數(shù)值分析矩陣特征值問題計算第一頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三8.1引言工程技術(shù)中有多種振動問題，如橋梁或建筑物的振動，機械零件、飛機機翼的振動，及一些穩(wěn)定性分析和相關(guān)分析在數(shù)學上都可轉(zhuǎn)化為求矩陣特征值與特征向量的問題.下面先復(fù)習一些矩陣的特征值和特征向量的基礎(chǔ)知識.第二頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三定義1⑴已知n階矩陣A=(aij)，則稱為A的特征多項式.一般有n個根(實的或復(fù)的，復(fù)根按重數(shù)計算)稱為A的特征值.用λ(A)表示A的所有特征值的集合.

A的特征方程第三頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三⑵設(shè)λ為A的特征值，相應(yīng)的齊次方程組

注：當A為實矩陣時，

(λ)=0為實系數(shù)n次代數(shù)方程，其復(fù)根是共軛成對出現(xiàn).的非零解x稱為矩陣A的對應(yīng)于λ的特征向量.

例1求A的特征值及特征向量，其中第四頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三

解矩陣A的特征方程為求得矩陣A的特征值為：對應(yīng)于各特征值矩陣A的特征向量分別為：第五頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三

定理1設(shè)λ為A∈Rn×n的特征值,且Ax=λx(x0)，則有⑵λ-p為A-pI的特征值，即(A-pI)x=(λ-p)x；⑴cλ為的cA特征值(c≠0為常數(shù))；下面敘述有關(guān)特征值的一些結(jié)論：⑶λk為Ak的特征值，即Akx=λkx；⑷設(shè)A為非奇異矩陣，那么λ≠0,且λ-1為A-1的特征值，即A-1x=λ-1x.第六頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三

定理2設(shè)λi(i=1,2,,n)為n階矩陣A=(aij)的特征值，則有⑴稱為A的跡；⑵定理3設(shè)A∈Rn×n，則有

定理4設(shè)A為分塊上三角矩陣，即其中每個對角塊Aii均為方陣，則第七頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三

定理5設(shè)A與B為相似矩陣（即存在非奇異矩陣P使B=P-1AP），則定理5說明，一個矩陣A經(jīng)過相似變換，其特征值不變.一個虧損矩陣是一個沒有足夠特征向量的矩陣，虧損矩陣在理論上和計算上都存在困難.⑴A與B有相同的特征值；⑵如果y是B的特征向量，則Py是A的特征向量.

定義2如果實矩陣A有一個重數(shù)為k的特征值λ,且對應(yīng)于λ的A的線性無關(guān)的特征向量個數(shù)<k，則A稱為虧損矩陣.第八頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三

定理6⑴A∈Rn×n可對角化，即存在非奇異矩陣P使的充分必要條件是A具有n個線性無關(guān)的特征向量.⑵如果A∈Rn×n有m個(m≤n)不同的特征值λ1,λ2,,λm，則對應(yīng)的特征向量x1,x2,,xm線性無關(guān).第九頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三

定理7(對稱矩陣的正交約化)設(shè)A∈Rn×n為對稱矩陣，則⑶存在一個正交矩陣P使的且λ1,λ2,,λn為A的特征值，而P＝(u1,u2,,un)列向量uj為A的對應(yīng)于λj

的單位特征向量.⑴A的特征值均為實數(shù)；⑵A有n個線性無關(guān)的特征向量；第十頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三

定義3

設(shè)n階矩陣A=(aij)，令下面討論矩陣特征值界的估計.⑴；⑵集合稱為復(fù)平面上以aii為圓心，以ri為半徑的n階矩陣A的n個Gerschgorin圓盤.第十一頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三

