9.13立體幾何的綜合問題●知識(shí)梳理1.線與線、線與面、面與面間的平行、垂直關(guān)系.2.空間角與空間距離.3.柱、錐、球的面積與體積.4.平面圖形的翻折，空間向量的應(yīng)用.●點(diǎn)擊雙基1.若Rt△ABC的斜邊BC在平面α內(nèi)，頂點(diǎn)A在α外，則△ABC在α上的射影是A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.一條線段或一鈍角三角形解析：當(dāng)平面ABC⊥α?xí)r，為一條線段，結(jié)合選擇肢，知選D.答案：D2.長方體AC1的長、寬、高分別為3、2、1，從A到C1沿長方體的表面的最短距離為A.1+ B.2+ C.3 D.2解析：求表面上最短距離常把圖形展成平面圖形.答案：C3.設(shè)長方體的對(duì)角線長為4，過每個(gè)頂點(diǎn)的三條棱中總有兩條棱與對(duì)角線的夾角為60°，則長方體的體積是A.27 B.8 C.8 D.16解析：先求出長方體的兩條棱長為2、2，設(shè)第三條棱長為x，由22+22+x2=42x=2，∴V=2×2×2=8.答案：B4.棱長為a的正方體的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積是_____________.解析：易知球的直徑2R=a.所以R=a.所以V=R3=a3.答案：a35.已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），則△ABC的面積是_____________.解析：=（1，1，1），=（2，1，3），cos〈，〉==，∴sinA=.∴S=||||sinA=··=.答案：●典例剖析【例1】在直角坐標(biāo)系O—xyz中，=（0，1，0），=（1，0，0），=（2，0，0），=（0，0，1）.（1）求與的夾角α的大小；（2）設(shè)n=（1，p，q），且n⊥平面SBC，求n；（3）求OA與平面SBC的夾角；（4）求點(diǎn)O到平面SBC的距離；（5）求異面直線SC與OB間的距離.解：（1）如圖，=－=（2，0，－1），=+=（1，1，0），則||==，||==.cosα=cos〈，〉===，α=arccos.（2）∵n⊥平面SBC，（2）∵n⊥平面SBC，∴n⊥且n⊥，即n·=0.∵=（2，0，－1），=－=（1，－1，0），即n=（1，1，2）.∴∴2－q=0，p=1，即n=（1，1，2）.∴∴1－p=0.q=2，（3）OA與平面SBC所成的角θ和OA與平面SBC的法線所夾角互余，故可先求與n所成的角.=（0，1，0），||=1，|n|==.∴cos〈，n〉===，即〈，n〉=arccos.∴θ=－arccos.（4）點(diǎn)O到平面SBC的距離即為在n上的投影的絕對(duì)值，∴d=|·|==.（5）在異面直線SC、OB的公垂線方向上的投影的絕對(duì)值即為兩條異面直線間的距離，故先求與SC、OB均垂直的向量m.設(shè)m=（x，y，1），m⊥且m⊥，則m·=0，且m·=0.即∴ 2x－1=0，x=，即∴x+y=0，y=－.∴m=（，－，1），d′=|·|==.特別提示借助于平面的法向量，可以求斜線與平面所成的角，求點(diǎn)到平面的距離，類似地可以求異面直線間的距離.本題選題的目的是復(fù)習(xí)如何求平面的法向量，以及如何由法向量求角、求距離.【例2】如圖，已知一個(gè)等腰三角形ABC的頂角B=120°，過AC的一個(gè)平面α與頂點(diǎn)B的距離為1，根據(jù)已知條件，你能求出AB在平面α上的射影AB1的長嗎?如果不能，那么需要增加什么條件，可以使AB1=2?解：在條件“等腰△ABC的頂角B=120°”下，△ABC是不能唯一確定的，這樣線段AB1也是不能確定的，需要增加下列條件之一，可使AB1=2：①CB1=2；②CB=或AB=；③直線AB與平面α所成的角∠BAB1=arcsin；④∠ABB1=arctan2；⑤∠B1AC=arccos；⑥∠AB1C=π－arccos；⑦AC=；⑧B1到AC的距離為；⑨B到AC的距離為；⑩二面角B—AC—B1為arctan2等等.思考討論本題是一個(gè)開放型題目，做這類題的思維是逆向的，即若AB1=2，那么能夠推出什么結(jié)果，再回過來考慮根據(jù)這一結(jié)果能否推出AB1=2.【例3】（2004年春季北京）如圖，四棱錐S—ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=，（1）求證：BC⊥SC；（2）求面ASD與面BSC所成二面角的大小；（3）設(shè)棱SA的中點(diǎn)為M，求異面直線DM與SB所成角的大小.