2022-2023學年吉林省遼源市校高二上學期期末數(shù)學試題

一、單選題

JL」J__L

1.數(shù)列5'-7七一而，…的一個通項公式可能是()

(-1Y—(-1V--(-1Y"1.—(-If1.—

A.72?B,V72"c,1/2〃D.V72"

【答案】D

_1_

【分析】將每項的絕對值寫成以E為底的幕的形式，再結(jié)合負號出現(xiàn)的規(guī)律即可得答案.

1人11從31

【詳解】解：因為22，42',82'162’,…

a=(-1)"'

所以此數(shù)列的一個通項公式可以是2”.

故選：D.

2.拋物線3-+8y=0的焦點坐標是()

ABO)B(/C加D卜軸

【答案】B

【分析】將曲線方程化為標準形式，結(jié)合定義即可求解.

x2=--y

【詳解】將拋物線方程化為標準形式：3.，由拋物線定義知焦點坐標I3人

故選：B.

3.已知數(shù)列.J是等比數(shù)列，且為,2々，4%成等差數(shù)列，則公比9=()

111

A.8B.4C.2D.1

【答案】C

【分析】根據(jù)等差中項和等比數(shù)列的通項公式可求出結(jié)果.

【詳解】因為外,2%,4%成等差數(shù)列，

所以4a2=。+4%,

所以4aM=q+4a/,

所以44二4q+l=0,所以的一廳町所以“一5.

故選：C

4.圓爐+/-6工-2產(chǎn)1=°被》軸所截得的弦長為（）

A.2忘B.26C.4D.4及

【答案】D

【分析】根據(jù)圓的弦長公式即可求解.

【詳解】x2+y2-6x-2y+l=°的圓心和半徑分別為（3,1）,r=3,

因此圓被'軸所截得的弦長為2正二^=4&,

故選：D

加-耳

5.Ix＞的展開式中常數(shù)項為（）

A.-160B.60C.240D.-192

【答案】B

/降一」［6

【分析】由題意可得要得I4X）的展開式中常數(shù)，只需求出R（xX）的展式中X-2項，根據(jù)二

項定理求出出I伍-4的展式中X々項即可得答案.

【詳解】解：因為〔"J的展式為：

=c;（2x）6-r-（--）r=C；-26T.（-iy.faTY=c;-26-r-（-iy-x6-2r

X,

X2（2X」］6（2X」［6

要得IX）的展開式中常數(shù)，只需求出Ix'的展式中x"項即可.

所以令6-2r=-2,

解得廠=4,

所以I"xj的展式中x-2項的系數(shù)為C126T.（-1）4=15X4X1=60,

所以MIT'J的展開式中常數(shù)項為60.

故選:B.

6.6本不同的書擺放在書架的同一層上，要求甲、乙兩本書必須擺放在兩端，丙、丁兩本書必須相

鄰，則不同的擺放方法有種

60

A.24B.36c.48D.

【答案】A

【詳解】第一步：甲、乙兩本書必須擺放在兩端，有用種排法；

第二步：丙、丁兩本書必須相鄰視為整體與其它兩本共三本，有團㈤種排法；

...4團團=24

故選：A.

《+片=1

7.已知橢圓一（。>〃>°）的左、右焦點分別為々Ge,。），用（c,0）,p是橢圓上一點,

I尸段=出入|=2c,若則該橢圓的離心率的取值范圍是（）

A.MB.MC.

D.匕2）

【答案】D

1嗚）

【分析】由條件結(jié)合雙曲線定義可得歸周=2"-2C,"町八'

13人結(jié)合三角函數(shù)定義列關(guān)于

0，c的不等式，由此可求離心率的范圍.

【詳解】.』明=出國=2,

??.△PF'F］是以PF,為底的等腰三角形，附Ha-2c,

過鳥作《/,防交尸￡于A,則M用="。，

所以陽用2c,

丁仆存萬）,公網(wǎng)［

「尸牝=2c€M,

1a-ci1c1

即22c,解得3a2.

口」

二該橢圓的離心率的取值范圍是132人

故選：D.

\oF2J"

x2y2

--------y=\（b>0）

8.己知雙曲線4b-上的點48關(guān)于原點對稱，若雙曲線上的點尸（異于點力,8）使得

直線P4,尸8的斜率滿足心”.原夕=3,則該雙曲線的焦點到漸近線的距離為（）

B.2石

A.2c.TD.2&

【答案】B

【分析】利用代入法，結(jié)合直線斜率公式、點到直線距離公式進行求解即可.