定理8(Gerschgorin圓盤定理)特別地，如果A的一個圓盤Di是與其它圓盤分離(即孤立圓盤)，則Di中精確地包含A的一個特征值.⑴設(shè)n階矩陣A＝(aij)，則A的每一個特征值必屬于下面某個圓盤之中⑵如果A有m個圓盤組成一個連通的并集S，且S與余下n-m個圓盤是分離的，則S內(nèi)恰包含A的m個特征值.或者說A的特征值都在n個圓盤的并集中.第十二頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三證明只就⑴給出證明.設(shè)λ為A的特征值，即Ax=λx，其中x=(x1,x2,,xn)T0.或記，考慮Ax=λx的第k個方程，即于是即第十三頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三這說明，A的每一個特征值必位于A的一個圓盤中，并且相應(yīng)的特征值λ一定位于第k個圓盤中(其中k是對應(yīng)特征向量x絕對值最大的分量的下標).利用相似矩陣性質(zhì)，有時可以獲得A的特征值進一步的估計，即適當選取非奇異對角陣并做相似變換.適當選取可使某些圓盤半徑及連通性發(fā)生變化.第十四頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三

例2估計矩陣A的特征值范圍，其中

解矩陣A的3個圓盤為由定理8，可知A的3個特征值位于3個圓盤的并集中，由于D1是孤立圓盤，所以D1內(nèi)恰好包含A的一個特征值λ1(為實特征值)，即A的其它兩個特征值λ2,λ3包含在D2,D3的并集中.第十五頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三現(xiàn)在取對角陣做相似變換矩陣A1的3個圓盤為第十六頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三顯然，3個圓盤都是孤立圓盤，所以，每一個圓盤都包含A的一個特征值(為實特征值)，且有估計第十七頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三當A為實矩陣，如果限制用正交相似變換，由于A有復(fù)的特征值，A不能用正交相似變換約化為上三角陣.用正交相似變換能約化到什么程度呢？定理9(Schur定理)設(shè)A∈Rn×n，則存在酉矩陣U使其中rii(i=1,2,,n)為A的特征值.下面給出理論上有關(guān)通過酉相似變換及正交變換可以約化一般矩陣A到什么程度的問題.第十八頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三其中Rii(i=1,2,,m)為一階或二階方陣，且每個一階Rii是A的實特征值，每個二階對角塊Rii的兩個特征值是A的兩個共軛復(fù)特征值.定理10(實Schur分解)設(shè)A∈Rn×n，則存在正交矩陣Q使第十九頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三定義4設(shè)A∈Rn×n為對稱矩陣，對于任一非零向量x，稱我們轉(zhuǎn)向?qū)峉chur型的實際計算.為對應(yīng)于向量x的瑞利(Rayleigh)商.定理11設(shè)A∈Rn×n為對稱矩陣(其特征值次序記為λ1≥λ2≥≥λn)，則1.(對任何非零x∈Rn)；2.；3..第二十頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三

證明只證1，關(guān)于2,3自己作練習.由于A為實對稱矩陣，可將λ1,λ2,,λn

對應(yīng)的特征向量x1,x2,,xn

正交規(guī)范化，則有(xi,xj)=δij，設(shè)x0為Rn中任一向量，則有于是從而1成立.結(jié)論1說明瑞利商必位于λn和λ1之間.第二十一頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三關(guān)于計算矩陣A的特征值問題，當n＝2,3時，我們還可按行列式展開的辦法求(λ)=0的根.但當n較大時，如果按展開行列式的辦法，首先求出(λ)的系數(shù)，再求(λ)的根，工作量就非常大，用這種辦法求矩陣的特征值是不切實際的，由此需要研究求A的特征值及特征向量的數(shù)值解法.本章將介紹一些計算機上常用的兩類方法，一類是冪法及反冪法（迭代法），另一類是正交相似變換的方法（變換法）.第二十二頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三冪法與反冪法都是求實矩陣的特征值和特征向量的向量迭代法，所不同的是冪法是計算矩陣的主特征值(矩陣按模最大的特征值稱為主特征值，其模就是該矩陣的譜半徑)和相應(yīng)特征向量的一種向量迭代法，而反冪法則是計算非奇異(可逆)矩陣按模最小的特征值和相應(yīng)特征向量的一種向量迭代法.下面分別介紹冪法與反冪法.8.2冪法及反冪法第二十三頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三現(xiàn)討論求λ1及x1的方法.設(shè)實矩陣A=(aij)有一個完全的特征向量組，即A有n個線性無關(guān)的特征向量，設(shè)矩陣A的特征值為λ1,λ2,,λn,相應(yīng)的特征向量為x1,x2,,xn.已知A的主特征值λ1是實根，且滿足條件