剖析：本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.（1）證法一：∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥DC.∵SD⊥底面ABCD，∴DC是SC在平面ABCD上的射影.由三垂線定理得BC⊥SC.證法二：∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥DC.∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥BC.又DC∩SD=D，∴BC⊥平面SDC.∴BC⊥SC.（2）解法一：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD為正方形，∴可以把四棱錐S—ABCD補(bǔ)形為長方體A1B1C1S—ABCD，如上圖，面ASD與面BSC所成的二面角就是面ADSA1與面BCSA1所成的二面角，∵SC⊥BC，BC∥A1S，∴SC⊥A1S又SD⊥A1S，∴∠CSD為所求二面角的平面角.在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，在Rt△SDC中，由勾股定理得SD=1.∴∠CSD=45°，即面ASD與面BSC所成的二面角為45°.解法二：如下圖，過點(diǎn)S作直線l∥AD，∴l(xiāng)在面ASD上.∵底面ABCD為正方形，∴l(xiāng)∥AD∥BC.∴l(xiāng)在面BSC上.∴l(xiāng)為面ASD與面BSC的交線.∵SD⊥AD，BC⊥SC，∴l(xiāng)⊥SD，l⊥SC.∴∠CSD為面ASD與面BSC所成二面角的平面角.（以下同解法一）.（3）解法一：如上圖，∵SD=AD=1，∠SDA=90°，∴△SDA是等腰直角三角形.又M是斜邊SA的中點(diǎn)，∴DM⊥SA.∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影.由三垂線定理得DM⊥SB.∴異面直線DM與SB所成的角為90°.解法二：如下圖，取AB的中點(diǎn)P，連結(jié)MP、DP.在△ABS中，由中位線定理得PM∥BS.∴DM與SB所成的角即為∠DMP.又PM2=，DP2=，DM2=.∴DP2=PM2+DM2.∴∠DMP=90°.∴異面直線DM與SB所成的角為90°.●闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.下圖是一個(gè)無蓋的正方體盒子展開后的平面圖，A、B、C是展開圖上的三點(diǎn)，則在正方體盒子中，∠ABC的值為A.180° B.120° C.60° D.45°答案：C2.在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么直線AM與CNA.arccos B.arccos C.arccos D.arccos解法一：∵=+，=+，∴·=（+）·（+）=·=.而||====.同理，||=.如令α為所求之角，則cosα===，∴α=arccos.應(yīng)選D.解法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，把D點(diǎn)視作原點(diǎn)O，分別以、、的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，則A（1，0，0）、M（1，，1）、C（0，1，0）、N（1，1，）.∴=（0，，1），=（1，0，）.故·=0×1+×0+1×=，||==，||==.∴cosα===.∴α=arccos.答案：D3.圖甲是一個(gè)正三棱柱形的容器，高為2a解析：設(shè)正三棱柱的底面積為S，將圖乙豎起得圖丙，則V水=V柱－V=S·2a－（S）·2a=aS.設(shè)圖甲中水面的高度為x，則S·x=aS，得x=a.答案：4.在三棱錐P—ABC中，底面是邊長為2cm的正三角形，PA=PB=3cm，轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)P時(shí)，三棱錐的最大體積為.解析：點(diǎn)P到面ABC距離最大時(shí)體積最大，此時(shí)面PAB⊥面ABC，高PD=2.V=××4×2=.答案：cm35.