第二章·解析幾何初步空間兩點間的距離公式北師大版·統(tǒng)編教材高中數(shù)學必修2新課學習我們知道，數(shù)軸上兩點的距離是兩點的坐標之差的絕對值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐標系中，兩點的距離是

，同學們想一下，在空間直角坐標系中，如果已知兩點的坐標，如何求它們之間的距離呢?新課學習（1）長方體的對角線及其長的計算公式①連接長方體兩個頂點A，C′的線段AC′稱為長方體的對角線。(如圖)②如果長方體的長、寬、高分別為a、b、c，那么對角線長新課學習1.就推導過程而言，其應用了把空間長度向平面長度轉化的思想，即通過構造輔助平面，將空間問題降維到平面中處理。2.就公式而言，該公式可概括為：長方體的對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和。注意：新課學習（2）兩點間的距離公式空間兩點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)間的距離注意：①空間中兩點間的距離公式是數(shù)軸上和平面上兩點間距離公式的進一步推廣。a.當空間中的任意兩點P1，P2落在同一坐標平面內(nèi)或與坐標平面平行的平面內(nèi)時，此公式可轉化為平面直角坐標系中的兩點間的距離公式；b.當空間中的任意兩點P1，P2落在同一坐標軸上時，則該公式轉化為數(shù)軸上兩點間的距離公式。②空間任意一點P(x0，y0，z0)與原點的距離新課學習如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，點M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且為D1C中點，求M、N兩點間的距離。新課學習如圖分別以AB，AD，AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系。由題意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，∵N為CD1的中點，∴NM是A1C1的三分之一分點且靠近A1點，∴M(1,1,2)。由兩點間距離公式，得新課學習思考：怎么求空間兩點間的距離？解：求空間兩點間的距離時，一般使用空間兩點間的距離公式，應用公式的關鍵在于建立適當?shù)淖鴺讼担_定兩點的坐標。確定點的坐標的方法視具體題目而定，一般說來，要轉化到平面中求解，有時也利用幾何圖形的特征，結合平面直角坐標系的知識確定。隨堂練習例1已知△ABC的三個頂點A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)。求△ABC中最短邊的邊長。解：由空間兩點間距離公式得：∴△ABC中最短邊是BC，其長度為隨堂練習例2在z軸上求一點使得它到點A(4,5,6)與到點B(－5,0,10)的距離相等。解：由題意可知，設該點的坐標P為(0,0，z)，則又|PA|＝|PB|，所以z＝6，所以所求點的坐標為(0,0,6)。隨堂練習1.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為面A1B1C1D1的中心，求證：AP⊥PB1(用坐標法)。解析：如圖所示，建立空間直角坐標系。隨堂練習以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則A(1,0,0)，B1(1,1,1)，P，由兩點間的距離公式，可得∴|AP|2＋|PB1|2＝|AB1|2，∴AP⊥PB1隨堂練習2.已知點P到坐標原點的距離等于2，且它的x坐標、y坐標、z坐標均相等，求該點的坐標。解：

由題意可知P點的坐標為(x，y，z)。所以又x＝y(tǒng)＝z，所以所以x＝y(tǒng)＝z＝2或x＝y(tǒng)＝z＝－2。所以該點的坐標為(2,2,2)或(－2，－2，－2)。新課學習（1）長方體的對角線及其長的計算公式①連接長方體兩個頂點A，C′的線段AC′稱為長方體的對角線。(如圖)②如果長方體的長、寬、高分別為a、b、c，那么對角線長新課學習（2）兩點間的距離公式空間兩點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)間的距離注意：①空間中兩點間的距離公式是數(shù)軸上和平面上兩點間距離公式的進一步推廣。a.當空間中的任意兩點P1，P2落在同一坐標平面內(nèi)或與坐標平面平行的平面內(nèi)時，此