8.2.1冪法（又稱乘冪法）第二十四頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三冪法的基本思想是:任取非零的初始向量v0

,由矩陣A構(gòu)造一向量序列{vk}稱為迭代向量，由假設(shè)，v0可唯一表示為第二十五頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三于是其中由假設(shè)故從而為λ1的特征向量.第二十六頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三所以當k充分大時，有即為矩陣A的對應(yīng)特征值1的一個近似特征向量.用(vk)i

表示vk的第i個分量，則當k充分大時，有即為A的主特征值1的近似值.由于這種由已知非零向量v0及矩陣A的乘冪Ak構(gòu)造向量序列{vk}以計算A的主特征值1(2.7)及相應(yīng)特征向量(2.5)的方法就稱為冪法.第二十七頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三迭代公式實質(zhì)上是由矩陣A的乘冪Ak與非零向量v0相乘來構(gòu)造向量序列{vk}={Akv0}，從而計算主特征值λ1及其對應(yīng)的特征向量，這就是冪法的思想.的收斂速度由比值來確定，r越小收斂越快，但當r≈1時收斂可能很慢.第二十八頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三定理12設(shè)A∈Rn×n有n個線性無關(guān)的特征向量，主特征值λ1滿足條件|λ1|>|λ2|≥≥|λn|，則對任何非零向量v0(a10)，冪法的算式成立.又設(shè)A有n個線性無關(guān)的特征向量，λ1對應(yīng)的r個線性無關(guān)的特征向量為x1,x2,,xr，則由(2.2)式有如果A的主特征值為實的重根,即λ1=λ2==λr,且|λr|>|λr+1|≥≥|λn|，第二十九頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三為A的特征向量，這說明當A的主特征值是實的重根時，定理5的結(jié)論還是正確的.應(yīng)用冪法計算A的主特征值λ1及其對應(yīng)的特征向量時，如果|λ1|>1(或|λ1|<1)，迭代向量

vk的各個不等于零的分量將隨k→∞

而趨向于無窮(或趨向于零)，這樣在計算機實現(xiàn)時就可能“溢出”.為克服這個缺點，就需要將迭代向量加以規(guī)范化.第三十頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三設(shè)有一向量v0，將其規(guī)范化得向量為其中max(v)表示v的絕對值最大的分量.即如果有則max(v)=vq，且q為所有絕對值最大的分量中的最小下標.在定理12的條件下冪法可這樣進行：任取一初始向量v00(a10)，構(gòu)造規(guī)范化向量序列為第三十一頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三由(2.3)式第三十二頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三第三十三頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三收斂速度由比值r=|λ2/λ1|確定.總結(jié)上述結(jié)論，有同理，可得到第三十四頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三定理13設(shè)A∈Rn×n有n個線性無關(guān)的特征向量，主特征值λ1滿足|λ1|>|λ2|≥≥|λn|，則對任意非零初始向量v0=u0(a10)，有冪法計算公式為則有⑴⑵第三十五頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三

例1用冪法計算矩陣的主特征值與其對應(yīng)的特征向量.

解取v0=u0=(0,0,1)T

,則第三十六頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三直到k=8時的計算結(jié)果見下表k12,4,1,40.5,1,0.2524.5,9,7.7590.5,1,0.861135.7222,11.4444,8.36111.44440.5,1,0.736045.4621,10.9223,8.230610.92230.5,1,0.753655.5075,11.0142,8.257611.01420.5,1,0.749465.4987,10.9974,8.249410.99740.5,1,0.750175.5002,11.0005,8.250111.00050.5,1,0.750085.5000,11.0000,8.250011.00000.5,1,0.7500從而

見書p303-例3.第三十七頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三8.2.2冪法的加速方法1、原點平移法

