一.動(dòng)量矩(角動(dòng)量)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩§6.3

動(dòng)量矩和動(dòng)量矩守恒定律力矩對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)?AO.xyzh其大小三角形的面積的2倍質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩的分量形式(1)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩取決于質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量位矢—取決于固定點(diǎn)的選擇說明(2)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)某參考點(diǎn)O的動(dòng)量矩也稱為質(zhì)點(diǎn)對(duì)過O垂直于運(yùn)動(dòng)平面的軸的動(dòng)量矩O當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)只有兩個(gè)取向特例：質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)視為代數(shù)量動(dòng)量矩隨參考點(diǎn)而變OS(3)與力矩類似質(zhì)點(diǎn)對(duì)某點(diǎn)的動(dòng)量矩,在通過該點(diǎn)的任意軸上的投影就等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸的動(dòng)量矩例一質(zhì)點(diǎn)m，速度為v，如圖所示，此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)對(duì)三個(gè)參考點(diǎn)的動(dòng)量矩md1d2

d3ABC解A、B、C分別為三個(gè)參考點(diǎn),此時(shí)m相對(duì)三個(gè)點(diǎn)的距離分別為d1、d2、

d3求(質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的積分形式)(質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的微分形式)質(zhì)點(diǎn)所受合力矩的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩的增量2.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理說明(1)沖量矩是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩變化的原因(2)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩的變化是力矩對(duì)時(shí)間的積累結(jié)果3.質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒定律──質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒定律(2)守恒條件討論(1)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理適合于慣性系中一個(gè)固定參考點(diǎn)

(3)動(dòng)量矩是否守恒與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)太陽(yáng)(5)開普勒第一定律質(zhì)點(diǎn)僅受一個(gè)來自于固定點(diǎn)的引力或斥力有心力質(zhì)點(diǎn)將被限制在與動(dòng)量矩的作用，垂直的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。例:行星軌跡(橢圓)(4)常用于解決單擺運(yùn)動(dòng)、行星運(yùn)動(dòng)由太陽(yáng)到行星的矢徑，在相同的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積MM

開普勒第二定律(6)證明：一個(gè)做勻速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩保持不變Oh例證當(dāng)飛船靜止于空間距行星中心4R

時(shí)，以速度v

0發(fā)射一

求

θ角及著陸滑行的初速度多大？解引力場(chǎng)(有心力)質(zhì)點(diǎn)的對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒系統(tǒng)的機(jī)械能守恒例

發(fā)射一宇宙飛船去考察一質(zhì)量為M

、半徑為R的行星，質(zhì)量為

m的儀器。要使該儀器恰好掠過行星表面三.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理和動(dòng)量矩守恒定律

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩剛體上任一質(zhì)點(diǎn)對(duì)Z軸的動(dòng)量矩都具有相同的方向轉(zhuǎn)動(dòng)定律O所有質(zhì)元的動(dòng)量矩之和動(dòng)量矩定理LZ當(dāng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩守恒定律比較注意碰撞過程中，可以忽略重力(1)

變形體繞某軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若其上各點(diǎn)(質(zhì)元)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同，則變形體對(duì)該軸的動(dòng)量矩說明當(dāng)變形體所受合外力矩為零時(shí)，變形體的動(dòng)量矩也守恒如：花樣滑冰跳水芭蕾舞等貓習(xí)慣于在陽(yáng)臺(tái)上睡覺，因而從陽(yáng)臺(tái)上掉下來的事情時(shí)有發(fā)生。長(zhǎng)期的觀察表明貓從高層樓房的陽(yáng)臺(tái)掉到樓外的人行道上時(shí)，受傷的程度將隨高度的增加而減少，據(jù)報(bào)導(dǎo)有只貓從32層樓掉下來也僅僅只有胸腔和一顆牙齒有輕微的損傷。為什么會(huì)這樣呢？(2)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體系當(dāng)如：人站在轉(zhuǎn)臺(tái)上，用手撥動(dòng)輪子，則轉(zhuǎn)臺(tái)會(huì)向相反的方向轉(zhuǎn)動(dòng)因?yàn)椋簝?nèi)力矩只能改變物體系內(nèi)各物體的動(dòng)量矩，但不能改變物體的總動(dòng)量矩有一轉(zhuǎn)臺(tái)，MRω初始的角速度為ω0有一個(gè)人站在轉(zhuǎn)臺(tái)的中心，mu以相對(duì)于轉(zhuǎn)臺(tái)的恒定速度u沿半徑向邊緣走去，人走了t時(shí)間后，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)過的角度例解求人和轉(zhuǎn)臺(tái)組成的系統(tǒng)不受對(duì)豎直軸的外力矩選(人和轉(zhuǎn)臺(tái))為系統(tǒng)因此，系統(tǒng)對(duì)豎直軸的動(dòng)量矩守恒在時(shí)間t內(nèi)，人走到距轉(zhuǎn)臺(tái)中心的距離為一飛輪如圖，ωMR某一瞬時(shí)有一質(zhì)量為m的碎片從飛輪的邊緣飛出，且速度方向正好豎直向上。忽略重力矩的影響例解求(1)碎片能上升的最大高度(2)余下部分的角速度，角動(dòng)量，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能碎片離盤時(shí)的初速度為(1)所以碎片能上升的最大高度為(2)由碎片和余下部分組成的系統(tǒng),在碎片離盤的前后不受對(duì)轉(zhuǎn)軸的外力矩的作用系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒角動(dòng)量為轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為一質(zhì)量為M，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)直桿，可繞通過其中心O且與桿垂直的光滑水平固定軸，在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)量為m的子彈沿水平方向射入桿的下端且留在桿內(nèi)，并使桿擺動(dòng)，若桿擺動(dòng)的最大偏角為θO(1)子彈入射前的速度v0(2)最大偏角θ時(shí)，桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度

例解求選(子彈+桿)為研究對(duì)象該系統(tǒng)在子彈入射前后對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量守恒桿上擺的過程中，僅有重力矩作功，機(jī)械能守恒(1)(2)一長(zhǎng)為

l

的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞通過中心的固定水平軸在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)桿靜止于水平位置。一質(zhì)量與桿相同的昆蟲以速度

v0

垂直落到距點(diǎn)

O

l/4

處的桿上，昆蟲落下后立即向桿的端點(diǎn)爬行，如圖所示。若要使桿以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)Or昆蟲落到桿上的過程為完全非彈性碰撞,例解求

昆蟲沿桿爬行的速度。作用時(shí)間短，可以忽略重力的矩對(duì)于昆蟲和桿構(gòu)成的系統(tǒng)，合外力矩為零，動(dòng)量矩守恒此后桿以此角速度作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。使桿以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)代入得轉(zhuǎn)動(dòng)定律其中rO旋進(jìn)(進(jìn)動(dòng)，precession)高速旋轉(zhuǎn)的物體其自轉(zhuǎn)軸在空間轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象。定義:O例:

回轉(zhuǎn)儀、陀螺為什么有此現(xiàn)象?分析如下:O使得下一時(shí)刻的動(dòng)量矩的矢量也在水平面內(nèi)，所以自轉(zhuǎn)軸就不會(huì)向下傾斜了。而是向后偏轉(zhuǎn)了，繼續(xù)不斷的偏轉(zhuǎn)就形成了自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。結(jié)論進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象正是自旋的物體在外力矩的作用下沿外力矩的方向