1.4角平分線（第1課時(shí)）北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)如圖，要在S區(qū)建一個(gè)貿(mào)易市場(chǎng)，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處？（比例尺為1︰20000）DCS解：作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm,D即為所求.O導(dǎo)入新知1.會(huì)敘述角平分線的性質(zhì)定理及判定定理.2.能利用三角形全等，證明角平分線的性質(zhì)定理，并理解和掌握定理及其逆定理.素養(yǎng)目標(biāo)3.能夠應(yīng)用這兩個(gè)定理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.探究新知知識(shí)點(diǎn)1角平分線的性質(zhì)定理操作測(cè)量：取點(diǎn)P的三個(gè)不同的位置，分別過點(diǎn)P作PD⊥OA，PE⊥OB,點(diǎn)D、E為垂足，測(cè)量PD、PE的長(zhǎng).將三次數(shù)據(jù)填入下表：

觀察測(cè)量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)論：_____

PD

PE

第一次第二次第三次

COBAPD=PEPDE實(shí)驗(yàn)：OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是射線OC上的任意一點(diǎn).猜想：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.已知：如圖，∠AOC=∠BOC,點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D,E.求證：PD=PE.驗(yàn)證猜想：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.PAOBCDE證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.探究新知角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.角平分線的性質(zhì)定理結(jié)論應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離.BADOPEC定理的作用：

證明線段相等.探究新知幾何語言：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE.推理的理由有三個(gè)，必須寫完全，不能少了任何一個(gè).PD⊥OA,PE⊥OB，探究新知BADOPEC角平分線的性質(zhì)定理素養(yǎng)考點(diǎn)1

探究新知已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證：EB=FC.例ABCDEF證明：∵AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.鞏固練習(xí)變式訓(xùn)練如圖，AM是∠BAC的平分線，點(diǎn)P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=______cm.BACPMDE4知識(shí)點(diǎn)2角平分線的判定定理PAOBCDE角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．思考：交換角平分線性質(zhì)中的已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論？這個(gè)新結(jié)論正確嗎？角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.思考：這個(gè)結(jié)論正確嗎？逆命題探究新知角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．已知：如圖，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，且PD=PE.求證：OP平分∠AOB.驗(yàn)證：BADOPE探究新知證明：

∴OP平分∠AOB.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.

OP=OP（公共邊），PD=PE（已知），∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOPBADOPE探究新知在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.角平分線的判定定理結(jié)論應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊的距離相等.BADOPEC定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角平分線上.探究新知幾何語言：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.探究新知圖形已知條件結(jié)論P(yáng)CPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分線的判定角的平分線的性質(zhì)總結(jié)：角平分線的判定定理素養(yǎng)考點(diǎn)探究新知如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，求DE的長(zhǎng).例ABCDEF解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，∴

AD平分∠BAC.又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°，∴DE=AD=.在Rt△ADE

中，∠AED=90°，AD=10，鞏固練習(xí)變式訓(xùn)練如圖所示，在△ABC中，AD是BC邊的中線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且BE＝CF.求證：DA平分∠EDF.證明：證法1：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD.在Rt△BED和Rt△CFD中，∵BD＝CD，BE＝CF，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴DE＝DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分線，即∠EAD＝∠FAD.又∵∠ADE＝90°－∠EAD，∠ADF＝90°－∠FAD，∴∠ADE＝∠ADF，即DA平分∠EDF.

證法2：同證法1，可得Rt△BED≌Rt△CFD.∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.又∵BE＝CF，∴AE＝AF.又∵AE⊥DE，AF⊥DF，

∴DA平分∠EDF.鞏固練習(xí)連接中考（2020·湘潭）如圖，點(diǎn)P是∠AOC的角平分線上一點(diǎn)，PD⊥OA，垂足為點(diǎn)D，且PD=3，點(diǎn)M是射線OC上一動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值為

.31.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD是∠CAB的平分線,DE⊥AB于E,AB=a,CD=m,則AC的長(zhǎng)為________.

a-m課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題2.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于點(diǎn)D,AB=10,S△ABD=15,則CD的長(zhǎng)為 (

)AA.3 B.4 C.5 D.6課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題3.如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的高,AE,BF分別是∠BAC,∠ABC的平分線,∠BAC=50°,∠ABC=60°,則∠EAD+∠ACD=(

)A.75°

B.80° C.85°D.90°A課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題4.如圖所示,在△ABC中,P為BC上一點(diǎn),PR⊥AB,垂足為R,PS⊥AC,垂足為S,AQ=PQ,PR=PS.下面三個(gè)結(jié)論:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.正確的是(

)A.①和② B.②和③C.①和③ D.全對(duì)A課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題1、如圖,BD是∠ABC的平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,△ABC的面積是30cm2,AB=18cm,BC=12cm,則DE=______cm.2課堂檢測(cè)能力提升題2、如圖,△ABC的兩條外角平分線AP,CP相交于點(diǎn)P,PH⊥AC于H;如果∠ABC=60°,則下列結(jié)論:①∠ABP=30°;②∠APC=60°;③PB=2PH;④∠APH=∠BPC,其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是

(

)A.1

B.2 C.3

D.4D課堂檢測(cè)能力提升題如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4,AB=14.

(1)則點(diǎn)P到AB的距離為_______.4ABCPD課堂檢測(cè)拓廣探索題解：由角平分線的性質(zhì)，可知，PD=PC