2022-2023學(xué)年遼寧省大連市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.若直線/的方向向量是'=0°）,則直線/的傾斜角為（）

兀71

A.6B.3C.3D.6

【答案】B

【分析】由斜率與傾斜角，方向向量的關(guān)系求解

【詳解】

a（0<a<兀），tana=6=a=—

設(shè)直線的傾斜角是3,

故選：B.

2.已知空間向量"=（T2，x）,"=（3,-6,-3）,且萬則》=（）

A.9B.-1C.1D.-9

【答案】C

【分析】根據(jù)空間向量共線的充要條件即可求解.

【詳解】因?yàn)榭臻g向量”=（T2，x）,役=（3,-6,-3）,且'展,

-1=2_=^_

所以3_一6__3,解得：x=l,

故選：5

2V2

C:—x—H——=1（〃>6>0）口口

3.已知橢圓。匕的左、右焦點(diǎn)分別為“，鳥，上、下頂點(diǎn)分別為4B,若四

邊形"￡8尼為正方形，則橢圓C的離心率為（）

1顯更

A.2B.2C.2D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得到乙=〃，3=2c,然后根據(jù)四邊形"耳臺(tái)巴為正方形得

到勿=口，化簡(jiǎn)即可得到橢圓的離心率.

y

【詳解】

根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得"片="g="，F(xiàn)R=2C，因?yàn)樗倪呅?"8人為正方形，所以片&=JL1耳,

C\[1

即2c=&。，所以。一2.

故選：B.

4.已知三棱錐O-/8C中，點(diǎn)"，N分別為0C的中點(diǎn)，且。力=1,OB=B,OC=c,則

NM=()

M

-(a-b+c

C.21

【答案】D

【分析】利用空間向量線性運(yùn)算計(jì)算即可.

［詳解］NM=Tjd+OM

AOCLOALOB

=2+2+2

故選：D.

5.已知圓河的圓心在直線，=2x(x>0)上，若圓”與x軸交于48兩點(diǎn)，圓M與夕軸交于

C，。兩點(diǎn)，則()

A.網(wǎng)<叩B\AB\=\CD\c\AB\>\CD\口"陽(yáng)21cq

【答案】A

【分析】過點(diǎn)“作施上了軸，"E,x軸,分別利用垂徑定理表示出|/回,|8|,即可得到答案.

【詳解】設(shè)圓“的圓心”（嘰2加），（用＞°）,半徑為R.

由垂徑定理得：\AB\=2ylR2-\ME\.

同理：巾=2歷研.

幽=2

所以2^R2-\ME^=2yjR2-4\MF[=2yjR2-4m222

因?yàn)楫?|/8|=|CD|=2yjR-m

所以

故選：A

6.已知一個(gè)動(dòng)圓P與兩圓G：（x+2）-+/=1和Q：0-2）’+/=4都外切，則動(dòng)圓p圓心的軌跡

方程為()

24y2

4x2--^-=l(x<0)

A.15Bl中

4x24y24x24y2

-------------=l(x<0)-------------=1

C.97D.97

【答案】A

【詳解】設(shè)動(dòng)圓尸半徑為我,

由于動(dòng)圓尸與兩圓￡G+2）.+「=1和。2：（》-2）-+/=4都外切,

所以|PG|=R+1,|尸G|=R+2

即因2卜|尸。=1?。2|=4,

可知?jiǎng)訄AP圓心的軌跡為以G，G為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的左支,

即2,c=2,2,

4X2-^=1(X<0)

所以動(dòng)圓尸圓心的軌跡方程為15

故選：A.

7,若四棱柱44GA的所有棱長(zhǎng)均為2,且4/8=4/。=/24)=60。，則4到平面

N8C。的距離為(〉

V6A/62-\/6

A.3B.2C.3D.百

【答案】C

【分析】設(shè)NC與8。交于O點(diǎn)，連接4°,結(jié)合題意可證明8。工平面再過4作4","°

垂足為〃，則8"4",進(jìn)而得到4",平面48c°,則4到平面”8C￡)的距離為4”,再根據(jù)

題意求解即可.

【詳解】如圖，設(shè)/C與8。交于。點(diǎn)，連接4°,

,,4B=4D=4/0=60°

,△4/5=AA]ADA、B=AQ

又為5。的中點(diǎn)，

?.?四邊形4BCD為菱形，.

