數(shù)學(xué)建模第三講第一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三第三講微分方程模型動態(tài)模型描述對象特征隨時間(空間)的演變過程分析對象特征的變化規(guī)律預(yù)報對象特征的未來性態(tài)研究控制對象特征的手段根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)微分方程建模根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設(shè)按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程第二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三主要內(nèi)容生物單種群增長模型

3.1人口增長模型

3.2傳染病模型生物多種群增長模型

3.3正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)

3.4捕食系統(tǒng)的Volterra方程第三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三

為了保持自然資料的合理開發(fā)與利用，人類必須保持并控制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類自身的增長。本節(jié)將建立幾個簡單的單種群增長模型，以簡略分析一下這方面的問題。一般生態(tài)系統(tǒng)的分析可以通過一些簡單模型的復(fù)合來研究，大家若有興趣可以根據(jù)生態(tài)系統(tǒng)的特征自行建立相應(yīng)的模型。

美麗的大自然

種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值，但由于種群數(shù)量一般較大，為建立微分方程模型，可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量，甚至允許它為可微變量，由此引起的誤差將是十分微小的。離散化為連續(xù)，方便研究3.1

如何預(yù)報人口的增長

--Malthus模型與Logistic模型第四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長第五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計(jì)算公式x(t):時刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對)增長率r是常數(shù),不考慮移民今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長第六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三模型檢驗(yàn)

比較歷年的人口統(tǒng)計(jì)資料，可發(fā)現(xiàn)人口增長的實(shí)際情況與馬爾薩斯模型的預(yù)報結(jié)果基本相符，例如，1961年世界人口數(shù)為30.6（即3.06×109），人口增長率約為2%，人口數(shù)大約每35年增加一倍。檢查1700年至1961的260年人口實(shí)際數(shù)量，發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一致，且按馬氏模型計(jì)算，人口數(shù)量每34.6年增加一倍，兩者也幾乎相同。模型預(yù)測假如人口數(shù)真能保持每34.6年增加一倍，那么人口數(shù)將以幾何級數(shù)的方式增長。例如，到2510年，人口達(dá)2×1014個，即使海洋全部變成陸地，每人也只有9.3平方英尺的活動范圍，而到2670年，人口達(dá)36×1015個，只好一個人站在另一人的肩上排成二層了。故馬爾薩斯模型是不完善的。幾何級數(shù)的增長Malthus模型實(shí)際上只有在群體總數(shù)不太大時才合理，到總數(shù)增大時，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競爭等現(xiàn)象。所以Malthus模型假設(shè)的人口凈增長率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。第七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代可用于短期人口增長預(yù)測不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律不能預(yù)測較長期的人口增長過程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)第八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)第九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)第十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報，必須先估計(jì)模型參數(shù)r或r,xm利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位~百萬）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專家估計(jì)阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1繼續(xù)第十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三最小二乘法設(shè)經(jīng)實(shí)際測量已得到n組數(shù)據(jù)（xi,yi），i=1,…,n。將數(shù)據(jù)畫在平面直角坐標(biāo)系中，見圖。如果建模者判斷這n個點(diǎn)很象是分布在某條直線附近，令該直線方程為y=ax+b，進(jìn)而利用數(shù)據(jù)來求參數(shù)a和b。由于該直線只是數(shù)據(jù)近似滿足的關(guān)系式，故yi-(axi+b)=0一般不成立，但我們希望最小此式對a和b的偏導(dǎo)數(shù)均為0，解相應(yīng)方程組，求得：y=ax+byO(xi,yi)x其中和分別為xi和yi的平均值

如果建模者判斷變量間的關(guān)系并非線性關(guān)系而是其他類型的函數(shù)，則可作變量替換使之轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系或用類似方法擬合。第十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三用MATLAB作線性最小二乘擬合1.作多項(xiàng)式f(x)=a1xm+…+amx+am+1擬合,可利用已有程序:a=polyfit(x,y,m)輸出擬合多項(xiàng)式系數(shù)a=[a1,…am,

am+1](數(shù)組)）輸入同長度的數(shù)組X，Y擬合多項(xiàng)式次數(shù)第十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三1.lsqcurvefit已知數(shù)據(jù)點(diǎn)：xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan），ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）

