2022-2023學(xué)年山東省濰坊市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)°」），且方向向量為02）的直線方程是（）

A.2x-y-1=0B2x+y-3=0

Qx-2y+l=0D%+2y—3=0

【答案】A

【分析】由直線方向向量可得直線斜率，由直線點(diǎn)斜式方程可整理得到結(jié)果.

【詳解】???直線的方向向量為（U）,.?.直線的斜率左=2,

二直線的方程為jT=2（x-l）,即2x-y-l=0

故選：A.

2.在空間直角坐標(biāo)系中，若直線/的方向向量為“平面a的法向量為"=（2,3,4）,則

（）

A.IMaB./C./ua或〃/aD./與a斜交

【答案】C

【解析】由=°可得￡,葭所以/ua或///a,即可得正確選項(xiàng).

【詳解】直線/的方向向量為“二0'-2，1）,平面口的法向量為〃=（234）,

因?yàn)椤?〃=（2,3,4）（1,-2,1）=2-6+4=0

所以￡?）■力，

所以/uc或///a,

故選：C.

3.不論〃，為何實(shí)數(shù)，直線x-2沖T+3機(jī)=。恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

【答案】D

=3

【分析】將直線方程化為xT+〃'（3-2y）=°,令3-2尸°可得，-萬(wàn)，x=l,從而可得定點(diǎn).

[詳解】直線》_2〃沙_]+3加=0,即x-l+機(jī)（3—2了）=0,

=30

令3-2y=0,得，一耳,x=l,可得它恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)I'2〃

故答案為：D.

4.在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，平面a經(jīng)過(guò)三點(diǎn)”(1,0,2),8(0,1,0),C(-2,1,1),向量力=。,4〃)是平面a的

一個(gè)法向量，則'+"=()

A.-7B.―C.5D.7

【答案】D

【解析】求出”=(-1，1，-2),8c=(-2,0,1),利用與萬(wàn)=。"，〃)數(shù)量積為o,求解即可.

【詳解】^=(-1,1-2),SC=(-2,0,1)

n?AB=—1+2-2//=0

n?BC=—2+〃=0

可得〃=2,2=5,彳+〃=7

故選：D

5.直線x+(s+l)yT=°與直線"x+2yT=0平行，則機(jī)的值為()

A.1或-2B.1C.-2D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)兩直線平行的條件可得關(guān)于，”的方程，驗(yàn)證兩直線是否重合，即得答案.

【詳解】當(dāng)％+1=0時(shí)，顯然兩直線不平行，

1_m

故由題意可知：加+12,解得機(jī)=1或_2,

當(dāng)〃尸1時(shí)，兩直線皆為x+2y-i=°,重合，不符合題意，

故選：C.

6.設(shè)“(2,一3),%-3,-2),直線/過(guò)點(diǎn)尸(1,2)且與線段相交，則/的斜率％的取值范圍是

()

A.%《一1或％25B.-5<Z:<1

C.-1<左(5D.k<-5^k>\

【答案】D

【分析】如圖，求出原”"該可得斜率%的取值范圍.

=-5"鋁=1

由題設(shè)可得1-2-3-1,

因?yàn)橹本€/與線段相交，則%21或％W-5,

故選：D.

7.已知4-2，°），8（4M）兩點(diǎn)到直線/：3x-4y+l=°的距離相等，貝必=（）

99

A.2B.2C.2或-8D.2或2

【答案】D

【分析】分,（-2,0）,8（4,幻在/:3》-紂+1=°的同側(cè)和異側(cè)分類討論求解.

【詳解】⑴若4（一2,0）,2（4,。）在/:3工-"+1=0的同側(cè),

..3a39

k.=k.=——=—。=—

則R4,所以64,2,

（2）若“（-2,0）,8（4,a）在/:3x-4y+1=0的異側(cè)，

則/（-2,0）,5（4,a）的中點(diǎn)IO在直線/：3x-4y+1=0上，

所以4-2。=°解得a=2,

故選:D.

8.P為0c：/+戶2》-2尸0上一點(diǎn)，。為直線/：2x-2y-7=0上一點(diǎn)，則線段尸。長(zhǎng)度的最小

值為（）

37225/32桓

A.4B.3C.3D.2&

【答案】A

【分析】將圓c的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心到直線/的距離，減去半徑可得出歸口的最小值.