又&Oc/O=O,...平面Z/O,

在平面44°中,過4作4"'/。,垂足為H,則瓦〃4”,

又BDcAO=O,???44，平面/88,即4到平面的距離為4”,

/4O=J5sin60°=2x—=>/3

由已知:4'=2,為等邊三角形,2BD=AB=2.

△///和均為等邊三角形,A{B=A}D=2

AQ=4臺(tái)?sin60°=百

AO~+AO2-AA;3+3-41

cosZAOA=-X-------------=-------=-

在"4°中，由余弦定理，lAflAO2x33

?/Z.AXOAesinZ.AXOA=~~~

在中&H=Afi.sinZAQA=△x當(dāng)普

J

仕I十,

8.己知廠為拋物線C：F=4x的焦點(diǎn)，直線/：y="（x+l）與c交于4，8兩點(diǎn)（”在8的左邊）,

則川/盟+忸尸|的最小值是（）

A.10B.9C.8D.5

【答案】B

k2,

【分析】直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求得'公，利用定義可得

4W尸|=網(wǎng)=4再+4+*2+1=4片+蒞+5,再根據(jù)基本不等式得結(jié)果

【詳解】由題知C的焦點(diǎn)，口（1，°）,準(zhǔn)線為x=7,如圖，作工準(zhǔn)線，準(zhǔn)線，

/火上（x+l）過定點(diǎn)（7,0）,

y2=4x

<

設(shè)力（4必）8（4/2）,聯(lián)立U=%（X+1）

得左2G2+2x+1卜4x=0

gpk2x2+（2k2-4）x+i2=0

,?中2=后=1又?.?|4F|=|4Mj=x+l\BF\=\BN\=x2+l

4|JF|+|SF|=4x,+4+x2+1=4%j+x2+5>2yj4x1x2+5=2x2+5=9

當(dāng)且僅當(dāng)4七=三時(shí)取等,

二、多選題

9.已知向量萬=（2，T，2）3=（2,2，1）,"（4,1,3）,則（）

A.同=忖B.乙不=（2,-1,2）c.albD.向量kb,萬共面

【答案】ABD

【分析】空間向量模的坐標(biāo)計(jì)算可以驗(yàn)證選項(xiàng)A,

向量坐標(biāo)減法運(yùn)算驗(yàn)證選項(xiàng)B,

兩向量數(shù)量積為0驗(yàn)證選項(xiàng)C,

利用向量共面條件驗(yàn)證選項(xiàng)D.

【詳解】因?yàn)椋?（2,T，2）,B=（2,2,1）

所以同=次+（7）2+22=3,

|同=7F+F+F=3

所以A正確；

c-6=（4,1,3）-（2,2,1）=（2,-l,2）j

故B正確；

展很=2x2+（-l）x2+2xl=4w0

故C不正確；

由"5=（2,-1,2）+（2,2,1）=（4』,3）,

所以3=5+5,故選項(xiàng)D正確.

故選：ABD.

10.如圖，下列各正方體中，。為下底面的中心，M,N為頂點(diǎn)，P為所在棱的中點(diǎn)，則滿足

【答案】AD

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法逐個(gè)判斷即可求解

【詳解】對(duì)于A：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2,

則P(0,0,1),0(1,1,0),M(2,2,2),N(0,2,0),

故麗=(-2,0,-2),而

所以麗.麗=(-2)x(-l)+0x(-l)+(—2)xl=2+0-2=0

所以阿同=9。。,故人正確；

對(duì)于B：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2,

則尸(0,2』),0(1』,0),A/(2,0,2),N(0,2,2),

故麗=(-2,2,0),麗=(-1,1,1),

麗.麗=(-2)x(-l)+2xl+0xl=2+2+0=4

所以

_,IMN,0P\^90°……

所ri以r\/,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2,

則尸（2,1,2）,。（,1,0）,M（0,2,2）,N（0,0,0）,

故麗=（0,-2,-2）,而=（1,0,2）,

所以麗.麗=0xl+（-2）x0+（-2）x2=0+0-4=-4

所以阿，孫9。。,故。錯(cuò)誤；

對(duì)于D：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2,

則P（2,0,1）,0（1,1,0）,M（0,0,2）,N（2,0,0）,

故麗=（2,0,-2）,而=（1,7,1）,

訴以麗?麗=2xl+0x（-l）+（-2）xl=2+0-2=0

r）\匕人，

所以阿同=9。。,故口正確；

11.已知圓C：X2+/-2X-8=0,直線/：V=A（x+l）+l,則（）

A.圓C的圓心為（T°）B.點(diǎn)（T1）在/上

C./與圓C相交D./被圓C截得的最短弦長(zhǎng)為4

【答案】BCD

【分析】一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷A：點(diǎn)（一11）代入直線方程可判斷B；根據(jù)點(diǎn)（T'l）在圓內(nèi)

判斷C；根據(jù)（-U）與圓心連線與直線垂直時(shí)，/被圓C截得的弦最短判斷D.