二上=1

【詳解】由題意設(shè)P（x,y）,"區(qū)，乂），8（-占,-乂），則4b2

22

一一%一+必二一一二

22

.X-Xjx+x}X-Xj

解得方=2百，又雙曲線的焦點（c,0）到漸近線）一一丁’的距離為:

故選：B

二、多選題

9.將甲，乙，丙，丁4個志愿者分別安排到學校圖書館，食堂，實驗室?guī)兔Γ竺總€地方至少

安排一個志愿者幫忙，則下列選項正確的是（）

A.總其有36種安排方法

B.若甲安排在實驗室?guī)兔?，則有6種安排方法

C.若圖書館需要安排兩位志愿者幫忙，則有24種安排方法

D.若甲、乙安排在同一個地方幫忙，則有6種安排方法

【答案】AD

【分析】先將4人分成3組，再將3組安排到3個場館，即可判斷A；分實驗室只安排甲1人和實

驗室安排2人，即可判斷B；先安排2人去圖書館，再將其他2人安排到其他兩個場館，即可判斷

C：將甲、乙看成一人，則將3人安排到3個不同的地方，即可判斷D.

【詳解】解：對于A,先將4人分成3組，再將3組安排到3個場館，

有CjA；=36種安排方法，故A正確；

對于B,若實驗室只安排甲1人，則有C：A；=6種安排方法，

若實驗室安排2人，則有A：=6種安排方法，

所以若甲安排在實驗室?guī)兔?，則有12種安排方法，故B錯誤；

對于C,先安排2人去圖書館，再將其他2人安排到其他兩個場館，

則有C%A；=12種安排方法，故c錯誤；

對于D,若甲、乙安排在同一個地方幫忙，則有人；=6種安排方法，故D正確.

故選：AD.

10.下述四個結(jié)論正確的是（）

71

A.直線x+V-2=°的傾斜角是Z

B.若直線彳-歹+*=0過圓/+/=1的圓心，則上=0

C,直線“x+y+l=°（aeR）過定點"電一1）

D.直線/：》+后一4=0是圓°：/+/=4的一條切線

【答案】BCD

【分析】根據(jù)直線方程求出斜率可得傾斜角判斷A,圓心代入直線方程可判斷B,根據(jù)直線系求出

定點可判斷C,由圓心到直線的距離判斷D.

【詳解】因為直線x+V-2=°的斜率％=7,所以直線的傾斜角為135。，故A錯誤；

因為圓一+/=1的圓心為（°，。），代入直線的方程可得左=0,故B正確；

卜=0

因為直線“x+y+l=0（°eR）,由b+l=°解得x=°J=T,可知直線過定點"（。，一），故C正確;

|0+0-4|

aJ=-.=

因為圓心（°，°）,半徑R=2,且圓心到直線的距離，所以直線與圓相切，故

D正確.

故選：BCD

x2V2

~—了=l（a>6>0）口

11.設(shè)橢圓/b2的左、右焦點分別為片，心，短軸長為4,4,8是橢圓上關(guān)于冗軸

對稱的兩點，匹的周長的最大值為12.過點加（-2,1）的直線交橢圓于c,。兩點，且C,。關(guān)

于點”對稱，則下列結(jié)論正確的有（）

"T

A.橢圓的方程為94

B.橢圓的焦距為逐

c.橢圓上存在4個點°,使得2月,2乙=0

D.直線。的方程為8x-9y+25=0

【答案】ACD

【分析】由橢圓定義，利用直角三角形直角邊和斜邊關(guān)系，知過點名時及周長最大為4a求

出“，再由短軸得出可求得橢圓方程，知A正確，由。的值可確定焦距，知B錯誤，由

90"知。在以線段耳8為直徑的圓上，由c>6知c正確，利用點差法可求得直線8方程,

知D正確.

【詳解】對于A,由題意知2,當“8過點工時，等號成立，

\AF.\+-\AB\<\AF.\+\AF^2a,,

所以2-故當48過右焦點月r時，D耳C的周長取最大值4a=12,

x2/

---1---=1

所以”=3,又6=2,所以橢圓的方程為94,A正確；

對于B,由A知=君,所以陽閭=2c=2石，即焦距為2石，B錯誤；

對于C,由。耳3=0知"OK=90：，。在以線段巨入為直徑的圓上，

由知：以線段耳月為直徑的圓與橢圓有4個交點，即橢圓上存在4個點0,使得06?。8=。，

C正確；

對于D,由題意知點“（一2」）為弦CD的中點，”在橢圓內(nèi)部，

/、/、K+g=]X2,^2_1

設(shè)C（』，M）,。（工2,%），則94-,94-,

（占一工2）6+%2）1（必一％）（必+y2）一0

兩式相減得:94

2——一%^,o=21zA=i

???為+々=-4,必+%=2,則94,占一々9,

，直線8的方程為：y~l=9^+2\即8x-9y+25=0,口正確.

故選：ACD.