【詳解】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（xTJ+（"1）2=2,圓心為CO/），半徑r=0,

"2；2-7匚7_7及

則圓心C到直線/的距離為V22+222724,

|尸0|.=逑_及:述

所以圓C上的點(diǎn)尸到直線/上的點(diǎn)0的最小距離Ilm,"44,

故選：A.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若直線/與圓c相離，點(diǎn)尸是半徑為『的圓C上的一點(diǎn)，圓心C到直線/的距離

為d,則點(diǎn)P到直線I的距離h的取值范圍是"-r<h<d+r_

二、多選題

9.關(guān)于直線/：任->-1=°,下列說(shuō)法正確的有（）

A.過(guò)點(diǎn)（6，-2）B.斜率為百

C.傾斜角為60。D.在歹軸上的截距為1

【答案】BC

【分析】A.當(dāng)x=G時(shí)，>=2,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.直線的斜率為百，所以該選項(xiàng)正確；

C.直線的傾斜角為60。，所以該選項(xiàng)正確；

D當(dāng)x=°時(shí)，了=-1,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.

【詳解】A.當(dāng)時(shí)，GxG-y_l=0,;.y=2,所以直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)（6，-2）,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤;

B.由題得V=6x-1,所以直線的斜率為6,所以該選項(xiàng)正確；

C.由于直線的斜率為百，所以直線的傾斜角為60。，所以該選項(xiàng)正確；

D.當(dāng)x=°時(shí)，y=-i,所以直線在歹軸上的截距不為1,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC

10.已知直線/過(guò)點(diǎn)尸（3,4）且與點(diǎn)4-2,2）、以4,-2）等距離，則直線/的方程為（）

Ax+2y+2=0

B.2x-y-2=0

Q2x+3y-18=0

D3x2y+18=0

【答案】BC

|-2--2+4-3攵|二|4一+2+4-34|

【分析】設(shè)所求直線的方程為y-4=%（x-3）,解方程V17F即得解

［詳解］設(shè)所求直線的方程為y_4=Hx_3）,即履_y_34+4=0,

|-2%-2+4-3-114A^+—川

由已知及點(diǎn)到直線的距離公式可得4平7T7F,

k=~-

解得3或上=2,

即所求直線方程為2》一尸2=0或2苫+3蚱18=0,

故選：BC.

11.在下列四個(gè)命題中，錯(cuò)誤的有（）

A.坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率；

B.直線的傾斜角的取值范圍是［°，萬(wàn)）；

C.若一條直線的斜率為tana,則此直線的傾斜角為a；

D.若一條直線的傾斜角為a,則此直線的斜率為tana

【答案】ACD

【分析】根據(jù)直線、傾斜角、斜率等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】?jī)A斜角為萬(wàn)時(shí)，直線的斜率不存在，A錯(cuò)誤.

直線的傾斜角的取值范圍是［°，為，B正確.

444乃

tan——

直線斜率是3,但直線的傾斜角不是3,c錯(cuò)誤.

傾斜角為5時(shí)，直線的斜率不存在，D錯(cuò)誤.

故選：ACD

12.若圓*2+/-3》一3尸+3=0與圓C?：/_2x_2y=0的交點(diǎn)為48,則（）

A.公共弦48所在直線方程為x+V-3=°

B.線段中垂線方程為x-y+i=°

C.公共弦的長(zhǎng)為20

D.在過(guò)48兩點(diǎn)的所有圓中，面積最小的圓是圓G

【答案】AD

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A,聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，分析可得公共弦所在直線方

程，可判斷A,對(duì)于B,由兩個(gè)圓的方程求出兩圓的圓心坐標(biāo)，分析可得直線GG的方程，即可得

線段力3中垂線方程，可判斷B,對(duì)于c,分析圓G的圓心G和半徑，分析可得圓心G在公共弦

4B上,即可得公共弦48的長(zhǎng)為圓G的直徑，可判斷C,對(duì)于D,由于圓心G在公共弦48上，

在過(guò)“，8兩點(diǎn)的所有圓中，面積最小的圓是圓G,即可判斷D.

