第第頁(yè)天津市高三下學(xué)期(理科)數(shù)學(xué)模擬考試卷附答案解析班級(jí):___________姓名：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知全集，集合和，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)，則“且”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．學(xué)校組織班級(jí)知識(shí)競(jìng)賽，某班的12名學(xué)生的成績(jī)（單位：分）分別是：則這12名學(xué)生成績(jī)的分位數(shù)是（

）．A．92 B．87 C．93 D．914．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．5．設(shè)的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，若，則展開式的系數(shù)為A． B． C． D．6．設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)的圖象如圖所示，將的圖象向右平移個(gè)單位，使新函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．在雙曲線中虛軸長(zhǎng)為6，且雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的方程是（

）A． B．C． D．9．設(shè)集合和，函數(shù)，若，且，則的取值范圍是A． B． C． D．二、填空題10．已知，則___________．11．兩圓和相交于兩點(diǎn)，則公共弦的長(zhǎng)為__________.12．已知正方體的棱長(zhǎng)為，其內(nèi)有2個(gè)不同的小球，球與三棱錐的四個(gè)面都相切，球與三棱錐的三個(gè)面和球都相切，則球的體積等于______，球的表面積等于______．13．當(dāng)時(shí)的最小值為______14．在中點(diǎn)滿足，且對(duì)于邊上任意一點(diǎn)，恒有.則______.三、雙空題15．從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件為“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件為“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則為__________，為__________．四、解答題16．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值與最小值．17．如圖，四棱錐中平面平面是中點(diǎn)，是上一點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)（i）證明：平面；（ii）求直線與平面所成角的正弦值；(2)平面與平面夾角的余弦值為，求的值.18．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為和，過(guò)作斜率為的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且與軸垂直.(1)求橢圓的離心率；(2)若三角形的面積為，求橢圓的方程.19．在數(shù)列中，（，）.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．已知函數(shù)(1)若函數(shù)在處的切線也是函數(shù)圖象的一條切線，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)的圖象恒在直線的下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若，且，判斷與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.參考答案與解析1．C【分析】利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合.【詳解】由已知可得，因此，.故選：C.2．A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行推理即可.【詳解】若且，則，充分性成立；取，則成立，但“且”不成立，必要性不成立.因此“且”是“”的充分不必要條件.故選：A.3．C【分析】根據(jù)百分位數(shù)的概念，計(jì)算，即可求得答案.【詳解】因?yàn)楣实姆治粩?shù)是故選：C4．B【分析】通過(guò)函數(shù)的奇偶性可排除AC，通過(guò)時(shí)函數(shù)值的符號(hào)可排除D，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】令，其定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱所以函數(shù)為奇函數(shù)，即圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除AC當(dāng)時(shí)，和，即，故排除D故選：B.5．B【分析】分別求出展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和和二項(xiàng)式系數(shù)之和為，根據(jù)求出的值，進(jìn)而寫出通項(xiàng)，求出展開式的系數(shù).【詳解】中令得展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式得二項(xiàng)式系數(shù)之和，所以，解得的展開式的通項(xiàng)為：令得，故展開式中的系數(shù)為故選：B.6．B【分析】利用冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合“媒介”數(shù)比較大小作答.【詳解】則有，所以.故選：B7．D【分析】由可求得，由此可得平移后的解析式，根據(jù)平移后為偶函數(shù)可構(gòu)造方程，結(jié)合可求得最小值.【詳解】由圖象可知；，，又；，解得：，；為偶函數(shù)解得：，又當(dāng)時(shí).故選：D.8．B【分析】將橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程求出其焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)雙曲線虛軸長(zhǎng)度為6，即可求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；易得橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為又因?yàn)殡p曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，所以雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且由雙曲線虛軸長(zhǎng)為6可知，所以；所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.9．B【解析】根據(jù)，根據(jù)函數(shù)解析式，即可求出的取值范圍.【詳解】根據(jù)函數(shù)解析式，可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)因?yàn)?，故可得，解得又因?yàn)?，故令，解?故.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由分段函數(shù)的函數(shù)值范圍求解自變量范圍的問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題.10．2【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法可求得z,即可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法即可得答案.【詳解】由題意得，故所以故答案為：211．##【分析】根據(jù)已知條件聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.【詳解】由，解得，或所以不妨取兩圓的交點(diǎn)為所以.故答案為.12．