12.設(shè)首項為1的數(shù)列｛%｝的前"項和為與，若，m=2s“+〃-l(°eN*,則下列結(jié)論正確的是(

)

A.數(shù)列｛"+"｝為等比數(shù)列

B.數(shù)列"J的通項公式為°"=2'1-1

c.數(shù)列｛""+】｝為等比數(shù)列

D.數(shù)列"S'，｝的前〃項和為2"2_"2_"_4

【答案】AD

【分析】由條件找到6向+(〃+1)=2區(qū)+〃),可判斷人正確，由A可求得包｝的通項公式，利用分組

求和可得D正確，由KJ的通項公式可求得｛“"｝的通項公式，進而可確定CD錯誤.

［詳解］.??s〃+i=2s〃+〃_l,.,.s〃+i+(〃+l)=2(s〃+〃)，

又S]+1=200,

｛.%+〃｝是首項公比都為2的等比數(shù)列，故選項人正確.

數(shù)列

乂s“+〃=2”;.2s“=2向-2〃,

afcr).^-_.^.?

所以數(shù)列*s,力的前〃和為1-22x2=24,故選項D正確.

又因為S"+〃=2",s"=2”-〃

當%=+_S"T=2"T—1,

當〃=1,=1

1,77=1

2'1-1,〃22故選項8錯誤.

2,〃=1.%+1%+1

%+1=

q+1a2+\

所以數(shù)列+1｝不是等比數(shù)列.故選項C錯誤.

綜上，故選：AD

三、填空題

72

匚匕=1

13.雙曲線6436的焦距是.

【答案】20.

22

土_匕=]______

【解析】先由雙曲線方程是6436一，得到a2=64,加=36,再用c=J/+^求解.

JJ?

-------1

【詳解】因為雙曲線方程是6436

所以a2=64,ZT2=36

所以°=+止=,64+36=10,

所以該雙曲線的焦距是2c=20.

故答案為：20

【點睛】本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.若點P（XJ）滿足方程JUTy+（尸2）2=四號西,則點「的軌跡是

.（填圓錐曲線

的類型，填方程不給分）

【答案】拋物線

【分析】利用兩點間的距離公式及點到直線間的距離公式，結(jié)合拋物線的定義即可求解.

蟀解】由…’得歷E二蟹詈

所以等式左邊表示點尸（*/）到點02）的距離，右邊表示點尸到直線3x+4y+12=0的距離,

即點PG'，）到點°'2）的距離與到直線3x+4y+12=0的距離相等,

又因為點0'2）不在直線3》+外+12=（）上，由拋物線的定義知，點尸的軌跡是以0,2）為焦點，直線

3x+4y+12=°為準線的拋物線.

故答案為：拋物線.

15.分配5名水暖工去4個不同的居民家里檢查暖氣管道，要求5名水暖工全部分配出去，每名水

暖工只能去一個居民家，且每個居民家都要有人去檢查，那么分配的方案共有種(用數(shù)字

作答).

【答案】240

【分析】先對5人分成4組，再進行全排列，即可得到答案.

【詳解】由題意，把5名水暖工分4組共有0；=10種，然后分配到4個不同的家庭，有A：=24種,

由分步計數(shù)原理可得，不同的分配方案共有CM：=240種，

故答案為240.

【點睛】本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，其中解答中先將5分分成四組，然后全排列是解決本題

的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.等差數(shù)列也｝的前〃項和為為若品如<°,則當〃=時，S.最大

【答案】8

【分析】由九>°，力<°結(jié)合等差數(shù)列的前〃項公式結(jié)合條件即得.

【詳解】...九>。島<0,

鱉5=8(…)>0

=17的<。

2,2,

,.,%+%>°,%<0,

.%>0a<0

,?>9,

.?.當”=8時，最大.

故答案為：8.

四、解答題

17.已知在I2女)的展開式中，前3項的系數(shù)分別為6、%、%,且滿足2a2=4+%,求：

(1)展開式中二項式系數(shù)最大項的項；

(2)展開式中所有有理項.

【答案】(1)8

7

(23和16x

【分析】(D求出4、%、%的表達式，根據(jù)2%=4+%結(jié)合〃22可求得〃的值，利用二項式系

數(shù)的性質(zhì)以及二項展開式通項可求得所求項；

(2)寫出展開式通項，即可求得展開式中的有理項.

【詳解】(1)解:

女二0,1,2,…，〃

則4=1,222,348,

_iI〃（〃T）

因為2a2=4+。3,可得8,整理可得〃2-9〃+8=0,

由題意可知"N2,故"=8,

因此，展開式中二項式系數(shù)最大項的項為248.

T=c*.—.%44--

(2)解：展開式通項為"2","=0,1,2,…,〃，因為6為整數(shù)，所以％=0,6,

七=7

T41-j----

故展開式中的有理項為l=x,16x.