【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

,（33V6

對(duì)于A,圓G：/+y2_3x_3y+3=0的圓心為'于5,半徑為[,

圓。2"2+'-2廠2）=0的圓心為（1,1）,半徑為正，

且旦任1）2+（“）2=旦鳳"

因?yàn)?V2222,即兩圓相交，

將兩個(gè)圓的方程相減可得x+>-3=°,即公共弦所在直線方程為x+y-3=0,人正確；

對(duì)于B,由A的分析可知，兩圓相交，故48的中垂線即為兩圓圓心的連線，

33

圓G：x2+y2-3x-3y+3=O,其圓心G為（于5）,

圓：/+戶2x-2y=0,其圓心G為（1,1）,

2_1

故直線G02的斜率為2,其方程為'=》，即線段Z5中垂線方程為x-y=o,B錯(cuò)誤，

333

對(duì)于C,圓G：x2+/_3x_3y+3=0,即人手+（尸引=],

33「=旦33

其圓心G為,半徑‘一萬(wàn)",圓心G（5'5）滿足x+y-3=0,

即點(diǎn)C'（5'5）在公共弦力8上，則公共弦的長(zhǎng)即為圓G的直徑，即的長(zhǎng)為逐，c錯(cuò)誤；

C（33

對(duì)于D,圓心'2'2在公共弦上，在過(guò)48兩點(diǎn)的所有圓中，面積最小的圓是圓G,D正確，

故選：AD.

三、填空題

13.直線//的斜率為肩=百，直線6的傾斜角為//的5，則直線//與6的傾斜角之和為

【答案】900

【分析】由已知求得兩直線的傾斜角，由此可求得答案.

【詳解】解：因?yàn)?。的斜率無(wú)尸百，所以傾斜角為60。.

又//的傾斜角為//的萬(wàn)，所以。的傾斜角為30。，

所以L與12的傾斜角之和為60°+30°=90°.

故答案為：90°.

14.設(shè)直線/過(guò)點(diǎn)P（L2）,在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，則滿足題設(shè)的直線/的條數(shù)為

______條.

【答案】3

【分析】考慮坐標(biāo)軸截距為0和不為0,設(shè)出直線方程，待定系數(shù)法求解直線方程.

【詳解】當(dāng)坐標(biāo)軸截距為0時(shí)，設(shè)方程為卜=履，

將尸（1，2）代入y=依得：k=2,所以方程為y=2x；

當(dāng)坐標(biāo)軸截距不為。時(shí)，設(shè)方程為〃6,

12,

—I—=1

?ab

則有1同=例，解得：a=6=3,或a=-l/=l,

從而方程為x+V=3或y-x=l

所以滿足題設(shè)的直線/的條數(shù)為3條.

故答案為：3

y

15.已知點(diǎn)。是圓廠+y=1上任意一點(diǎn)，則X-2的取值范圍為.

二月叵

【答案】〔3'3_

【分析】令“三工,由題可得△=（4*）一4（4r-1券+爐）2。，即得.

%=上，，

［詳解］令X—2,則卜=依-2左，代入x-+y=［,

（1+k2）x2-4k2x+442-1=0

可得17,

A=0/1_彳（4左2_1）（1+左20

解得33,

y「百回

J------,----

即x-2的取值范圍為L(zhǎng)33..

二一叵

故答案為；L33-.

16.已知圓G的方程為G：x2+V-2x-4y+3=0,直線乙y=x-a（a>0）若直線/與圓G和

圓G均相切于同一點(diǎn)，且圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)AT）,則圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】a-3）2+<=2

【分析】由圓G與直線/相切得“，直線/與圓G的方程聯(lián)立求得切點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)。2（機(jī)，〃），由兩點(diǎn)間

的距離公式可得G的圓心坐標(biāo)和半徑，從而得到答案.

【詳解】方程為G：（XT-2）2=2,圓心C"，2）,半徑為

因?yàn)閳A&與直線/：夕="一""'。）相切，

修嘰夜

所以J2,解得。=1,所以直線/：y=x-i,

（x-l）2+（y-2）2=2jx=2

由b=1得1丫=1,得切點(diǎn)為（2」），

設(shè)G（加,"）所以J（"?_2y+（〃_i）2=小（加―4）2+（“+安①，

“T_]

且加-2一②，由①②得機(jī)=3,〃=。，所以G*，0）,

所以圓c2的半徑為J（3-2y+（°T）-=近,

所以圓°?的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-3）一+/=2

故答案為：（X-3）-+/=2.

