻減速運動的物體A追勻速運動的物體B，當(dāng)vA＝vB時，①若已超越，則相遇兩次.②若恰好追上，則相遇一次.③若沒追上，則無法相遇.方法總結(jié)追及與相遇問題的兩種典型情況例2

(2020·甘肅城關(guān)市蘭州一中高三月考)A、B兩車在同一直線上向右勻速運動，B車在A車前，A車的速度大小為v1＝8m/s，B車的速度大小為v2＝20m/s，如圖1所示.當(dāng)A、B兩車相距x0＝28m時，B車因前方突發(fā)情況緊急剎車(剎車過程可視為勻減速直線運動)，加速度大小為a＝2m/s2，從此時開始計時，求：(1)A車追上B車之前，兩者相距的最大距離；答案64m

圖1解析當(dāng)A、B兩車速度相等時，相距最遠，根據(jù)速度關(guān)系得：v1＝v2－at1代入數(shù)據(jù)解得：t1＝6s此時，根據(jù)位移時間的關(guān)系得：xA1＝v1t1Δxm＝xB1＋x0－xA1代入數(shù)據(jù)解得：Δxm＝64m(2)A車追上B車所用的時間；答案16s

此時：xA2＝v1t0＝80m則：xA2＜x0＋xB2，故所用總時間為：t＝t0＋t2＝16s(3)從安全行駛的角度考慮，為避免兩車相撞，在題設(shè)條件下，A車在B車剎車的同時也應(yīng)剎車的最小加速度.答案0.25m/s2解析A車剎車減速至0時剛好追上B車時，加速度最小代入數(shù)據(jù)解得：aA＝0.25m/s2.1.(避碰問題)(2020·山東煙臺市模擬)一汽車在直線公路段上以54km/h的速度勻速行駛，突然發(fā)現(xiàn)在其正前方14m處有一輛自行車以5m/s的速度同向勻速行駛.經(jīng)過0.4s的反應(yīng)時間后，司機開始剎車，則：(1)為了避免相撞，汽車的加速度大小至少為多少？跟進訓(xùn)練12答案5m/s2

12解析設(shè)汽車的加速度大小為a，初速度v汽＝54km/h＝15m/s，初始距離d＝14m在經(jīng)過反應(yīng)時間0.4s后，汽車與自行車相距d′＝d－(v汽－v自)t0＝10m從汽車剎車開始計時，自行車的位移為：x自＝v自t假設(shè)汽車能追上自行車，此時有：x汽＝x自＋d′12要保證不相撞，即此方程至多只有一個解，即得：Δ＝102－20a≤0，解得：a≥5m/s2.汽車的加速度至少為5m/s2.(2)若汽車剎車時的加速度大小只有4m/s2，在汽車開始剎車的同時自行車開始以一定的加速度勻加速行駛，則自行車的加速度至少為多大才能保證兩車不相撞？12答案1m/s212解析設(shè)自行車加速度為a′，同理可得：x汽′＝x自′＋d′要保證不相撞，即此方程至多只有一個解，即得：Δ′＝102－20a′－80≤0解得：a′≥1m/s2.自行車的加速度至少為1m/s2.2.(體育賽事中的追及問題)2019世界田徑接力賽男子4×100米接力賽，冠軍被巴西隊以38秒05獲得.如圖2所示，這是某一次接力訓(xùn)練.已知甲、乙兩運動員經(jīng)短距離加速后都能達到并保持10m/s的速度跑完全程.設(shè)乙從起跑后到接棒前的運動是勻加速運動，加速度大小為3m/s2.乙在接力區(qū)前端聽到口令時起跑，在甲、乙相遇時完成交接棒.在某次練習(xí)中，甲以v＝10m/s的速度跑到接力區(qū)前端s0＝14.0m處向乙發(fā)出起跑口令.已知接力區(qū)的長度為L＝20m.圖212(1)求此次練習(xí)中交接棒處離接力區(qū)前端(即乙出發(fā)的位置)的距離.答案6m

