第8講解三角形應(yīng)用舉例課標(biāo)要求考情分析能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題1.本節(jié)復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)聯(lián)系生活實(shí)例，體會(huì)建模，掌握運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的基本方法.2.加強(qiáng)解三角形及解三角形的實(shí)際應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力，這也是近幾年高考的熱點(diǎn)之一已知條件應(yīng)用定理一般解法

一邊和兩角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求b與c.在有解時(shí)只有一解1.解三角形的常見(jiàn)類(lèi)型及解法在三角形的六個(gè)元素中要已知三個(gè)(除三個(gè)角外)才能求解，常見(jiàn)類(lèi)型及其解法如下表所示：已知條件應(yīng)用定理一般解法

兩邊和夾角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三邊c；由正弦定理求出角A或B；再由A＋B＋C＝180°求另一角.在有解時(shí)只有一解

三邊(a，b，c)余弦定理由余弦定理求角A，B；再由A＋B＋C＝180°求角C.在有解時(shí)只有一解(續(xù)表)已知條件應(yīng)用定理一般解法兩邊和其中一 邊的對(duì)角

(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求角B；再由A＋B＋C＝180°，求角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有兩解、一解或無(wú)解(續(xù)表)2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型測(cè)量距離問(wèn)題、高度問(wèn)題、角度問(wèn)題、計(jì)算面積問(wèn)題、航海問(wèn)題等.

3.實(shí)際問(wèn)題中的常用角

(1)仰角和俯角： 與目標(biāo)視線(xiàn)在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線(xiàn)和目標(biāo)視線(xiàn)的夾角，目標(biāo)視線(xiàn)在水平視線(xiàn)上方的角叫做仰角，目標(biāo)視線(xiàn)在水平視線(xiàn)下方的角叫做俯角[如圖3-8-1(1)].(1)(2)圖3-8-1(2)方向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等.(3)方位角：指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α[如圖3-8-1(2)].(4)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù).題組一走出誤區(qū)1.(多選題)下列命題不正確的是()

A.從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°

C.方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系

D.方位角大小的范圍是[0，2π)，方向角大小的范圍一般是答案：AB

題組二走進(jìn)教材

2.(必修5P11例1改編)如圖3-8-2，某河段的兩岸可視為平行，在河段的一岸邊選取兩點(diǎn)A，B，觀察對(duì)岸的點(diǎn)C，測(cè)得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝200m.則A，C兩點(diǎn)的距離為()圖3-8-2答案：A

3.(必修5P19

第4題改編)江岸邊有一炮臺(tái)高30m，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和30°，且兩條船與炮臺(tái)底部連線(xiàn)成30°角，則兩條船相距()

解析：如圖D22，過(guò)炮臺(tái)頂點(diǎn)A作水平面的垂線(xiàn)，垂足為B.設(shè)A處測(cè)得船C，D的俯角分別為45°，30°，連接BC，BD.在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，則AB＝BC＝30m.在Rt△ABD

圖D22答案：D題組三真題展現(xiàn)

4.(2014年四川)如圖3-8-3，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高度是60m，則河流的寬度BC＝()圖3-8-3答案：C

5.(2019年北京)如圖3-8-4，A，B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，∠APB是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為()圖3-8-4A.4β＋4cosβC.2β＋2cosβB.4β＋4sinβD.2β＋2sinβ

解析：觀察圖D23可知，當(dāng)P為優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時(shí)，陰影部分的面積S取最大值， 此時(shí)∠BOP＝∠AOP＝π－β，面積S的最圖D232sinβ＋2sinβ＝4β＋4sinβ.

故選B.

答案：B考點(diǎn)1測(cè)量距離問(wèn)題自主練習(xí)

1.(2018年寧夏銀川一中月考)如圖3-8-5，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離是m，∠BAC＝α，∠ACB＝β，則A，B兩點(diǎn)間的距離為()

圖3-8-5＝，故選C.A.msinα

sinβB.

msinαsin(α＋β)C.

msinβsin(α＋β)D.

msin(α＋β)sinα＋sinβ解析：∠ABC＝π－(α＋β)，由正弦定理得

ABsinβ＝

ACsin∠ABC，∴AB＝

m·sinβmsinβsin[π－(α＋β)]sin(α＋β)答案：C

2.海洋藍(lán)洞是罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象，被譽(yù)為“地球給人類(lèi)保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上已知最深的海洋藍(lán)洞.若要測(cè)量如圖3-8-6所示的海洋藍(lán)洞的口徑(即A，B兩點(diǎn)間的距離)，現(xiàn)取兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則圖中海洋藍(lán)洞的口徑為_(kāi)_______.圖3-8-6解析：由已知得，在△ACD中,∠ACD＝15°,∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，