四、解答題

17.在A/8C中，已知“（°」），8（5,-2）,C（3,5）

（1）求邊8c所在的直線方程；

（2）求“8C的面積.

29

【答案】（1）7x+2y-31=0；（2）T.

【分析】（1）由直線方程的兩點(diǎn)式可得；

（2）先求直線/C方程，再求8到4C的距離，最后用面積公式計(jì)算即可.

【詳解】⑴:Sd）,C（3,5）,

y-（-2）_x-5

，邊8c所在的直線方程為5-（-2）一3-5,即7x+2>-31=0；

（2）設(shè)8到/C的距離為d,

則…

\AC\=V（3-0）2+（5-l）2=5

y-\_x-0

4c方程為:7T二晨石即：4%-3歹+3=0

.d」5x4-3x（-2）+3|_29

742+（-3）2-5

01「2929

..S=-x5X———

“BC252

18.直線/過(guò)點(diǎn)'O'?）且與直線》+2夕+1=°垂直.

（1）求直線/的方程；

（2）求圓心在直線/上且過(guò)點(diǎn)°色°）、BQ，。）的圓的方程

【答案】⑴二2。22

（2）（X-1）+（^-2）=5

【分析】（1）設(shè)直線/的方程為2x-V+c=°,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線/的方程，求出c的值，即可

得出直線/的方程；

（2）設(shè)圓心的坐標(biāo)為（“？0），根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的等式，求出”的值，可得出圓心坐

標(biāo)以及圓的半徑，進(jìn)而可得出所求圓的方程.

【詳解】（1）因?yàn)橹本€/與直線'+2'+1=°垂直，則直線/的方程可設(shè)為2X-N+C=0,

又因?yàn)橹本€/過(guò)點(diǎn)/（L2）,所以2x1-2+c=0,即c=0,

所以直線’的方程為夕=2。

（2）因?yàn)閳A心在直線/：J'=2x上，所以圓心坐標(biāo)可設(shè)為S，2a）,

又因?yàn)樵搱A過(guò)點(diǎn)°（°，°）、BQ，。），

所以有（"°）2+（2"°）2=（”2）2+（2”0）二解得〃=1,

所以圓心坐標(biāo)為（L2）,半徑T。-OY+（2-07=小,

故圓的方程為Q-I?+&-2)2=5

19.已知直線4：（加+2）X+沖-8=0與直線4:s+y—4=0,mwR

（1）若川氏求加的值；

（2）若點(diǎn)RD”?在直線6上，直線/過(guò)點(diǎn)尸，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0,求直線/的方程.

【答案】（1）加=T

（2）N=2x或x-y+i=o

【分析】（1）根據(jù)4〃‘2=4與-44=°運(yùn)算求解，注意檢驗(yàn)防止出現(xiàn)重合；

（2）先將點(diǎn)RD機(jī)代入4求出機(jī)=2,再設(shè)直線/的方程求截距，運(yùn)算求解即可.

【詳解】⑴若//%，則（'”+2）xl-mx機(jī)=0,解得”,=T或〃?=2,

當(dāng)機(jī)=-1,則小x-N-8=（M2：x-y+4°,滿足題意；

當(dāng)〃?=2,則4：2x+y-4=時(shí)2：2》+卜-40,此時(shí)兩直線重合，不滿足題意；

綜上所述：”=T.

（2）若點(diǎn)RQm在直線上，則機(jī)+機(jī)-4=0,解得"?=2,即RD2,

由題意可知：直線/的斜率存在且不為零，設(shè)為左，則直線/的方程為y-2=*（x-i）,

i-2

可得直線/在軸上x(chóng)、y的截距分別為k、2-k,

\--+2-k=Q

???k,解得％=2或k=l,

???直線/的方程為"2x或x-y+l=°

20.如圖，四棱錐尸一/8。的底面是矩形，尸。,底面/8CZ）,PD=DC=1,BC=^,〃為

8c的中點(diǎn).

p

//。/二——\——\\\——）z。

//\\z/

//

/—

P\z

A-B

（1）求證：PB1AM.