【詳解】由/+/-2、-8=°=（》-1）.+『=9,所以圓C的圓心為0，°）,半徑r=3,A不正確:

因?yàn)槭?1時(shí)y=M-i+i）+i=i,所以點(diǎn)（TI）在/上，B正確；

因?yàn)閳A心°'°）到（一1」）的距離為石＜3,所以點(diǎn)（一“）在圓內(nèi)，又點(diǎn)（T/）在/上，故/與圓C相

交，C正確；

（T」）與圓心連線與直線垂直時(shí)，/被圓C截得的弦最短，最短弦長(zhǎng)為2，'"（萬）=4,D正確.

故選：BCD.

12.在正三棱柱"8C-4AG中，48=44=1,點(diǎn)p滿足8P="C+〃叫其中&［°」］,

〃則］,則（）

A.當(dāng)2=1時(shí)，"P+「4的最小值為石

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐P—的體積為定值

c.當(dāng)5時(shí)，存在兩個(gè)點(diǎn)p,使得4P'BP

D.當(dāng)“一5時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得48,平面

【答案】ACD

【分析】對(duì)于A,將矩形C8AG展開與在同一平面，再根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短判斷即可；

對(duì)于B,將尸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；

對(duì)于C,考慮借助向量的平移將P點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解P點(diǎn)的個(gè)數(shù);

對(duì)于D,考慮借助向量的平移將尸點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解尸點(diǎn)的個(gè)

數(shù).

【詳解】易知，點(diǎn)尸在矩形8CG4內(nèi)部（含邊界）.

對(duì)于A,當(dāng)彳=1時(shí)，BP=BC+"BB、=BC+"CC、即此時(shí)尸G線段CG,將矩形CBBG展開與

U4G在同一平面如圖，則/P+P'的最小值為42+2?=石,故A正確;

對(duì)于B,當(dāng)〃=1時(shí)，BP=4BC+BB\=BB\+4BC,故此時(shí)P點(diǎn)軌跡為線段片G,而P到平面

“工田田的距離不為定值，所以其體積不為定值，故B錯(cuò)誤.

2=—op=XBC+LIEIB—?——.

對(duì)于C,當(dāng)‘2時(shí)，2',取8C,Bg中點(diǎn)分別為2,H,則8尸=80+〃°”,所

以P點(diǎn)軌跡為線段不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

4隹可,。（O,O,Q《畛。［則不叫。,總”

4PBp=〃（〃-1）=0,所以〃=0或〃=1.故"，。均滿足，故C正確；

z/=—BP=A,BC+—BB,__A42—?----------

對(duì)于D,當(dāng)2時(shí)，2,取BBJCGDD中點(diǎn)為〃,N.BP=BM+4MN,所以尸點(diǎn)

A等。1"=-卓錯(cuò))

軌跡為線段MN.設(shè)I2),因?yàn)?人所以<力，

48=3+4」=0=坊

所以為人

A4222,此時(shí)尸與N重合，故D正確.

故選：ACD.

三、填空題

13.已知平行六面體'8CO-48CQ,ACt=AB+AD+mAAt；則機(jī)的值為

【答案】1

【分析】根據(jù)平行六面體的性質(zhì)和空間向量的線性運(yùn)算求加即可.

AC、=4B+BC+CC、=/8+/Z)+44以加=]

故答案為：1.

x2y2

―j-----7=1(a>0,b>0)質(zhì)

14.已知雙曲線a?b2的一條漸近線為y='3x,那么雙曲線的離心率為.

【答案】2

b

【分析】根據(jù)漸近線方程求得：的值，根據(jù)離心率的公式求得雙曲線的離心率.

向2=6e=￡=Jl+(2)=2

【詳解】由于雙曲線的一條漸近線為V=O3x,故。.所以雙曲線離心率aY.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查雙曲線離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.

15.已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10和20,它的側(cè)面積為90。萬，則此圓臺(tái)的母線與下底面所

成角的余弦值為.

￡

【答案】3

【分析】根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積可求出圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，然后利用直角三角形即可求解.