由前面討論知道，應(yīng)用冪法計算A的主特征值的收斂速度主要由比值r=|λ2/λ1|來決定，但當r接近于1時，收斂可能很慢.這時，一個補救辦法是采用加速收斂的方法.其中p為參數(shù)，設(shè)A的特征值為i，則對矩陣B的特征值為i-p，而且A,B的特征向量相同.引進矩陣B=A-pI.第三十八頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三如果要計算A的主特征值1,只要選擇合適的數(shù)p，使1-p為矩陣B=A-pI

的主特征值，且那么，對矩陣B=A-pI應(yīng)用冪法求其主特征值1-p,收斂速度將會加快.這種通過求B=A-pI的主特征值和特征向量，而得到A的主特征值和特征向量的方法叫原點平移法.對于A的特征值的某種分布，它是十分有效的.第三十九頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三

例4設(shè)A∈R4×4有特征值比值r=|λ2/λ1|≈0.9.做變換B=A-12I(p=12),則B的特征值為應(yīng)用冪法計算B的主特征值μ1的收斂速度的比值為雖然常常能夠選擇有利的p值,使冪法得到加速,但設(shè)計一個自動選擇適當參數(shù)p的過程是困難的.第四十頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三下面考慮當A的特征值是實數(shù)時，怎樣選擇p使采用冪法計算λ1得到加速.且使收斂速度的比值設(shè)A的特征值都是實數(shù)，且滿足則對實數(shù)p，使矩陣A-pI的主特征值為1-p或n-p時，當我們計算1及x1時，首先應(yīng)選取p使第四十一頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三顯然，當2-p=-(n-p)時，即P=(2+n)/2＝P*

時ω為最小值，這時收斂速度的比值為當希望計算n時，應(yīng)選取

p=(1+n-1)/2＝P*

使得應(yīng)用冪法計算n得到加速.當A的特征值都是實數(shù)，滿足且2,n能初步估計出來，我們就能確定P*的近似值.第四十二頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三

例2用原點平移加速法求例1中矩陣A的主特征值與其對應(yīng)的特征向量.對B應(yīng)用冪法，仍取v0=(0,0,1)T

,則

解取p=-2.5,做平移變換B=A-pI，則第四十三頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三迭代5步的計算結(jié)果見下表k12,4,3.540.5,1,0.87527,14,10.5625140.5,1,0.754536.76,13.5179,10.140613.51790.5,1,0.750746.7503,13.5007,10.125613.50070.5,1,0.750056.7500,13.5000,10.125013.50000.5,1,0.7500可得到B的主特征值為113.5000,主特征向量為v1

(0.5,1.0,0.7500)T

,因此，A的主特征值為1=1+p11.0000,主特征向量仍為x1=(0.5,1,0.7500)T.第四十四頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三原點位移的加速方法，是一個矩陣變換方法.這種變換容易計算，又不破壞矩陣A的稀疏性，但p的選擇依賴對A的特征值分布的大致了解.

見書p306-例5.第四十五頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三設(shè)A∈Rn×n為對稱矩陣，稱為向量x的瑞利商，其中(x,x)=xTx為內(nèi)積.由定理11知道，實對稱矩陣A的特征值1及n可用瑞利商的極限值表示.下面我們將瑞利商應(yīng)用到用冪法計算實對稱矩陣A的主特征值的加速上來.2、瑞利商(Rayleigh)加速第四十六頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三定理14設(shè)A∈Rn×n為對稱矩陣，特征值滿足對應(yīng)的特征向量xi滿足(xi,xj)=δij

(單位正交向量)

，應(yīng)用冪法公式(2.9)計算A的主特征值1，則規(guī)范化向量uk的瑞利商給出1的較好的近似值為由此可見，R(uk)比μk更快的收斂于1.第四十七頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三

證明由(2.8)式及得第四十八頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三冪法的瑞利商加速迭代公式可以寫為其中A為n階實對稱矩陣.對給定的誤差限，當|μ

k–μk-1|<時，取近似值第四十九頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三8.2.3反冪法