用MATLAB作非線性最小二乘擬合Matlab的提供了兩個求非線性最小二乘擬合的函數(shù)：lsqcurvefit和lsqnonlin。兩個命令都要先建立M-文件fun.m，在其中定義函數(shù)f(x)，但兩者定義f(x)的方式是不同的,可參考例題.

lsqcurvefit用以求含參量x（向量）的向量值函數(shù)F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F(xiàn)（x，xdatan））T中的參變量x(向量),使得

第十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三

輸入格式為:(1)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata);(2)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options);(3)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options,’grad’);(4)[x,options]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…);(5)[x,options,funval]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…);(6)[x,options,funval,Jacob]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…);fun是一個事先建立的定義函數(shù)F(x,xdata)的M-文件,自變量為x和xdata說明：x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options);迭代初值已知數(shù)據(jù)點(diǎn)選項(xiàng)見無約束優(yōu)化第十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三

lsqnonlin用以求含參量x（向量）的向量值函數(shù)

f(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x))T

中的參量x，使得

最小。其中fi（x）=f（x，xdatai，ydatai）=F(x,xdatai)-ydatai

2.lsqnonlin已知數(shù)據(jù)點(diǎn)：xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan）ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）第十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三輸入格式為：1）x=lsqnonlin（‘fun’，x0）；2）x=lsqnonlin（‘fun’，x0，options）；3）x=lsqnonlin（‘fun’，x0，options，‘grad’）；4）[x，options]=lsqnonlin（‘fun’，x0，…）；5）[x，options，funval]=lsqnonlin（‘fun’，x0，…）；說明：x=lsqnonlin（‘fun’，x0，options）；fun是一個事先建立的定義函數(shù)f(x)的M-文件，自變量為x迭代初值選項(xiàng)有無約束優(yōu)化第十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三

例用下面一組數(shù)據(jù)擬合中的參數(shù)a，b，k該問題即解最優(yōu)化問題：第十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三

1）編寫M-文件curvefun1.m

functionf=curvefun1(x,tdata)f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)%其中x(1)=a;x(2)=b；x(3)=k;2）輸入命令tdata=100:100:1000cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];x0=[0.2,0.05,0.05];x=lsqcurvefit('curvefun1',x0,tdata,cdata)f=curvefun1(x,tdata)

F(x，tdata)=，x=(a，b，k)解法1.用命令lsqcurvefit第十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三3）運(yùn)算結(jié)果為：f=0.00430.00510.00560.00590.00610.00620.00620.00630.00630.0063x=0.0063-0.00340.25424）結(jié)論：a=0.0063,b=-0.0034,k=0.2542返回第二十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三模型檢驗(yàn)用模型計(jì)算2000年美國人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為281.4(百萬)模型應(yīng)用——預(yù)報美國2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的售量)阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0第二十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三模型檢驗(yàn)

用Logistic模型來描述種群增長的規(guī)律效果如何呢？1945年克朗皮克（Crombic）做了一個人工飼養(yǎng)小谷蟲的實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)生物學(xué)家高斯（E·F·Gauss）也做了一個原生物草履蟲實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果都和Logistic曲線十分吻合。

大量實(shí)驗(yàn)資料表明用Logistic模型來描述種群的增長，效果還是相當(dāng)不錯的。例如，高斯把5只草履蟲放進(jìn)一個盛有0.5cm3營養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開始時草履蟲以每天230.9%的速率增長，此后增長速度不斷減慢，到第五天達(dá)到最大量375個，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲線：

幾乎完全吻合，見圖3.6。

圖3-6第二十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三Malthus模型和Logistic模型的總結(jié)