【詳解】作出圓臺(tái)的軸截面，如圖所示:

設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為“和丐，母線長(zhǎng)為/,

由題意可知：4=1°,4=20,因?yàn)樗膫?cè)面積為900萬，

所以5=兀（4+々）?/=30兀/=90071,解得：/=30,

設(shè)圓臺(tái)的母線與下底面所成角為a,由圖可知：乙4BC=a,

r-r.20-101

cosa=—2——L=---------=—

則I303,

J_

故答案為工

16.拋物線的光學(xué)性質(zhì)是：位于拋物線焦點(diǎn)處的點(diǎn)光源發(fā)出的每一束光經(jīng)拋物線反射后的反射線都

與拋物線的對(duì)稱軸平行.已知拋物線c：y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線/：y=5,點(diǎn)尸，。分別是C,/上

的動(dòng)點(diǎn)，若0在某個(gè)位置忖，尸僅存在唯一的位置使得盧口=歸°1,則滿足條件的所有儼0的值為

2941

【答案】彳或記

【分析】設(shè)PGM,易知拋物線C：V=4x焦點(diǎn)為尸（i,o）,。為直線/:y=5上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)。（2,

根據(jù)歸目=歸@結(jié)合距離公式，可得（J”"-20y+2/+48=0,根據(jù)方程有唯一解列方程求解即

可.

【詳解】設(shè)尸GM,易知拋物線C：/=4x焦點(diǎn)為尸0，°）,

。為直線八夕=5上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)。（。，5）,

.■.|PF|=7（X-I）2+/

\PQ\=yj（x-a^+（X-5^

由陽(yáng)=|P0|n（x-l）2+/=（x-4+&-5）2

x2-2x+l+j/=x2-2ax+a2+y2-10》+25

—2x+1=—2QX+Q~—1Oy+25a~—2ax+2x—10v+24=0

222

2

2.x=^~a-2ax^-+2x^---10y+24=0

v=4x,即4代入44,

：.a2-^y2+^y2-\0y+24=0=>2a2-ay2+y2-20y+4S=0

(1-a)_/-20y+2a2+48=0

=-20y+5O=O=y=g

(1)當(dāng)”=1時(shí),

y212525

_x=—_=—x___—___

由y=4x得44416,

此時(shí)方程只有一個(gè)解，滿足題意,

\PQ\=J"-.’+(尸5)2"2+541

16J2

(2)當(dāng)"1時(shí),A=0,

A=(-20)2-4(l-a)(2a2+48)=400-4(1-a)(2a2+48)=0

解得好T,代入0_“"_20乃2。2+48=0可得2K_20y+50=0

y=5^x=—\pQ\=V(^-?)2+(^-5)2=

求得’4,可得

2941

儼a的值為彳或記

2941

故答案為：彳或記.

四、解答題

X2V2

C:-7-^-=l(a>0,/>>0)………

17.已知雙曲線b.請(qǐng)從①②③中選取兩個(gè)作為條件補(bǔ)充到題中，并完成下

列問題.①6=6；②離心率為2；③與橢圓5+'一的焦點(diǎn)相同.

(1)求C的方程：

⑵直線/：y=x-3與c交于8兩點(diǎn)，求Ma的值.

Y'1I

【答案】⑴3

⑵|461=V66

【分析】（1）選①②，可得b=解得。=1即可；選①③，可得人=囪,解得。=1即可；選

22

_a__+__b_—4A

②③，可得/一,解得/=1,〃=3即可；

2-1

■3

（2）聯(lián)立｝=苫-3，消掉〃整理得_+3工-6=0,利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式可得答案.

片+/_4x2y~_[

【詳解】（1）選①②，可得6=6，?2,解得。=1,所以C的方程為‘3一.

廠/_《=]

選①③，可得6=力，^+^=5-1=4,解得。=1,所以C的方程為.3.

2

?+?.4X-Z=i

選②③，可得/,a2+〃=57=4,解得。2=1,ft2=3,所以C的方程為3；

（2）設(shè)“G”），力），聯(lián)立卜=》-3,消掉外整理得f+3x-6=0,

JX+X=-3____________________________

所以（中12=2-6,因?yàn)閨陽(yáng)=VTTl7--w|=&J（X1+X27-4中2=&,（-3）2+4X6=病,

所以|48|=癡.

18.如圖，四棱錐P-N88,底面Z8C￡）為正方形，尸8,平面“88,E為線段尸8的中點(diǎn).