反冪法是用于求非奇異矩陣A的按模最小的特征值和對應(yīng)特征向量的方法.而結(jié)合原點平移法的反冪法則可以求矩陣A的任何一個具有先了解的特征值和對應(yīng)的特征向量。設(shè)矩陣A非奇異,其特征值i(i=1,2,,n),滿足其相應(yīng)的特征向量x1,x2,,xn線性無關(guān)，則A-1的特征值為1/i

，對應(yīng)的特征向量仍為xi

(i=1,2,,n).第五十頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三此時,A-1的特征值滿足因此,對A-1應(yīng)用冪法,可求出其主特征值1/n

μ

k

和特征向量

xn

uk.從而求得A的按模最小特征值

n

1/μk

和對應(yīng)的特征向量

xn

uk，這種求A-1的方法就稱為反冪法.第五十一頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三為了避免求A-1,可通過解線性方程組Avk=uk-1得到vk，采用LU分解法，即先對A進行LU分解A=LU,此時反冪法的迭代公式為

反冪法的迭代公式為第五十二頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三對給定的誤差，當|μk–μk-1|<

時，得顯然，反冪法的收斂速度取決于比值，比值越小，收斂越快.第五十三頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三定理15設(shè)A∈Rn×n為非奇異矩陣，且有n個線性無關(guān)的特征向量，其對應(yīng)的特征值滿足

|1|≥|2|≥≥|n-2|>|n|>0，則對任意非零初始向量u0(an0)，由反冪法計算公式構(gòu)造的向量序列{vk}，{uk}滿足⑴⑵第五十四頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三

在反冪法中也可以用原點平移法加速迭代過程，或求其它特征值與其對應(yīng)的特征向量.

如果矩陣(A-pI)-1存在，顯然其特征值為對應(yīng)的特征向量仍然是x1,x2,,xn，現(xiàn)對矩陣(A-pI)-1應(yīng)用冪法，得到反冪法的迭代公式第五十五頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三

如果p是A的特征值j的一個近似值，且設(shè)j與其它特征值是分離的，即就是說1/(j-p)是矩陣(A-pI)-1的主特征值，可用反冪法(2.12)計算特征值及特征向量.

設(shè)A∈Rn×n有n個線性無關(guān)的特征向量x1,x2,,xn，則第五十六頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三其中同理可得：第五十七頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三定理16設(shè)A∈Rn×n有n個線性無關(guān)的特征向量，矩陣A的特征值及對應(yīng)的特征向量分別記為i

及xi(i=1,2,,n)，而p為j的近似值，(A-pI)-1存在，且⑴⑵則對任意非零初始向量u0(aj0)，由反冪法計算公式(2.12)構(gòu)造的向量序列{vk}，{uk}滿足且收斂速度為第五十八頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三由該定理知，對A-pI(其中p≈j)應(yīng)用反冪法，可用來計算特征向量xj，只要選擇p是j的一個較好的近似且特征值分離情況較好，一般r很小，常常只要迭代一二次就可完成特征向量的計算.反冪法迭代公式中的vk是通過解方程組求得的,為了節(jié)省工作量,可以先將A-pI進行三角分解于是求vk相對于解兩個三角形方程組第五十九頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三實驗表明,按下述方法選擇u0是較好的:選u0使用回代求解(2.13)即得v1,然后再按公式(2.12)進行迭代.

反冪法計算公式見書p311.前面已提到.

見書p311-例6.第六十頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三8.3豪斯霍爾德方法(1)用初等反射矩陣作正交相似變換約化一般實矩陣A為上海森伯格矩陣.8.3.1引言

本節(jié)討論兩個問題(2)用初等反射矩陣作正交相似變換約化對稱矩陣A為對稱三對角矩陣.于是，求原矩陣特征值問題，就轉(zhuǎn)化為求上海森伯格矩陣或?qū)ΨQ三對角矩陣的特征值問題.第六十一頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三8.3.2用正交相似變換