Malthus模型和Logistic模型均為對微分方程（3.7）所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長率r為一常數(shù)，（r被稱為該種群的內(nèi)稟增長率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個競爭項(xiàng)。

用模擬近似法建立微分方程來研究實(shí)際問題時必須對求得的解進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否與實(shí)際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對模型進(jìn)行修改。Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長情況而建立的，但它們也可用來研究其他實(shí)際問題，只要這些實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可，下面我們來看兩個較為有趣的實(shí)例。第二十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三年齡分布對于人口預(yù)測的重要性只考慮自然出生與死亡，不計(jì)遷移人口發(fā)展方程第二十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三人口發(fā)展方程一階偏微分方程第二十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三例2:傳染病模型問題描述傳染病的傳播過程分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律預(yù)報傳染病高潮到來的時刻預(yù)防傳染病蔓延的手段按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型第二十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三已感染人數(shù)(病人)i(t)每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為模型1假設(shè)若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?第二十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為2）每個病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病建模~日接觸率SI模型第二十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻(日接觸率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大第二十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)SIS模型3）病人每天治愈的比例為~日治愈率建模~日接觸率1/~感染期~一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。第三十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三1-1/idi/dt01>1i0i00ti>11-1/i0i0t1di/dt<0第三十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三接觸數(shù)=1~閾值如果感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù),患者就會全部治愈。第三十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SIR模型假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率,日治愈率,

接觸數(shù)=/建模需建立的兩個方程第三十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三模型4SIR模型無法求出的解析解在相平面上研究解的性質(zhì)第三十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三模型4消去dtSIR模型相軌線的定義域相軌線11si0D在D內(nèi)作相軌線的圖形，進(jìn)行分析第三十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三si101DSIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)單調(diào)降至01/~閾值P3P4P2S0第三十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三模型4SIR模型預(yù)防傳染病蔓延的手段(日接觸率)衛(wèi)生水平(日治愈率)醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/降低s0提高r0提高閾值1/降低(=/),群體免疫第三十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三的估計(jì)第三十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計(jì)記被傳染人數(shù)比例x<<s0i0P1i00,s01小,s01提高閾值1/降低被傳染人數(shù)比例xs0-1/=第三十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三例3：正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān)建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會領(lǐng)域的實(shí)際問題提供了可借鑒的示例第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預(yù)測戰(zhàn)役結(jié)局的模型第四十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三一般模型每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比甲乙雙方的增援率為u(t),v(t)f,g

取決于戰(zhàn)爭類型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假設(shè)模型第四十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三正規(guī)戰(zhàn)爭模型甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力雙方均以正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn)忽略非戰(zhàn)斗減員假設(shè)沒有增援f(x,y)=ay,a~乙方每個士兵的殺傷率a=rypy,ry~射擊率，

py~命中率第四十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三0正規(guī)戰(zhàn)爭模型為判斷戰(zhàn)爭的結(jié)局，不求x(t),y(t)而在相平面上討論x與y的關(guān)系平方律模型乙方勝第四十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三游擊戰(zhàn)爭模型雙方都用游擊部隊(duì)作戰(zhàn)甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加忽略非戰(zhàn)斗減員假設(shè)沒有增援f(x,y)=cxy,c~乙方每個士兵的殺傷率c=rypyry~射擊率py~命中率py=sry/sxsx~甲方活動面積sry~乙方射擊有效面積第四十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三0游擊戰(zhàn)爭模型線性律模型第四十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三0混合戰(zhàn)爭模型甲方為游擊部隊(duì)，乙方為正規(guī)部隊(duì)乙方必須10倍于甲方的兵力設(shè)x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)第四十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三微分方程的解析解

求微分方程（組）的解析解命令:dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…‘方程n’,‘初始條件’,‘自變量’)結(jié)果：u=tg(t-c)第四十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三解

輸入命令:y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')結(jié)果為:y=3e-2xsin（5x）第四十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三解輸入命令：