把長、寬各為4、3的長方形ABCD，沿對(duì)角線AC折成直二面角，求頂點(diǎn)B和頂點(diǎn)D的距離.解：如圖，作BE⊥AC于E，∵二面角B—AC—D為直二面角，BE⊥AC，∴BE⊥平面ADC，DE平面ADC，BE⊥DE.在Rt△ABC中，可得BE=，AE=，在△ADE中，DE2=AE2＋AD2－2AD·AE·cos∠EAD=＋16－2··4·=.在Rt△BDE中，BD=BE2＋ED2=.培養(yǎng)能力6.已知正方形ABCD的邊長為1，分別取邊BC、CD的中點(diǎn)E、F，連結(jié)AE、EF、AF，以AE、EF、FA為折痕，折疊使點(diǎn)B、C、D重合于一點(diǎn)P.（1）求證：AP⊥EF；（2）求證：平面APE⊥平面APF；（3）求異面直線PA和EF的距離.（1）證明：如下圖，∵∠APE=∠APF=90°，PE∩PF=P，∴PA⊥平面PEF.∵EF平面PEF，∴PA⊥EF.（2）證明：∵∠APE=∠EPF=90°，AP∩PF=P，∴PE⊥平面APF.又PE平面PAE，∴平面APE⊥平面APF.（3）解：在面PEF中，作PG⊥EF，垂足為G，∵AP與面PEF垂直，PG平面PEF，∴AP⊥PG，PG⊥EF，PG是AP與EF的公垂線.在等腰Rt△PEF中，PE=PF=，∠EPF=90°，∴PG=EG=.7.（文）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥底面ABCD，PD與底面成30°（1）若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；（2）求異面直線AE與CD所成的角.（1）證明：以A為原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（a，0，0），D（0，2a，0），P（0，0，a），·=（a，0，0）·（0，2a，－a）=0，又·=0，∴⊥，⊥.∴PD⊥BE.（2）解：∵PA⊥面ABCD，PD與底面成30°角，∴∠PDA=30°.過E作EF⊥AD，垂足為F，則AE=a，∠EAF=60°，AF=a，EF=a，∴E（0，a，a）.于是=（0，a，a）.又C（a，a，0），D（0，2a，0），∴CD=（－a，a，0）.cos〈，〉===，∴異面直線AE與CD所成的角是arccos.（1）求證：CM∥面PAD；（2）求證：面PAB⊥面PAD；（3）求點(diǎn)C到平面PAD的距離.分析：本題主要考查空間直角坐標(biāo)系的概念、空間點(diǎn)和向量的坐標(biāo)表示以及用向量法證明平行關(guān)系，同時(shí)考查向量研究空間圖形的數(shù)學(xué)思想方法.如下圖，建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，C為坐標(biāo)原點(diǎn)O，突破點(diǎn)在于求出相關(guān)的向量所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo).（1）證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC為PB與平面ABC所成的角，即∠PBC=30°.∵|PC|=2，∴|BC|=2，|PB|=4.得D（1，0，0）、B（0，2，0）、A（4，2，0）、P（0，0，2）.∵|MB|=3|PM|，∴|PM|=1，M（0，，），=（0，，），=（－1，0，2），=（3，2，0）.設(shè)=x+y（x、y∈R），則（0，，）=x（－1，0，2）+y（3，2，0）x=且y=，∴=+.∴、、共面.又∵C平面PAD，故CM∥平面PAD.（2）證明：過B作BE⊥PA，E為垂足.∵|PB|=|AB|=4，∴E為PA的中點(diǎn).∴E（2，，1），=（2，－，1）.又∵·=（2，－，1）·（3，2，0）=0，∴⊥，即BE⊥DA.而BE⊥PA，∴BE⊥面PAD.∵BE面PAB，∴面PAB⊥面PAD.（3）解：由BE⊥面PAD知，平面PAD的單位向量n0==（2，－，1）.∴CD=（1，0，0）的點(diǎn)C到平面PAD的距離d=|n0·|=|（2，－，1）·（1，0，0）|=.探究創(chuàng)新8.（2003年北京宣武區(qū)二模題）如圖，AB為圓柱OO1的母線，BD為圓柱OO1下底面直徑，AB=BD=2，點(diǎn)C為下底面圓周⊙O上的一點(diǎn)，CD=1.（1）求三棱錐C—ABD的體積；（2）求面BAD與面CAD所成二面角的大?。唬?）求BC與AD所成角的大小.