一題多解一題多變（七）題型一：一題多解例題：設(shè)a+lga=10，b+10b=10，求a+b的值。解法一（結(jié)構(gòu)函數(shù)）設(shè)f(x)=x+lgx，則f()blgbb(b)，由于f(x)在(0,+∞上是a=10=b+10=10+10=f10)單一遞增函數(shù)，所以a=10b，故a+b=10b+b=10。解法二（圖象法）因?yàn)閍是方程x+lgx=10的一個(gè)根，也就是方程lgx=10-x的一個(gè)根b是方程x+10x=10的一個(gè)根，也就是方程10x=10-x的一個(gè)根令g(x)=lgx，h(x)=10x，Φ(x)=10-x，在同一坐標(biāo)系中作出他們的圖象，如下圖：108642-5B5AC10Aa是方程g(x)=Φ(x)的根，即圖中aOA=b是方程h(x)=Φ(x)的根，即圖中OB=b易得OAOB=10，所以a+b=10解法三：方程x+lgx=10，x+10x=10的根為a，b由x+10x=10，得10x=10-x，x=lg(10-x)，又x+lgx=10∴l(xiāng)g(10-x)+lgx=10，即x(10-x)=1010，即x2-10x+1010=0x1+x2=10(虛根<0)題型二：一題多變（）若則x1+x2f(x1)+f(x2)2證明：2(2)若f(x)=x2+ax+b,則f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2)22變題1：如下圖，f(xi)(i=1,2,3,4)是定義在[0，1]上的四個(gè)函數(shù)，其中知足性質(zhì)：“對[0，1]中的隨意的x1,x2，隨意[0,1],f[x1(1)x2]f(x1)(1)f(x2)恒建立”的只有（A）A、f(x1),f(x3)B、f(x2)C、f(x2),f(x3)D、f(x4)變題2：定義在R上的函數(shù)f(x)知足：如果關(guān)于隨意x1,x2x1+x2)∈R都有f(2

f(x1)+f(x2)2則稱函數(shù)f(x)是R上的凹函數(shù)。已知二次函數(shù)f(x)=ax2+x(a∈R,a≠0)1）求證：當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)是凹函數(shù)；2）如果x∈[0,1]時(shí)，|f(x)|≤1，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。1）證明：略2）實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2,0)練一小手：不查表計(jì)算：lg32+lg35+3lg2lg5解法一：原式=(lg2+lg5)(lg22-lg2lg5+lg25)+3lg2lg5lg22-lg2lg5+lg25+3lg2lg5lg22+2lg2lg5+lg25=(lg2+lg5)2

=1解法二：原式

=(lg2

lg5)3

3lg22lg5-3lg2lg

25

3lg2lg5=1-

3lg2lg5(lg

2

lg5

1)=1解法三：原式=(lg2+lg5)3-3lg2lg5(lg2+lg5)+3lg2lg51-3lg2lg5+3lg2lg5=1解法四：原式=lg32+lg35+3lg22lg5+3lg2lg25-3lg22lg5-3lg2lg25+3lg2lg5(lg2+lg5)3-3lg2lg5(lg2+lg5-1)=1解