山西省太原市英杰學校2022-2023學年高三數(shù)學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若全集為實數(shù)集R，集合A==

A．

B．

C．

D．參考答案：D2.執(zhí)行右面的框圖，若輸出結果為，則輸入的實數(shù)的值是A．

B．

C．

D．參考答案：D3.已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2+x﹣2≤0}，那么P∩Q等于(

)A．? B．{1} C．{x|﹣2≤x≤2} D．{x|1＜x≤2}參考答案：A【考點】交集及其運算．【專題】計算題；集合思想；分析法；集合．【分析】根據題意，Q為方程x2+x﹣6≤0的解集，由一元二次不等式的解法可得Q，由交集的運算可得答案．【解答】解：根據題意，結合一元二次不等式的解法可得，Q={x∈R|x2+x﹣2≤0}={x|﹣2≤x≤1}，而P={x|1＜x≤2}，又交集的意義，可得P∩Q=?故選：A．【點評】本題考查集合的交集運算，注意本題中P與Q的元素的范圍的不同．4.已知集合A={x∈R|x2+x﹣6＞0}，B={x∈R|﹣π＜x＜e}，則(

)A．A∩B=? B．A∪B=R C．B??RA D．A?B參考答案：B【考點】并集及其運算．【專題】集合．【分析】求出A中不等式的解集確定出A，進而求出A與B的交集，并集，A的補集，即可做出判斷．【解答】解：由A中不等式變形得：（x﹣2）（x+3）＞0，解得：x＜﹣3或x＞2，即A=（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞），∵B=（﹣π，e），?RA=[﹣3，2]，∴A∩B=（﹣π，﹣3）∪（2，e），A∪B=R，故選：B．【點評】此題考查了并集及其運算，熟練掌握并集的定義是解本題的關鍵．5.已知函數(shù)，則下列結論中正確的是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D6.過點作圓的兩條切線，，為切點，則（

）（A）（B）（C）（D）參考答案：D設切線斜率為，則切線方程為，即，圓心到直線的距離，即，所以，，,所以，選D7.已知集合A={}，集合B={}，則=

A．(3，)

B．[3，)

C．(，1][3，)

D．(，1)(3，)參考答案：B8.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是，則正視圖中的的值是A．

B．

C．

D．參考答案：D9.已知函數(shù)，若都大于0，且，則的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：A10.如圖，平面四邊形中,,,,將其沿對角線折成四面體，使平面平面，若四面體頂點在同一球面上，則該球的體積為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，互不相同的點A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分別在角O的兩條邊上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn+1An+1的面積均相等，設OAn=an，若a1=1，a2=2，則數(shù)列{an}的通項公式是 ．參考答案：【考點】數(shù)列的應用；數(shù)列的函數(shù)特性．【專題】壓軸題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】設，利用已知可得A1B1是三角形OA2B2的中位線，得到==，梯形A1B1B2A2的面積=3S．由已知可得梯形AnBnBn+1An+1的面積=3S．利用相似三角形的性質面積的比等于相似比的平方可得：，，，…，已知，，可得，…．因此數(shù)列{}是一個首項為1，公差為3等差數(shù)列，即可得到an．【解答】解：設，∵OA1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1∥A2B2，∴A1B1是三角形OA2B2的中位線，∴==，∴梯形A1B1B2A2的面積=3S．故梯形AnBnBn+1An+1的面積=3S．∵所有AnBn相互平行，∴所有△OAnBn（n∈N*）都相似，∴，，，…，∵，∴，，…．∴數(shù)列{}是一個等差數(shù)列，其公差d=3，故=1+（n﹣1）×3=3n﹣2．∴．因此數(shù)列{an}的通項公式是．故答案為．【點評】本題綜合考查了三角形的中位線定理、相似三角形的性質、等差數(shù)列的通項公式等基礎知識和基本技能，考查了推理能力和計算能力．12.已知函數(shù)，其中．當時，的值域是______；若的值域是，則的取值范圍是______．參考答案：，若，則，，此時，即的值域是。若，則，。因為當或時，，所以要使的值域是，則有，即，所以，即的取值范圍是。

13.已知向量，滿足||=1，|+|=，且，的夾角為，則||=

．參考答案：2考點：數(shù)量積表示兩個向量的夾角．專題：平面向量及應用．分析：由，可得，代入解出即可．解答： 解：∵，∴，∴，化為，解得．故答案為2．點評：熟練掌握向量的運算公式及其數(shù)量積運算是解題的關鍵．14.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：(a＞0，b＞0)的左、右焦點，過F1的直線與的左、右兩支分別交于A，B兩點．若|AB|:

|BF2|:

|AF2|＝3:4:5，則雙曲線的離心率為___________參考答案：略15.已知直線ax+by=1（其中a，b為非零實數(shù)）與圓x2+y2=1相交于A，B兩點，O為坐標原點，且△AOB為直角三角形，則+的最小值為

