積分變換雙側(cè)拉普拉斯變換01公式概念與傅氏變換的關(guān)系發(fā)展歷史應(yīng)用領(lǐng)域定理目錄030204基本信息雙側(cè)拉普拉斯變換（bilateralLaplacetransformation）是一種積分變換，作用對(duì)象是任意實(shí)數(shù)t的實(shí)數(shù)函數(shù)或是復(fù)變函數(shù)f(t)，作用結(jié)果是F(s)，其形式類似機(jī)率中的動(dòng)差生成函數(shù)，雙邊拉普拉斯變換和傅立葉變換、Mellin變換及單邊的拉普拉斯變換有緊密的關(guān)系。公式概念公式概念拉普拉斯變換是對(duì)于t>=0函數(shù)值不為零的連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)通過(guò)關(guān)系式

(式中st為自然對(duì)數(shù)底e的指數(shù))變換為復(fù)變量s的函數(shù)X(s)。它也是時(shí)間函數(shù)x(t)的“復(fù)頻域”表示方式。據(jù)此，在“電路分析”中，元件的伏安關(guān)系可以在復(fù)頻域中進(jìn)行表示，即電阻元件：V=RI,電感元件：V=sLI,電容元件：I=sCV。如果用電阻R與電容C串聯(lián)，并在電容兩端引出電壓作為輸出，那么就可用“分壓公式”得出該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為H(s)=(1/RC)/(s+(1/RC))，于是響應(yīng)的拉普拉斯變換Y（s）就等于激勵(lì)的拉普拉斯變換X（s）與傳遞函數(shù)H（s）的乘積，即Y(s)=X(s)H(s)如果定義：f(t)是一個(gè)關(guān)于t的函數(shù)，使得當(dāng)t<0時(shí)候，f(t)=0；s是一個(gè)復(fù)變量；F(s)是f(t)的拉普拉斯變換結(jié)果。拉普拉斯逆變換，是已知F(s)'求解f(t)的過(guò)程。拉普拉斯變換公式拉普拉斯逆變換的公式對(duì)于所有的t>0，c'是收斂區(qū)間的橫坐標(biāo)值，是一個(gè)實(shí)常數(shù)且大于所有F(s)'的個(gè)別點(diǎn)的實(shí)部值。為簡(jiǎn)化計(jì)算而建立的實(shí)變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。發(fā)展歷史發(fā)展歷史法國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家拉普拉斯(1749─1827年)，主要研究天體力學(xué)和物理學(xué)。他認(rèn)為數(shù)學(xué)只是一種解決問(wèn)題的工具，但在運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)創(chuàng)造和發(fā)展了許多新的數(shù)學(xué)方法。1812年拉普拉斯在《概率的分析理論》中總結(jié)了當(dāng)時(shí)整個(gè)概率論的研究，論述了概率在選舉、審判調(diào)查、氣象等方面的應(yīng)用，并導(dǎo)入“拉普拉斯變換”。拉普拉斯變換導(dǎo)致了后來(lái)海維塞德發(fā)現(xiàn)運(yùn)算微積分在電工理論中的應(yīng)用。

與傅氏變換的關(guān)系與傅氏變換的關(guān)系f(t)的雙邊拉普拉斯變換其實(shí)就是

的傅氏變換。如果雙邊拉普拉斯變換式的收斂域包括虛軸在內(nèi)，則把F(s)中的s代換成jw就得到f(t)的傅氏變換，即有：故可以把傅氏變換看成雙邊拉氏變換的特例，或雙邊拉氏變換是傅氏變換的推廣。應(yīng)用領(lǐng)域定理應(yīng)用領(lǐng)域定理有些情形下一個(gè)實(shí)變量函數(shù)在實(shí)數(shù)域中進(jìn)行一些運(yùn)算并不容易，但若將實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來(lái)求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果。

在經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。引入拉普拉斯變換的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)，是可采用傳遞函數(shù)代替常系數(shù)微分方程來(lái)描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡(jiǎn)便的圖解方法來(lái)確定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，以及提供控制系統(tǒng)調(diào)整的可能性。應(yīng)用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方程化為代數(shù)方程，使問(wèn)題得以解決。在工程