（2）求平面P/M與平面PDC所成的角的余弦值.

714

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）7.

【分析】（1）以點(diǎn)。為原點(diǎn)，依次以DC,CP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

求出PBAM=O,利用數(shù)量積即可證明.

（2）求出兩平面與平面尸。C的法向量，則法向量夾角余弦得二面角的余弦.

【詳解】解：（1）依題意，棱D4DC,。尸兩兩互相垂直.

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，依次以D4,DC,。尸所在直線為x,az軸，

_廠而=，S，o'

可得尸8=(0,1,-1),I2人

_____(

PBAM=ylix--+1-0=0

所以I2J,

所以「8_LZ"

M住,1,0

(2)由(1)得到小2。，0),I2),

——(五}

AM=--,1,0__

因此可得I之JtJP=(-V2,0,l)

設(shè)平面口〃的一個(gè)法向量為〃i=(xj，z),則由

〃[-AM=0,

-及x+z=0,

nx?AP=0,

令z=20,解得〃i=(2,應(yīng),20)

同理，可求平面尸。。的一個(gè)法向量%=（1。0）.

所以，平面產(chǎn)力加與平面POC所成的銳二面角e滿足:

n}-n2_2_\/14

cos8=

同同7

714

即平面PNM與平面PQC所成的銳二面角的余弦值為〒.

21.疫情期間，作為街道工作人員的王阿姨和李叔叔需要上門排查外來(lái)人員信息，王阿姨和李叔叔

分別需走訪離家不超過(guò)200米、4米的區(qū)域，如圖，4、4分別是經(jīng)過(guò)王阿姨家（點(diǎn)）的東西和南

北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的東偏北45°方向，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，4、6為x軸、y軸

建立平面直角坐標(biāo)系，已知健康檢查點(diǎn)（即點(diǎn)加（1°°，400））和平安檢查點(diǎn)（即點(diǎn)N（40°，700））是

李叔叔負(fù)責(zé)區(qū)域中最遠(yuǎn)的兩個(gè)檢查點(diǎn).

/)

(i)求出也并寫出王阿姨和李叔叔負(fù)責(zé)區(qū)域邊界的曲線方程；

(2)王阿姨和李叔叔為交流疫情信息，需在姑山路(直線=上碰頭見(jiàn)面，你認(rèn)為

在何處最為便捷、省時(shí)間(兩人所走的路程之和最短)？并給出理由.

【答案】(2222⑵)

1)%=300,X+/=200\(X-400)+(7-400)=300；(-300,700

【解析】(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可設(shè)出圓心，利用圓上兩點(diǎn)距離到圓心相等，可算得圓心和半徑.

(2)可先求圓心。關(guān)于/：x-y+i00°=°的對(duì)稱點(diǎn)p,找到直線尸c與/的交點(diǎn)，即為所求.

【詳解】(1)易知，王阿姨負(fù)責(zé)區(qū)域邊界的曲線方程為：/+/=200?

李叔叔家在王阿姨家的東偏北45°方向，設(shè)李叔叔家所在的位置為°(c，c),離"(l°°，400)和

N(400,700)距離相等

故(c-100)2+(c-400)2=(c-400)2+(c-700)2

故(cT00)，=(-700)2

即。一100=700-。

故c=400

k=^(400-400)2+(400-700)2=300

故李叔叔負(fù)責(zé)區(qū)域邊界的曲線方程為(X一4°°)一+&-40°)2=BOO?

(2)圓心0關(guān)于/：x_y+i0°°=o的對(duì)稱點(diǎn)為「3”)

---+1000=0-=-1

則有22,a

解得a=—1000,6=1000

1000-4003

「°―-1000-400—-7

34000

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聯(lián)立/:x-y+1000=0與0°?一〒〒，可得交點(diǎn)為(一3°°，70。)

王阿姨和李叔叔為交流疫情信息，可選擇在地點(diǎn)（一30°，700）碰面，距離之和最近.

【點(diǎn)睛】求圓的方程，主要有兩種方法：

（1）幾何法：具體過(guò)程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理.如：①圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線

垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線.

（2）待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求