（2）若PB=2AB=2,求直線DE與平面PCD所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

叵

⑵15

【分析】（1）連接/C,設(shè)/C與50交點(diǎn)為°,連接P0,根據(jù)為正方形得到“C183,再

利用線面垂直得到“C1P8,然后利用線面垂直的判定得出“C_L平面P8。，進(jìn)而得到線線垂直；

（2）根據(jù)Z8C。為正方形和P3_L平面/8CO可知：BA,BC,8P兩兩垂直，則建立空間直角坐標(biāo)

系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線的方向向量與平面的法向量的夾角公式即可求解.

【詳解】（1）連接/C,設(shè)/C與8。交點(diǎn)為°,連接2°,

因?yàn)?SCO為正方形，所以ZC/8O,因?yàn)椋?,平面Z8CD,所以/C1P8,因?yàn)?

含于面產(chǎn)8。所以4c_L平面心￡>,所以4CLP。：

（2）因?yàn)榈酌?8co為正方形，且尸8,平面/8CQ,

所以比1,BC,8P兩兩垂直，則建立空間直角坐標(biāo)系8-平，如圖所示.

所以C（O,1,O）,￡>（1,1,0）P（0,0,2）；￡（0,0,1）,所以而=（1,0,0）,PC=（0,1-2）

瓦=（-1,-1,1）

nCD=0b=o

設(shè)平面PC。的一個(gè)法向量為"=（x/，z）,則匕代=0,即［y-2z=0.

令z=l,則"=（°，2/），設(shè)直線DE與平面PCD所成角為a,由圖可知a為銳角,

1

sina=cos<DE>=I」?—=—i=—『

11\n[\DE\V5xV315

則

巫

即直線QE與平面尸8所成角的正弦值為15.

z

p

19.已知點(diǎn)（42）在拋物線C：V=2勿上，直線/與C交于48兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，且

405=90°.

（1）求拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；

⑵求面積的最小值.

【答案】⑴4；

⑵64.

【分析】（1）將點(diǎn)氣2）代入，直接求解；（2）利用“設(shè)而不求法”表示出乙408=90。，得到6=8,

表示出的面積，進(jìn)而求出最小值.

【詳解】（1）將點(diǎn)（42）代入方程-=2py,解得：p=4

所以拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4；

2

<x=Sy

（2）設(shè)“（和必），8&,%），直線/的方程為，=6+6,聯(lián)立lv=H+6,消去y,整理得

△=64/+32%>0

<再+W=8k

x2-8fcc-8^=0,所以〔再工2=~~8b

X1+玉%_0

因?yàn)镹/O8=90。，所以方?無=0,即再工2+乂％=°,即""88

代入可得：-86+〃=0,即6=8或6=°（不符合題意，舍去）.

,S/MOB=彳x8|x,-x2|=4.J（x,+x2）~-4X,X2=4d64『+256

所以2

所以當(dāng)A=0時(shí)，面積有最小值64.

20.在某地舉辦的智能AI大賽中，主辦方設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形場(chǎng)地48co（如圖），N8的長(zhǎng)為9米，

的長(zhǎng)為18米.在N8邊上距離力點(diǎn)6米的尸處有一只電子狗，在距離4點(diǎn)3米的￡處放置一

個(gè)機(jī)器人.電子狗的運(yùn)動(dòng)速度是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度的兩倍，如果同時(shí)出發(fā)，機(jī)器人比電子狗早到達(dá)或

同時(shí)到達(dá)某點(diǎn)（電子狗和機(jī)器人沿各自的直線方向到達(dá)某點(diǎn)），那么電子狗將被機(jī)器人捕獲，電子

狗失敗，這點(diǎn)叫失敗點(diǎn).

Bi------------------------|C

F

E

（1）判斷點(diǎn)力是否為失敗點(diǎn)（不用說明理由）；

（2）求在這個(gè)矩形場(chǎng)地內(nèi)電子狗失敗的區(qū)域面積S；

AP

（3）若尸為矩形場(chǎng)地［。邊上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)電子狗在線段FP上都能逃脫時(shí)，求的取值范圍.

【答案】（1/是失敗點(diǎn)

⑵S=2兀（米2）；

【分析】（1）直接根據(jù)失敗點(diǎn)的概念即可判斷；

（2）建立直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)Mx，N）的軌跡為圓，進(jìn)而得面積；

（3）根據(jù)臨界位置為當(dāng)線段尸尸與（2）中圓相切時(shí)，即可得結(jié)果.