在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，由正弦定理

CDsin∠CBD＝

BCsin∠BDC，在△ABC中，由余弦定理，

3.(2017年江西贛州模擬)如圖3-8-7，為了測(cè)量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測(cè)，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為()圖3-8-7解析：由題意，可知∠BDC＝90°－45°＝45°，又∠BCD＝90°，∴BC＝CD＝40(海里).在△ADC中，∠ADC＝105°，∠ACD＝90°－60°＝30°，∴∠DAC＝45°.由正弦定理，在△ABC中，由余弦定理，得答案：A【題后反思】(1)利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解三角形的模型.(2)利用正弦、余弦定理解出所需要的邊和角，求得該數(shù)學(xué)模型的解.考點(diǎn)2測(cè)量高度問(wèn)題師生互動(dòng)

[例1](1)(2015年湖北)如圖3-8-8，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西方向行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝_____m.

圖3-8-8

(2)(2014年全國(guó)Ⅰ)如圖3-8-9，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇點(diǎn)A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從點(diǎn)A測(cè)得點(diǎn)M的仰角為∠MAN＝60°,點(diǎn)C的仰角為∠CAB＝45°，以及∠MAC＝75°；從點(diǎn)C測(cè)得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，則山高M(jìn)N＝________m.圖3-8-9解析：根據(jù)題意得，在△ABC中,已知∠CAB＝45°,∠ABC

答案：150【題后反思】(1)測(cè)量高度時(shí)，要準(zhǔn)確理解仰角、俯角的概念.(2)分清已知量和待求量，分析(畫(huà)出)示意圖，明確在哪個(gè)三角形內(nèi)運(yùn)用正弦或余弦定理.【考法全練】

(2017年河南鄭州模擬)在地平面上有一旗桿OP(O在地面)，為了測(cè)得它的高度h，在地平面上取一基線(xiàn)AB，測(cè)得其長(zhǎng)為20m，在A處測(cè)得P點(diǎn)的仰角為30°，在B處測(cè)得P點(diǎn)的仰角為45°，又測(cè)得∠AOB＝30°，則旗桿的高h(yuǎn)等于_______.

解析：如圖D24及根據(jù)題意有∠PAO＝30°,∠PBO＝45°，AB＝20，AO＝

h，BO＝，在hABO中，利用余弦定理求得h＝20(m).圖D24答案：20m

考點(diǎn)3測(cè)量角度問(wèn)題多維探究

[例2]如圖3-8-10，在海岸A

處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B處向北偏東30°方向逃竄.問(wèn)：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時(shí)間.

圖3-8-10

思維點(diǎn)撥：根據(jù)題意在圖中標(biāo)注已知條件，先使用余弦定理求BC，再使用正弦定理求角度.

解：設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時(shí)，才能最快截獲(在D點(diǎn))走私船，則CD＝10t海里，BD＝10t海里，在△ABC中，由余弦定理，有

∴緝私船應(yīng)沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分種.

【規(guī)律方法】角度問(wèn)題的解題方法 首先應(yīng)明確方位角的含義，在解應(yīng)用題時(shí)，分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫(huà)出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步，通過(guò)這一步可將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題，解題中也要注意體會(huì)正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點(diǎn).

提醒：方向角是相對(duì)于某點(diǎn)而言的，因此確定方向角時(shí)，首先要弄清是哪一點(diǎn)的方向角.【考法全練】(2019年山東泰安模擬)如圖

3-8-11，A，B是海面上兩個(gè)固海里的D處有一定觀測(cè)站，現(xiàn)位于B點(diǎn)南偏東45°且相距5艘輪船發(fā)出求救信號(hào).此時(shí)在A處觀測(cè)到D位于其北偏東30°處，位于A北偏西30°且與A相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？

圖3-8-11在△ACD中，由余弦定理可得

∴CD＝30(海里).

又救援船的速度為30海里/小時(shí)，所以救援船到達(dá)D點(diǎn)所需時(shí)間為1小時(shí).⊙解三角形中的最值問(wèn)題[例3](2018年河南鄭州檢測(cè))在△ABC中，內(nèi)角

A，B，C(1)求角A；(2)求cosB＋cosC的最大值；(3)若b＋c＝1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(4)求b＋c a的取值范圍；

換一角度理解，顯然當(dāng)S△ABC取最大值時(shí)，對(duì)b，c要求相同，因此必有b＝c.

圖3-8-12【策略指導(dǎo)】三角函數(shù)中最值(或范圍)問(wèn)題△ABC中，若已知角C及其對(duì)邊c.(1)可用“化角”的方法求形如a＋b＝

csinc(sinA＋sinB)的式子的取值范圍；

(2)可用余弦定理得含有a＋b、ab及a2＋b2的等式，再利用均值定理化為以a＋b或ab為變量的不等式求得a＋b或ab的最值，從而可得三角形周長(zhǎng)或面積的最值