．參考答案：4考點：基本不等式．專題：不等式的解法及應用．分析：由直線ax+by=1（其中a，b為非零實數(shù)）與圓x2+y2=1相交于A，B兩點，且△AOB為直角三角形，可得|AB|=．圓心O（0，0）到直線ax+by=1的距離d=，可得2a2+b2=2．再利用“乘1法”和基本不等式的性質即可得出．解答： 解：∵直線ax+by=1（其中a，b為非零實數(shù)）與圓x2+y2=1相交于A，B兩點，且△AOB為直角三角形，∴|AB|=r=．∴圓心O（0，0）到直線ax+by=1的距離d==，化為2a2+b2=2．∴+==≥=4，當且僅當b2=2a2=1取等號．∴+的最小值為4．故答案為：4．點評：本題考查了直線與圓相交問題弦長問題、點到直線的距離公式、基本不等式的性質，屬于中檔題．16.已知直線與曲線相切，則實數(shù)k的值為_________.參考答案：【分析】設切點坐標P（，ln2），求出導函數(shù)y，利用導數(shù)的幾何意義得k＝y(tǒng)|x＝a，再根據切點也在切線上，列出關于和k的方程，求解即可．【詳解】設切點坐標為P（，ln2），∵曲線y＝ln2x，∴y＝，∴k＝y(tǒng)＝，①又∵切點P（，ln2）在切線y＝kx上，∴l(xiāng)n2＝k，②，由①②，解得，代入①得k＝，∴實數(shù)k的值為．故答案為：【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義求切線的斜率，屬于基礎題．17.一同學為研究函數(shù)的性質，構造了如圖所示的兩個邊長為的正方形和點是邊上的一動點，設則．請你參考這些信息，推知函數(shù)的零點的個數(shù)是

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]在直角坐標系xOy中，雙曲線E的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），設E的右焦點為F，經過第一象限的漸進線為l．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．（1）求直線l的極坐標方程；（2）設過F與l垂直的直線與y軸相交于點A，P是l上異于原點O的點，當A，O，F(xiàn)，P四點在同一圓上時，求這個圓的極坐標方程及點P的極坐標．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標方程；參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）由雙曲線E的參數(shù)方程求出雙曲線E的普通方程為．從而求出直線l在直角坐標系中的方程，由此能求出l的極坐標方程．（2）由題意A、O、F、P四點共圓等價于P是點A，O，F(xiàn)確定的圓（記為圓C，C為圓心）與直線l的交點（異于原點O），線段AF為圓C的直徑，A是過F與l垂直的直線與y軸的交點，從而C的半徑為2，圓心的極坐標為（2，），由此能求出點P的極坐標．【解答】解：（1）∵雙曲線E的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），∴，，∴==1，∴雙曲線E的普通方程為．∴直線l在直角坐標系中的方程為y=，其過原點，傾斜角為，∴l(xiāng)的極坐標方程為．（2）由題意A、O、F、P四點共圓等價于P是點A，O，F(xiàn)確定的圓（記為圓C，C為圓心）與直線l的交點（異于原點O），∵AO⊥OF，∴線段AF為圓C的直徑，由（Ⅰ）知，|OF|=2，又A是過F與l垂直的直線與y軸的交點，∴∠AFO=，|AF|=4，于是圓C的半徑為2，圓心的極坐標為（2，），∴圓C的極坐標方程為，此時，點P的極坐標為（4cos（），），即（2，）．19.（13分）已知A、B為拋物線C：y2=4x上的兩個動點，點A在第一象限，點B在第四象限l1、l2分別過點A、B且與拋物線C相切，P為l1、l2的交點.（Ⅰ）若直線AB過拋物線C的焦點F，求證：動點P在一條定直線上，并求此直線方程；（Ⅱ）設C、D為直線l1、l2與直線x=4的交點，求面積的最小值.參考答案：（Ⅰ）設，（）.易知斜率存在，設為，則方程為.由得，

……………

①由直線與拋物線相切，知.于是，，方程為.同理，方程為.聯(lián)立、方程可得點坐標為，∵

，方程為，過拋物線的焦點.∴

.∴

.

設（），，由知，，當且僅當時等號成立.∴

.設，則.∴

時，；時，.在區(qū)間上為減函數(shù)；在區(qū)間上為增函數(shù).∴

時，取最小值.∴

當，，即，時，面積取最小值.

…………

13分20.選修45：不等式選講已知函數(shù)．（1）解不等式:；（2）若，求證：.參考答案：解:（1）由題.因此只須解不等式.

……………２分當時,原不式等價于,即.當時,原不式等價于,即.當時,原不式等價于,即.綜上，原不等式的解集為.

…………５分（2）由題.當時,.

………………10分略21.數(shù)列中，，其中是函數(shù)的一個極值點．（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅲ）設，數(shù)列的前項和為，求．參考答案：（Ⅰ）證明：，根據已知，即，即，

，，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．（Ⅱ）解：由于（Ⅰ）可知．所以．所以數(shù)列的通項公式．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，所以．，則，

所以，所以．略22.如圖，在棱長為2的正方體中，、分別為、的中點．（1）求證：//平面；

（2）