[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z','t')；x=simple(x)%將x化簡y=simple(y)z=simple(z)結(jié)果為：x=(c1-c2+c3+c2e-3t-c3e-3t)e2t

y=-c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2tz=(-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t

第四十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三微分方程的數(shù)值解（一）常微分方程數(shù)值解的定義

在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很復(fù)雜且大多得不出一般解。而在實(shí)際上對初值問題，一般是要求得到解在若干個點(diǎn)上滿足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個滿足精確度要求的便于計(jì)算的表達(dá)式。因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的。第五十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三（二）建立數(shù)值解法的一些途徑1、用差商代替導(dǎo)數(shù)

若步長h較小，則有故有公式：此即歐拉法。第五十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三2、使用數(shù)值積分對方程y’=f(x,y),兩邊由xi到xi+1積分，并利用梯形公式，有：實(shí)際應(yīng)用時，與歐拉公式結(jié)合使用：此即改進(jìn)的歐拉法。故有公式：第五十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三3、使用泰勒公式

以此方法為基礎(chǔ)，有龍格-庫塔法、線性多步法等方法。4、數(shù)值公式的精度

當(dāng)一個數(shù)值公式的截?cái)嗾`差可表示為O（hk+1）時（k為正整數(shù)，h為步長），稱它是一個k階公式。k越大，則數(shù)值公式的精度越高。歐拉法是一階公式，改進(jìn)的歐拉法是二階公式。龍格-庫塔法有二階公式和四階公式。線性多步法有四階阿達(dá)姆斯外插公式和內(nèi)插公式。第五十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三（三）用Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）ode45ode23ode113ode15sode23s由待解方程寫成的m-文件名ts=[t0，tf]，t0、tf為自變量的初值和終值函數(shù)的初值ode23：組合的2/3階龍格-庫塔-芬爾格算法ode45：運(yùn)用組合的4/5階龍格-庫塔-芬爾格算法自變量值函數(shù)值用于設(shè)定誤差限(缺省時設(shè)定相對誤差10-3,絕對誤差10-6),命令為：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）,rt，at：分別為設(shè)定的相對誤差和絕對誤差.第五十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三

1、在解n個未知函數(shù)的方程組時，x0和x均為n維向量，m-文件中的待解方程組應(yīng)以x的分量形式寫成.

2、使用Matlab軟件求數(shù)值解時，高階微分方程必須等價地變換成一階微分方程組.注意:第五十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三解:令y1=x，y2=y1’1、建立m-文件vdp1000.m如下：

functiondy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);

2、取t0=0，tf=3000，輸入命令：[T,Y]=ode15s('vdp1000',[03000],[20]);plot(T,Y(:,1),'-')3、結(jié)果如圖第五十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三解

1、建立m-文件rigid.m如下：functiondy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，輸入命令：[T,Y]=ode45('rigid',[012],[011]);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')3、結(jié)果如圖圖中，y1的圖形為實(shí)線，y2的圖形為“*”線，y3的圖形為“+”線.第五十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三穩(wěn)定性問題

在研究許多實(shí)際問題時，人們最為關(guān)心的也許并非系統(tǒng)與時間有關(guān)的變化狀態(tài)，而是系統(tǒng)最終的發(fā)展趨勢。例如，在研究某頻危種群時，雖然我們也想了解它當(dāng)前或今后的數(shù)量，但我們更為關(guān)心的卻是它最終是否會絕滅，用什么辦法可以拯救這一種群，使之免于絕種等等問題。要解決這類問題，需要用到微分方程或微分方程組的穩(wěn)定性理論。在下兩節(jié)，我們將研究幾個與穩(wěn)定性有關(guān)的問題。第五十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三一般的微分方程或微分方程組可以寫成：定義稱微分方程或微分方程組為自治系統(tǒng)或動力系統(tǒng)。（3.28）