18.己知圓G過點月(°，6),且與圓,2：/+)'2+1°》+10^=()相切于原點，直線

I:(2m+l)x+(加+l)y—7加一4=0

(1)求圓G的方程：

(2)求直線/被圓G截得的弦長最小值.

【答案】⑴(x-3>+(y-3)2=18；(2)2V14.

【解析】⑴設(shè)6?一4+3-6)2=產(chǎn)，根據(jù)題意列方程組解得。也「即可得解；

(2)求出直線/所經(jīng)過的定點8(3/)，再根據(jù)圓心G到直線/的距離的最大值可求得結(jié)果.

［詳解］(1)設(shè)G：(x-a)2+3-?=，，圓Gd+V+iOx+lOyuC^^LCgT),半徑為

5五,

(-a)2+(6-Z>)2=r2a=3

<a2+b2=r2<b=3

則[j(a+5)2+(6+5)2=5四+廣解得1=3應(yīng)

所以圓G的方程為（x-3）2+（y-3『=18.

(2)因為/：(2〃？+l)x+(〃？+l)y—7〃？-4=0,即(2x+y.7)m+x+y_4=0,

[2x+y-7=0Jx=3

由jx+y-4=0得1y=l,所以直線/過定點8(3,1),

22

設(shè)圓心C?3)到直線/的距離為“，d<|CtB|=7(3-3)+(3-1)=2；當且僅當/,g時，等號

成立，

所以弦長|=2,尸2一/22J18-4=2Vf?

所以直線/被圓C截得的弦長的最小值為2m.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二間利用圓心G到直線/的距離的最大值求弦長的最小值是解題關(guān)鍵.

19.設(shè)數(shù)列&｝的前〃項和為S”，％=1,5“=。的-1.

⑴求工;

n

（2）求數(shù)列?

的前〃項和

【答案】⑴2"-1

T2〃+4

1=4A---

⑵2

【分析】（1）根據(jù)S"與的關(guān)系推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列即可求解;

（2）根據(jù)錯位相減法求和可.

【詳解】（1）當"=1時，即2=2,

當“22時，由S“=4什|-1可得Si=q-1,

^±=2

兩式相減得："”=%+「見，即可，

&=2

又為,

所以｛""｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)歹U,

所以

(2)由(1)知，"”=

n

所以,"2",

T?234n

1"十…+尸

1-1234r.

2T"=2+Y+￥+r+-+~：

兩式相減得：

.1111

27；=1+2+F+F+F+-

i__L

2"n〃+2

=-----：--------=2---------

北=4_型心

所以2"

20.記￡為數(shù)列｛""｝的前〃項和，已知S"=〃a“-"+”

(1)證明：｛""｝是等差數(shù)列；

(2)若％=-7,記"”2(“+]),求數(shù)列也｝的前"項和北.

【答案】(1)證明見解析

【分析】⑴利用“"=5/,-5,7可整理得到4=3+2,由此可得結(jié)論;

(2)結(jié)合等差數(shù)列通項公式可求得“，采用裂項相消法可求得9.

【詳解】⑴當〃22且〃eN*時，5_|=("1)%-(〃-1丫+(〃-1),

an-S"_S“_|=啊_+〃_(〃T)a“_|+(〃_1)2_(〃_1),

整理可得：("-l)%=("-l)a，i+2("-l),=a“-i+2,

數(shù)列｛“"｝是公差為2的等差數(shù)列.

⑵由⑴得:"”=一7+2(〃-1)=2〃一9,

_2也=_^=2仕

n~(^+1)〃6+1)774-1J

，1112/7

.*.T=21——+----+…+

〃(223n+1

21.已知點（42）在拋物線C：/=2勿上，直線/與C交于48兩點，°為坐標原點，且

408=90°.

（1）求拋物線C的焦點到準線的距離：

⑵求面積的最小值.

【答案】⑴4：

⑵64

【分析】（1）將點（42）代入，直接求解；（2）利用“設(shè)而不求法”表示出N/08=90。，得到6=8,

表示出的面積，進而求出最小值.

【詳解】（1）將點區(qū)2）代入方程x、2py,解得：p=4

所以拋物線C的焦點到準線的距離為4；

x2=8y

<

（2）設(shè)"（和必），8色,必），直線/的方程為'=履+6,聯(lián)立〔>=米+6,消去“整理得

△=64/+326>0

<%+=8k

f-8米-汕=0,所以〔中2=-8/>

27

XX+王玉=0

因為408=90。，所以行?礪二0,即演￡+乂為=0,即玉9

代入可得：-86+/=°,即6=8或6=°（不符合題意，舍去）.

2

叱，,5白“a=1x8々|=4^/（XI+X2）-4X1X2=4,64%2+256

所以2

所以當％二°時，"OB面積有最小值64.

X2V2r

C：T+J=l（a>6>0）-AAc

22.已知橢圓。b2