【詳解】（1）由于1明=6,|/=3,|/=2|回,即機(jī)器人和電子狗同時(shí)到達(dá)點(diǎn)

故/是失敗點(diǎn)

（2）建立以4點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，4。為無軸，為y軸的直角坐標(biāo)系，如圖E（0，3）,/（°，6）,

八y

B----------------|C

F

E

-----------------------Dx

設(shè)機(jī)器人的速度為心則電子狗的速度為2打電子狗失敗的區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)°（xJ）,

g+（y—3）-JX2+@_6）22

可得；-2；,即/+（—）44,（04x42）,

即失敗點(diǎn)組成的區(qū)域?yàn)橐浴埃?'2）為圓心，2為半徑的半圓及其內(nèi)部，

S=-X4K=2TI

所以電子狗失敗的區(qū)域面積2（米2）

21

sinZ.AFP=-——-=—

(3)當(dāng)線段尸尸與(2)中圓相切時(shí)，明用2即N4尸尸=30。，所以

|?1P|=6tan30o=2V3

因?yàn)殡娮庸吩诰€段PP上都能逃脫時(shí)，所以1'尸歸(26,18]

回伸/

又因?yàn)槎?叫所以皿的取值范圍是(9

21.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形Z8C。中，E,尸分別為8C,CA的中點(diǎn).以。E為折痕將四邊形

折起，使Z,8分別到達(dá)4,Bj且平面平面8￡.設(shè)/＞為線段"上一點(diǎn)，且

4,B\,p,尸四點(diǎn)共面.

⑴證明：與E〃平面4。尸

⑵求CP的長(zhǎng)；

(3)求平面A'B'PF與平面CDE所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

2府

⑶69

【分析】(1)根據(jù)翻折前后的位置關(guān)系可知，B'EUAQ,再結(jié)合線面平行的判斷定理，即可證明;

(2)首先利用確定平面的依據(jù)，先作出點(diǎn)尸，再利用三角形相似，求b的長(zhǎng)；

(3)首先以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面4及尸產(chǎn)與平面CDE的法向量，利

用法向量公式求二面角的余弦值.

B[E〃AD

【詳解】(1)證明：因?yàn)?E〃力。，所以沿OE為折痕將四邊形折起后,

因?yàn)锳EU平面4。尸，4〃u平面所以8|E〃平面ZQF.

(2)延長(zhǎng)48,DE交于點(diǎn)G,沿為折痕將四邊形/BED折起的過程中，A',B',G三點(diǎn)共線,

連接FG,設(shè)FG與CE的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,則這樣的點(diǎn)P滿足4,B\,p,F四點(diǎn)共面.

因?yàn)镋為8c的中點(diǎn)，所以8為NG的中點(diǎn)，即8G="8=2,

CFBG1_2

設(shè)CP=x,則8尸=2-x,由AMPsPC尸可得，~CP~~BP,即廠一，

22

x=—CP=-

所以3,即3.

(3)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線。，CE為x軸，夕軸正方向，以垂直于平面C0E且向上的方

向?yàn)閦軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，力"，。也而平面448，平面。石,

而平面平面C0E=QE,所以4W工平面CDE,

再作MRJ.8C,MSVDC,垂足分別為R，S,

sinNEDC=—=4=,sinZDAM=-DM

ED舊AD2ZEDC=ZDAM,

DMMS=DM-sinZEDC=^-=-CR=-

所以3152,所以j5,RtA￡>MS中，V5,55,即5,

DS=^DM2-MS2=-

5

62

C52_4_6

所以一一^一二,所以點(diǎn)河的坐標(biāo)是5^

僅

AM=ylAD2-DM2=—彳2?

5，所以在空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)4的坐標(biāo)是

4而=7，|，。瓦=(法,

I55

,所以

平面A'B'PF與平面CDE的法向量分別為市=6，％4),"=。2，%心),

2

~x\+§必=0

1245/5n而=

+-y.+---M

[-5x.5.5z.=0,不妨取KV-_JQ,則~

則

又“=(0,0,1),

平面與平面COE所成角e,e為銳角,

mn2769

cos6^=\cos(m,n

一麗一69

所以

2769

即平面/蜴"7與平面c￡?E所成角的余弦值69.

22.已知橢圓?/+*'-(“>>，的左、右焦點(diǎn)分別為片,占且內(nèi)用=2.過g的一條斜率存

在且不為零的直線交C于〃，N