若方程或方程組f(x)=0有解Xo，X=Xo顯然滿足（3.28）。稱點(diǎn)Xo為微分方程或微分方程組（3.28)的平衡點(diǎn)或奇點(diǎn)。第五十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三例7Logistic模型共有兩個平衡點(diǎn)：N=0和N=K，分別對應(yīng)微分方程的兩兩個特殊解。前者為No=0時的解而后者為No=K時的解。

當(dāng)No<K時，積分曲線N=N(t)位于N=K的下方；當(dāng)No>K時，則位于N=K的上方。從圖3-17中不難看出，若No>0，積分曲線在N軸上的投影曲線（稱為軌線）將趨于K。這說明，平衡點(diǎn)N=0和N=K有著極大的區(qū)別。圖3-17

定義1自治系統(tǒng)的相空間是指以（x1,…,xn）為坐標(biāo)的空間Rn。特別，當(dāng)n=2時，稱相空間為相平面?？臻gRn的點(diǎn)集{(x1,…,xn)}|xi=xi(t)滿足(3.28)，i=1,…,n}稱為系統(tǒng)的軌線，所有軌線在相空間的分布圖稱為相圖。第六十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三定義2設(shè)x0是（3.28）的平衡點(diǎn)，稱：（1）x0是穩(wěn)定的，如果對于任意的ε>0，存在一個δ>0，只要|x(0)-x0|<δ，就有|x(t)-x0|<ε對所有的t都成立。（2）x0是漸近穩(wěn)定的，如果它是穩(wěn)定的且。

微分方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性除了幾何方法，還可以通過解析方法來討論，所用工具為以下一些定理。（3）x0是不穩(wěn)定的，如果（1）不成立。根據(jù)這一定義，Logistic方程的平衡點(diǎn)N=K是穩(wěn)定的且為漸近穩(wěn)定的，而平衡點(diǎn)N=0則是不穩(wěn)定的。第六十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三解析方法定理1設(shè)xo是微分方程的平衡點(diǎn)：若,則xo是漸近穩(wěn)定的若,則xo是漸近不穩(wěn)定的證由泰勒公式，當(dāng)x與xo充分接近時，有：由于xo是平衡點(diǎn)，故f(xo)=0。若，則當(dāng)x<xo時必有f(x)>0，從而x單增；當(dāng)x>xo時，又有f(x)<0，從而x單減。無論在哪種情況下都有x→xo，故xo是漸進(jìn)穩(wěn)定的。的情況可類似加以討論。高階微分方程與高階微分方程組平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性討論較為復(fù)雜，大家有興趣可參閱微分方程定性理論。為了下兩節(jié)的需要，我們簡單介紹一下兩階微分方程組平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性判別方法。第六十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三考察兩階微分方程組：（3.29）

令，作一坐標(biāo)平移，不妨仍用x記x’，則平衡點(diǎn)xo的穩(wěn)定性討論轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)的穩(wěn)定性討論了。將f(x1,x2)、g(x1,x2)在原點(diǎn)展開，（3.29）又可寫成:考察（3.29）的線性近似方程組:（3.30）其中：第六十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三記λ1、λ2為A的特征值則λ1、λ2是方程：det（A-λI）=λ2-(a+b)λ+(ad–bc)=0的根令p=a+d,q=ad-bc=|A|，則，記。討論特征值與零點(diǎn)穩(wěn)定的關(guān)系（1）若△>0，可能出現(xiàn)以下情形：