約化一般實矩陣為上海森伯格矩陣

設(shè)A∈Rn×n，下面來說明，可選擇初等反射矩陣U1,U2,,Un-2使A經(jīng)正交相似變換約化為一個上海森伯格陣.(1)設(shè)第六十二頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三其中c1=(a21,,an1)T∈Rn-1

,不妨設(shè)c1≠0，否則這一步不需要約化.于是,可選擇初等反射陣使，其中令第六十三頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三則其中第六十四頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三(2)第k步約化：重復(fù)上述過程，設(shè)對A已完成第1步,,第k-1步正交相似變換，即有或且第六十五頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三其中為k階上海森伯格陣，設(shè)ck≠0,于是可選擇初等反射陣Rk使其中，Rk計算公式為第六十六頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三令則第六十七頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三其中為k+1階上海森伯格陣，第k步約化只需計算及(當A為對稱矩陣時，只需要計算).(3)重復(fù)上述過程，則有第六十八頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三定理17(豪斯霍爾德約化矩陣為上海森伯格陣)設(shè)A∈Rn×n則存在初等反射矩陣U1,U2,,Un-2

使為上海森伯格矩陣.總結(jié)上述結(jié)論，有算法1(豪斯霍爾德約化矩陣為上海森伯格陣)設(shè)A∈Rn×n，本算法計算U0TAU0=H(上海森伯格型)，其中U0=U1U2Un-2為初等反射陣的乘積.1.U0←I第六十九頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三2.對于k=1,2,,n-2(1)計算初等反射陣Rk使本算法約需要5n3/3次乘法運算，要明顯形成U0還需要附加2n3/3次乘法.(2)約化計算(3)U0←U0Uk第七十頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三

例7用豪斯霍爾德方法將矩陣約化為上海森伯格陣.

解選取初等反射陣R1使,其中c1=(2,4)T.

(1)計算R1:第七十一頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三則有

(2)約化計算:則得到上海森伯格陣為第七十二頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三8.3.3用正交相似變換

約化對稱矩陣為對稱三對角矩陣定理18(豪斯霍爾德約化對稱矩陣為對稱三對角矩陣)設(shè)A∈Rn×n為對稱矩陣，則存在初等反射矩陣U1,U2,,Un-2使為對稱三對角矩陣.第七十三頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三證明由定理17,存在初等反射矩陣U1,U2,,Un-2

使為上海森伯格陣，且An-1亦是對稱陣，因此，An-1為對稱三對角陣.

由上面討論可知，當A為對稱陣時，由Ak←Ak+1=AkUkAk一步約化計算中只需計算Rk及RkA22(k)Rk

.又由于A的對稱性，故只需計算RkA22(k)Rk的對角線以下元素.注意到第七十四頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三引進記號則有對對稱陣A用初等反射陣正交相似約化為對角三對角陣大約需要2n3/3次乘法.用正交矩陣進行相似約化有一些特點，如構(gòu)造的，Uk容易求逆，且Uk的元素數(shù)量級不大，這個算法是十分穩(wěn)定的.

算法2見書p318.第七十五頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三8.4QR方法8.4.1QR算法

Rutishauser(1958)利用矩陣的三角分解提出了計算矩陣特征值的LR算法，F(xiàn)rancis(1961,1962)利用矩陣的QR分解建立了計算矩陣特征值的QR算法.

QR方法是一種變換方法，是計算一般矩陣(中小型矩陣)全部特征值問題的最有效方法之一.第七十六頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三(1)上海森伯格矩陣的全部特征值問題；(2)計算對稱三對角矩陣的全部特征值問題，

目前QR方法主要用來計算：且QR方法具有收斂快，算法穩(wěn)定等特點.

對于一般矩陣A∈Rn×n(或?qū)ΨQ矩陣)，則首先用豪斯霍爾德方法將A化為上海森伯格陣B(或?qū)ΨQ三對角陣)，然后再用QR方法計算B的全部特征值.

設(shè)A∈Rn×n，且A對進行QR分解，即A=QR，第七十七頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三其中R為上三角陣,Q為正交陣,于是可得到一新矩陣B=RQ=QTAQ.顯然