12解析設(shè)乙加速到交接棒時運動時間為t，(2)為了達到理想成績，需要乙恰好在速度達到與甲相同時被甲追上，則甲應(yīng)在接力區(qū)前端多遠時對乙發(fā)出起跑口令？12答案16.7m

12設(shè)甲在距離接力區(qū)前端為s時對乙發(fā)出起跑口令代入數(shù)據(jù)得：s≈16.7m(3)在(2)中，棒經(jīng)過接力區(qū)的時間是多少？12答案2s解析棒在(2)情形下以v＝10m/s的速度運動，題型二圖象法在追及相遇問題中的應(yīng)用壹1.根據(jù)兩個物體的v－t圖象分析追及相遇問題：(1)利用圖象中斜率、面積、交點的含義進行定性分析或定量計算.(2)有時將運動圖象還原成物體的實際運動情況更便于理解.2.根據(jù)兩個物體的運動狀態(tài)作出v－t圖象，再分析解答問題.根據(jù)物體在不同階段的運動情況，分階段畫出v－t圖象，再通過定量計算分析得出結(jié)果.利用v－t圖象分析追及相遇問題更直觀、簡捷.例3

(多選)(2016·全國卷Ⅰ·21)甲、乙兩車在平直公路上同向行駛，其v－t圖像如圖3所示.已知兩車在t＝3s時并排行駛，則A.在t＝1s時，甲車在乙車后B.在t＝0時，甲車在乙車前7.5mC.兩車另一次并排行駛的時刻是t＝2sD.甲、乙車兩次并排行駛的位置之間沿

公路方向的距離為40m√圖3√解析根據(jù)v－t圖像知，甲、乙兩車都沿正方向運動.t＝3s時，甲、乙兩車并排行駛，此時v甲＝30m/s，v乙＝25m/s，由v－t圖線與時間軸所圍“面積”對應(yīng)位移知，故t＝0時，甲、乙兩車相距Δx1＝x乙－x甲＝7.5m，即甲車在乙車前方7.5m，選項B正確；Δx2＝x乙′－x甲′＝7.5m＝Δx1，說明在t＝1s時甲、乙兩車第一次并排行駛，選項A、C錯誤；甲、乙兩車兩次并排行駛的位置之間的距離為x＝x甲－x甲′＝45m－5m＝40m，選項D正確.例4

(2020·河北石家莊市模擬)在水平直軌道上有兩列火車A和B相距x，A車在后面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運動，B車同時做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運動，兩車運動方向相同.要使兩車不相撞，求A車的初速度v0應(yīng)滿足什么條件？(請用臨界法與圖象法分別分析解題)答案見解析解析方法一圖象法利用v－t圖象求解，先作出A、B兩車的v－t圖象，如圖所示.設(shè)經(jīng)過t時間兩車剛好不相撞，則對A車有vA＝v′＝v0－2at對B車有vB＝v′＝at經(jīng)時間t兩車的位移之差為原來兩車間距離x，它可用圖中的陰影面積表示，由圖象可知方法二臨界條件法兩車不相撞的臨界條件是，A車追上B車時其速度與B車相等.設(shè)從A、B兩車相距x到A車追上B車時，A車的位移為xA、末速度為vA、所用時間為t；B車的位移為xB、末速度為vB，運動過程如圖所示.由兩車位移關(guān)系有x＝xA－xB追上時，兩車不相撞的臨界條件是vA＝vB課時精練貳1.(多選)(2018·全國卷Ⅱ·19)甲、乙兩汽車在同一條平直公路上同向運動，其速度—時間圖像分別如圖1中甲、乙兩條曲線所示.已知兩車在t2時刻并排行駛.下列說法正確的是A.兩車在t1時刻也并排行駛B.在t1時刻甲車在后，乙車在前C.甲車的加速度大小先增大后減小D.乙車的加速度大小先減小后增大123456789√10雙基鞏固練圖1√123456789解析t1～t2時間內(nèi)，甲車位移大于乙車位移，且t2時刻兩車并排行駛，則t1時刻甲在乙的后面，A項錯誤，B項正確；由題圖圖像的斜率知，甲、乙兩車的加速度大小均先減小后增大，C項錯誤，D項正確.102.(2020·廣東深圳市第一次調(diào)研)可視為質(zhì)點的甲、乙兩小車分別沿同一平直路面同向行駛，t＝0時，甲在乙前方16m處，它們的v－t圖象如圖2所示，則下列說法正確的是A.甲、乙在t＝2s和t＝10s時刻并排行駛B.甲、乙在t＝4s和t＝8s時刻并排行駛C.在t＝6s時刻，乙車在甲車前8m處D.在t＝6s時刻，乙車在甲車前18m處圖2√1234567891012345678910解得t1＝4s，t2＝8s，即甲、乙在t＝4s和t＝8s時刻并排行駛，選項A錯誤，B正確.12345678910可知此時乙在甲的前面，Δx＝x2－x1－s0＝54m－36m－16m＝2m，選項C、D錯誤.在t＝6s時，甲的位移：x1＝×2×62m＝36m；3.(2020·湖南永州市高三三模)在某個惡劣天氣中，能見度很低，甲、乙兩汽車在一條平直的單行道上，甲在前、乙在后同向行駛.某時刻兩車司機聽到前方有事故發(fā)生的警笛提示，同時開始剎車，兩車剎車后的v－t圖象如圖3所示，下列說法正確的是A.甲車的加速度大于乙車的加速度B.若t＝24s時兩車未發(fā)生碰撞，則