①若q>0，λ1λ2>0。當(dāng)p>0時，零點(diǎn)不穩(wěn)定；當(dāng)p<0時，零點(diǎn)穩(wěn)定若q<0，λ1λ2<0零點(diǎn)為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)③q=0，此時λ1=p，λ2=0，零點(diǎn)不穩(wěn)定。（2）△=0，則λ1=λ2:當(dāng)p>0時，零點(diǎn)不穩(wěn)定當(dāng)p<0時，零點(diǎn)穩(wěn)定第六十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三（2）△<0，此時若a<0，零點(diǎn)穩(wěn)定,a>0,零點(diǎn)不穩(wěn)定若a=0，有零點(diǎn)為中心的周期解綜上所述：僅當(dāng)p<0且q>0時，（3.30）零點(diǎn)才是漸近穩(wěn)定的；當(dāng)p=0且q>0時（3.30）有周期解，零點(diǎn)是穩(wěn)定的中心（非漸近穩(wěn)定）；在其他情況下，零點(diǎn)均為不穩(wěn)定的。非線性方程組（3.29）平衡點(diǎn)穩(wěn)定性討論可以證明有下面定理成立:定理2若（3.30）的零點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的，則（3.29）的平衡點(diǎn)也是漸近穩(wěn)定的；若（3.30）的零點(diǎn)是不穩(wěn)定的，則（3.29）的平衡點(diǎn)也是不穩(wěn)定的。第六十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三捕食系統(tǒng)的Volterra方程

問題背景：

意大利生物學(xué)家D’Ancona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究，在研究過程中他無意中發(fā)現(xiàn)了一些第一次世界大戰(zhàn)期間地中海沿岸港口捕獲的幾種魚類占捕獲總量百分比的資料，從這些資料中他發(fā)現(xiàn)各種軟骨掠肉魚，如鯊魚、鰩魚等我們稱之為捕食者（或食肉魚）的一些不是很理想的魚類占總漁獲量的百分比。在1914~1923年期間，意大利阜姆港收購的魚中食肉魚所占的比例有明顯的增加：年代19141915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.810.7他知道，捕獲的各種魚的比例近似地反映了地中海里各種魚類的比例。戰(zhàn)爭期間捕魚量大幅下降，但捕獲量的下降為什么會導(dǎo)致鯊魚、鰩魚等食肉魚比例的上升，即對捕食者有利而不是對食餌有利呢？他百思不得其解，無法解釋這一現(xiàn)象，就去求教當(dāng)時著名的意大利數(shù)學(xué)家V.Volterra，希望他能建立一個數(shù)學(xué)模型研究這一問題。第六十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三Volterra將魚劃分為兩類。一類為食用魚（食餌），數(shù)量記為x1(t)，另一類為食肉魚（捕食者），數(shù)量記為x2(t)，并建立雙房室系統(tǒng)模型。1、模型建立大海中有食用魚生存的足夠資源，可假設(shè)食用魚獨(dú)立生存將按增長率為r1的指數(shù)律增長（Malthus模型），既設(shè)：由于捕食者的存在，食用魚數(shù)量因而減少，設(shè)減少的速率與兩者數(shù)量的乘積成正比（競爭項(xiàng)的統(tǒng)計(jì)籌算律），即：對于食餌（Prey）系統(tǒng)：λ1反映了捕食者掠取食餌的能力第六十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三對于捕食者（Predator）系統(tǒng)：捕食者設(shè)其離開食餌獨(dú)立存在時的死亡率為r2，即：但食餌提供了食物，使生命得以延續(xù)。這一結(jié)果也要通過競爭來實(shí)現(xiàn)，再次利用統(tǒng)計(jì)籌算律，得到：綜合以上分析，建立P-P模型（Volterra方程）的方程組：（3.31）方程組（3.31）反映了在沒有人工捕獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的相互制約關(guān)系。下面我們來分析該方程組。第六十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三2、模型分析方程組（3.31）是非線性的，不易直接求解。容易看出，該方程組共有兩個平衡點(diǎn)，即：Po(0,0)是平凡平衡點(diǎn)且明顯是不穩(wěn)定，沒必要研究方程組還有兩組平凡解：和和所以x1、x2軸是方程組的兩條相軌線。當(dāng)x1(0)、x2(0)均不為零時，，應(yīng)有x1(t)>0且x2(t)>0，相應(yīng)的相軌線應(yīng)保持在第一象限中。第六十九頁，共七十