分析：本題主要考查直線、平面的位置關(guān)系，考查圓柱的有關(guān)概念，考查直線、平面所成角的概念及求法，考查空間想象能力和推理能力.解：（1）∵AB為圓柱OO1的母線，∴AB⊥下底面.∴AB為棱錐A—BCD的高.而點(diǎn)C在⊙O上，∴△BCD為直角三角形，∠BCD=90°.∵BD=2，CD=1，∴BC=.∴V三棱錐C—ABD=V三棱錐A—BCD=××1××2=.（2）過B作BE⊥AD，垂足為E，過點(diǎn)B作BF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，連結(jié)EF.由BD為底面圓的直徑，得BC⊥CD.∵AB⊥平面BCD，BC⊥CD，∴AC⊥CD.而AC∩BC=C，∴CD⊥平面ABC.而CD平面ADC，∴平面ABC⊥平面ADC，且它們的交線為AC.∵BF平面ABC，BF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，∴BF⊥平面ACD.而BE⊥AD，AD平面ACD，∴EF⊥AD.平面ABD∩平面ACD=AD，∴∠BEF是面ABD與面ACD所成的二面角的平面角.由BE=AD=，AC=，AB=2，可求出BF=.∴sin∠BEF===.∵∠BEF為銳角，∴∠BEF=arcsin.故所求二面角的大小為arcsin.（3）過點(diǎn)D在下底面作DG∥BC交⊙O于點(diǎn)G，則∠GDA為BC與AD所成的角.連結(jié)BG、AG，由BD是⊙O的直徑，得GD⊥BG，則AG⊥DG，BC=GD.∴cos∠GDA===.∴∠GDA=arccos.∴所求BC與AD所成的角的大小為arccos.●思悟小結(jié)1.利用向量解立體幾何問題，要仔細(xì)分析問題特點(diǎn)，把已知條件用向量表示，把一些待求的量用基向量或其他向量表示，將幾何的位置關(guān)系的證明問題或數(shù)量關(guān)系的運(yùn)算問題轉(zhuǎn)化為典型的向量運(yùn)算，以算代證，以值定形.這種方法可減少復(fù)雜的空間結(jié)構(gòu)分析，使得思路簡捷、方法清晰、運(yùn)算直接，能迅速準(zhǔn)確地解決問題.2.線線垂直、兩異面直線的夾角、兩點(diǎn)間的距離等問題的解決往往借助于向量坐標(biāo).正方體、長方體、底面有一角為直角的直棱柱、底面為菱形的直四棱柱、四棱錐等凡能出現(xiàn)三條兩兩垂直直線的圖形，常常考慮空間直角坐標(biāo)系.3.在綜合問題中，首先要注意是否構(gòu)建直角坐標(biāo)系，能較易建立直角坐標(biāo)系的，盡量建立直角坐標(biāo)系.其次要注意向量運(yùn)算與基本性質(zhì)相結(jié)合的論述，這是今后的方向，可以“形到形”，可以“數(shù)到形”，注意數(shù)形結(jié)合，向量方法與傳統(tǒng)方法各有千秋，相得益彰.必須熟練掌握向量的基本知識(shí)和技能，尤其提出如下幾點(diǎn)：（1）怎樣選擇應(yīng)用基底（不設(shè)直角坐標(biāo)系）和建立直角坐標(biāo)系及坐標(biāo)系建立技巧；（2）法向量的應(yīng)用對(duì)處理角和距離的重要性；（3）怎樣用向量解決立體幾何中的幾大常見題型；（4）準(zhǔn)確判斷是否選用向量處理問題，明確向量解題的缺點(diǎn)；（5）空間向量是怎樣由平面向量拓展而來的.●教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛要給學(xué)生歸納、總結(jié)，使學(xué)生系統(tǒng)地掌握線線、線面、面面的位置關(guān)系，特別是平行與垂直的判定與性質(zhì)，通過對(duì)照，深刻理解異面直線所成的角、斜線與平面所成的角、二面角的平面角，理解點(diǎn)到面的距離、異面直線的距離.通過解題總結(jié)證明立體幾何問題的常見方法，注意培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.拓展題例【例1】已知直線a∥α，且a與α間的距離為d，a在α內(nèi)的射影為a′，l為平面α內(nèi)與a′平行的任一直線，則a與l之間的距離的取值范圍是A.［d，+∞）B.（d，+∞） C.（0，d］ D.heajqjv解析：如圖，在a上任取一點(diǎn)P作PO⊥a′，垂足為O，過O作OA⊥l，垂足為A，連結(jié)PA.則PA⊥l，PA⊥a，故PA就是a與l之間的距離.在Rt△POA中，PA>PO=d，選B.答案：B【例2】如圖，已知底面半徑為r的