此時兩車相距最遠C.為避免兩車發(fā)生碰撞，開始剎車時兩車的間距至少為48mD.若兩車發(fā)生碰撞，則可能是在開始剎車24s以后的某時刻發(fā)生的√12345678910圖312345678910所以甲車的加速度小于乙車的加速度，故A錯誤；t＝24s時，兩車速度相等，開始時，甲在前、乙在后同向行駛，所以若t＝24s時兩車未發(fā)生碰撞，則此時兩車相距最近，故B錯誤；12345678910兩者位移之差Δx＝x2－x1＝48m所以為避免兩車發(fā)生碰撞，開始剎車時兩車的間距至少為48m，故C正確；t＝24s時，兩車速度相等，若兩車速度相等時沒有相撞，則速度相等后，甲車的速度比乙車的大，兩車不可能相撞，故D錯誤.4.(多選)(2020·河北衡水中學(xué)高三月考)甲、乙兩物體從同一地點同時開始做直線運動的v－t圖象如圖4所示.根據(jù)圖象提供的信息可知A.6s末乙追上甲B.在乙追上甲之前，甲、乙相距最遠為10mC.8s末甲、乙兩物體相遇，且離出發(fā)點32mD.在0～4s內(nèi)與4～6s內(nèi)甲的平均速度相等圖412345678910√√12345678910123456789105.(2020·江西重點中學(xué)協(xié)作體第一次聯(lián)考)甲、乙兩車在平直公路上沿同一方向做直線運動，t＝0時刻，甲車在乙車前20m處，它們的v－t圖象如圖5所示，下列說法正確的是A.甲車啟動的加速度大于乙車啟動的加速度B.甲車啟動15s時，乙車落后甲車的距離最大C.乙車啟動時，甲在乙車前方50mD.t＝25s時，乙車正好追上甲車123456789√10圖5解析由v－t圖象斜率表示加速度可知，甲車啟動時的加速度小于乙車啟動時的加速度，A錯誤；10～15s時間內(nèi)，乙車在后，較慢，甲車在前，較快，在t＝15s時，兩車速度相等，則此時兩車距離最大，B正確；12345678910t＝10s時，乙車啟動，在0～10s內(nèi)，通過v－t圖象中圖線與時間軸所圍“面積”表示位移可得，甲車的位移x甲＝×10×10m＝50m，t＝0時兩車相距20m，故乙車啟動時兩車相距(50＋20)m＝70m，故C錯誤；123456789100～25s內(nèi)，甲車的總位移：x甲′＝50m＋10×(25－10)m＝200m，乙車運動的總位移：x乙′＝×10×20m＋20×(25－20)m＝200m，此時x甲′＋20m>x乙′，甲車在乙車的前方，故D錯誤.6.(2019·廣東中山市模擬)甲、乙兩車從同一地點沿相同方向由靜止開始做直線運動，它們運動的加速度隨時間變化圖象如圖6所示.關(guān)于兩車的運動情況，下列說法正確的是A.在0～4s內(nèi)，甲車做勻加速直線運動，乙車做勻減速直線運動B.在0～2s內(nèi)，兩車間距逐漸增大，2～4s內(nèi)兩車間