【分析】由題意可知三棱錐是邊長(zhǎng)為的正四面體,則球是三棱錐的內(nèi)切球,設(shè)其半徑為,由，可知,設(shè)平面平面,且球和球均與平面相切于點(diǎn),則球是正四面體的內(nèi)切球,設(shè)其半徑為,則,最后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為所以三棱錐是邊長(zhǎng)為的正四面體,的高為設(shè)底面的中心為,連接,則則球是三棱錐的內(nèi)切球,設(shè)其半徑為則有所以所以球的體積為又球與三棱錐的三個(gè)面和球都相切則設(shè)平面平面,且球和球均與平面相切于點(diǎn),如下圖所示則球是三棱錐的內(nèi)切球,設(shè)其半徑為故因此在正四面體中,所以球的表面積為故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐內(nèi)切球的綜合問(wèn)題,考查學(xué)生的空間思維及想象能力,有一定難度.13．5【解析】根據(jù)基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)樗裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：5【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.14．0【分析】以為原點(diǎn)，為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，可得，由此列方程求得，可得，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，建立直角坐標(biāo)系設(shè)則因?yàn)樗越獾盟怨蚀鸢笧?.【點(diǎn)睛】平面向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，涉及幾何圖形的問(wèn)題以及最值問(wèn)題時(shí)往往先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題或函數(shù)問(wèn)題，可起到化繁為簡(jiǎn)的妙用．15．

##0.4

##0.25【分析】根據(jù)條件概率和古典概型概率計(jì)算公式可得答案.【詳解】從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，有10種情況事件A有4種情況，事件有1種情況所以.故答案為：①；②.16．(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)時(shí)有最大值，時(shí)有最小值.【分析】（1）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，利用整體代入的方法求得的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)函數(shù)的關(guān)系式，利用函數(shù)的定義域確定函數(shù)的最大和最小值．【詳解】（1）由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；由，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為（2），時(shí)當(dāng)即時(shí)有最大值；當(dāng)即時(shí)有最小值17．(1)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）(2)【分析】（1）（i）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)點(diǎn)作面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量和直線的方向向量，證得，即可證明平面；（ii）求直線的方向向量，由線面角的向量公式代入即可得出答案.（2）設(shè)，求平面與平面的法向量，由二面角的向量公式可求出，即可求出的值.【詳解】（1）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)點(diǎn)作面的垂線為軸，則由題意可得由，及即可得.（i）設(shè)平面的一個(gè)法向量為則解得令，得是平面的一個(gè)法向量.因?yàn)樗?又平面所以平面.（ii）由（i）可得所以直線與平面所成角的正弦值為.（2）設(shè)則設(shè)是平面的一個(gè)法向量則取，則是平面的一個(gè)法向量則解得或（舍去）.所以.18．(1)(2)【分析】（1）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)可得出關(guān)于、的齊次等式，即可解得該橢圓的離心率的值；（2）由（1）可得出橢圓的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式可求得的值，即可得出橢圓的方程.【詳解】（1）解：將代入橢圓的方程可得，解得因?yàn)橹本€的斜率為，易知點(diǎn)所以，，所以，等式兩邊同時(shí)除以可得因?yàn)?，解?因此，該橢圓的離心率為.（2）解：由（1）知，故橢圓方程為由題意，則直線的方程為聯(lián)立，消去并化簡(jiǎn)可得，顯然設(shè)點(diǎn)和，解得或故點(diǎn)所以，，解得因此，橢圓的方程為.19．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明；（2）用分組求和法計(jì)算．【詳解】（1）在數(shù)列中，（，）所以則數(shù)列是以為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）得，所以，則所以20．(1)(2)(3)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算，，得到切線方程，設(shè)出與的切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)斜率和截距相等，從而求出的值；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出的范圍即可；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到，整理變形即可.【詳解】（1），在處切線斜率