距逐漸減小C.在t＝2s時，甲車的速度為3m/s，乙車的速度為

4.5m/sD.在t＝4s時，甲車恰好追上乙車12345678910√圖6能力提升練解析根據(jù)題圖圖象可知，在0～4s內(nèi)，甲車做勻加速直線運動，乙車做加速度逐漸減小的加速直線運動，故A錯誤；12345678910加速度—時間圖象的圖線與時間軸所圍的面積表示速度的變化量，當(dāng)t＝4s時，兩圖線與t軸所圍的面積相等，即該時刻兩輛車的速度相等，此時兩車的間距最大，故B、D錯誤；7.(2020·河南高三二模)自動駕駛汽車依靠人工智能、雷達，監(jiān)控裝置和全球定位系統(tǒng)協(xié)同合作，讓電腦可以在沒有任何人操作的情況下，自動安全地操作機動車輛.如圖7所示，某平直公路上一輛自動駕駛汽車正以v1＝40km/h的速度勻速行駛，某時刻其右前方一小狗以v2＝5m/s的速度垂直車道方向勻速跑入公路，當(dāng)汽車傳感器探測到小狗時，小狗到汽車右側(cè)所在直線的距離L1＝5m，到汽車前沿所在直線的距離L2＝8m.已知汽車的車長d1＝5m、車寬d2＝2m，汽車加速時的加速度大小a1＝4m/s2，剎車時的加速度大小a2＝5m/s2.為了避免與小狗發(fā)生碰撞，汽車的自動駕駛系統(tǒng)該作出的正確判斷是圖712345678910A.汽車應(yīng)保持原速通過B.汽車應(yīng)剎車減速C.汽車應(yīng)加速通過D.不論汽車是加速還是剎車均不能避免與小狗發(fā)生碰撞12345678910√12345678910汽車的速度v1＝40km/h≈11.1m/s，若保持原速行駛，則在t1時間內(nèi)的位移為x1＝v1t1＝11.1m因為L2＋d1>x1>L2則小狗會與車相撞，選項A錯誤；則汽車也會與小狗相撞，選項B錯誤；12345678910若汽車加速通過，則在t1＝1s內(nèi)的位移則可避免車與小狗相撞，選項C正確，選項D錯誤.8.在一大霧天，一輛小汽車以30m/s的速度行駛在高速公路上，突然發(fā)現(xiàn)正前方30m處有一輛大卡車以10m/s的速度同方向勻速行駛，小汽車緊急剎車，剎車過程中剎車失靈.如圖8a、b分別為小汽車和大卡車的v－t圖線，以下說法正確的是A.因剎車失靈前小汽車已減速，故不會追尾B.在t＝5s時追尾C.在t＝3s時追尾D.由于初始距離太近，即使剎車不失靈也會追尾123456789√10圖812345678910解析根據(jù)v－t圖線與時間軸所圍“面積”表示位移可知，兩車速度相等時(t＝5s)，小汽車相對于大卡車的位移為35m>30m，所以會追尾，選項A錯誤；在t＝3s時，小汽車相對于大卡車的位移等于30m，此時發(fā)生追尾，選項C正確，B錯誤；若剎車不失靈，在t＝2s時兩車速度相等，小汽車相對于大卡車的位移等于20m，小于開始時的距離30m，所以剎車不失靈時不會追尾，選項D錯誤.9.(2020·廣東汕頭市質(zhì)檢)某一長直的賽道上，一輛F1賽車前方200m處有一安全車正以10m/s的速度勻速前進，這時賽車從靜止出發(fā)以2m/s2的加速度追趕.(1)求賽車出發(fā)3s末的瞬時速度大??；12345678910答案6m/s

解析賽車3s末的速度v1＝