遼寧省沈陽市第八十八高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=log3x．（1）求f（45）﹣f（5）的值；（2）若函數(shù)y=g（x）（x∈R）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=f（x），求函數(shù)y=g（x）的表達(dá)式．參考答案：【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】（1）由已知中函數(shù)f（x）=log3x，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得f（45）﹣f（5）的值；（2）根據(jù)函數(shù)y=g（x）（x∈R）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=f（x），可得函數(shù)y=g（x）的表達(dá)式．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）=log3x．∴f（45）﹣f（5）=log345﹣log33=log39=2；（2）若函數(shù)y=g（x）（x∈R）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=f（x）=log3x，∴當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，g（x）=﹣g（﹣x）=﹣log3（﹣x），又由g（0）=0得：g（x）=．2.由下表可計(jì)算出變量x，y的線性回歸方程為（）x54321y21.5110.5A．=0.35x+0.15 B．=﹣0.35x+0.25C．=﹣0.35x+0.15 D．=0.35x+0.25參考答案：A【考點(diǎn)】線性回歸方程．【專題】計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】利用平均數(shù)公式求得平均數(shù)，代入公式求回歸系數(shù)，可得回歸直線方程．【解答】解：==3，==1.2，∴b==0.35，a=1.2﹣0.35×3=0.15，∴線性回歸方程為y=0.35x+0.15．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線性回歸方程是求法，利用最小二乘法求回歸系數(shù)時(shí)，計(jì)算要細(xì)心．3.已知兩個(gè)等差教列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是（）A.2 B.3 C.4 D.5參考答案：D【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得，于是將表示為n的關(guān)系式，分離常數(shù)后再進(jìn)行討論，最后可得所求．【詳解】由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得，，所以當(dāng)時(shí)，為整數(shù)，即為整數(shù)，因此使得為整數(shù)的正整數(shù)n共有5個(gè)．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的和與項(xiàng)的關(guān)系和推理論證能力，解題時(shí)要結(jié)合求和公式進(jìn)行變形，然后再根據(jù)變形后的式子進(jìn)行分析，本題具有一定的綜合性和難度，能較好地考查學(xué)生的綜合素質(zhì)．4.已知函數(shù)f（+1）=x+1，則函數(shù)f（x）的解析式為（）A．f（x）=x2 B．f（x）=x2+1（x≥1）C．f（x）=x2﹣2x+2（x≥1） D．f（x）=x2﹣2x（x≥1）參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法．【專題】計(jì)算題．【分析】通過換元：令，將已知條件中的x都換為t，得到關(guān)于t的函數(shù)解析式，再將t換為x即可．【解答】解：令則x=（t﹣1）2

（t≥1）∴f（t）=（t﹣1）2+1=t2﹣2t+2∴f（x）=x2﹣2x+2（x≥1）故選C【點(diǎn)評(píng)】已知f（ax+b）的解析式來求f（x）的解析式，一般通過換元的方法或配湊的方法．5.已知，則A．

B．

C．

D．參考答案：A6.已知直線l1：x+2y﹣1=0與直線l2：mx﹣y=0平行，則實(shí)數(shù)m的取值為（）A．﹣ B． C．2 D．﹣2參考答案：A【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．【專題】直線與圓．【分析】利用兩條平行線的斜率之間的關(guān)系即可得出．【解答】解：∵直線l1：x+2y﹣1=0與直線l2：mx﹣y=0平行，∴，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩條平行線的斜率之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．7.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，，，則等于（

）A.32 B.16 C. D.參考答案：C【分析】利用公式計(jì)算即可?！驹斀狻?，為以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故選C【點(diǎn)睛】已知和的關(guān)系，利用公式計(jì)算，需要注意的是這個(gè)公式可以計(jì)算也可以計(jì)算，根據(jù)題目要求，方可避免不必要計(jì)算。8.有下列命題：①有兩個(gè)面平行,其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱；②有兩個(gè)面平行,其

余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱；③有兩個(gè)面平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱；④用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)。其中正確的命題的個(gè)數(shù)為

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B9.已知f（x）=2+log3x（1≤x≤9），則函數(shù)y=[f（x）]2+f（x2）的最大值為（）A．6 B．13 C．22 D．33參考答案：B【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值．【分析】將f（x）=2+log3x（1≤x≤9）代入y=[f（x）]2+f（x2）中，整理化簡(jiǎn)為關(guān)于log3x的函數(shù)，利用換元法求最值．【解答】解：y=[f（x）]2+f（x2）=（log3x）2+6log3x+6，∵f（x）=2+log3x（1≤x≤9），∴∴y=[f（x）]2+f（x2）=（log3x）2+6log3x+6，的定義域是{x|1≤x≤3}．令log3x=t，因?yàn)?≤x≤3，所以0≤t≤1，則上式變?yōu)閥=t2+6t+6，0≤t≤1，y=t2+6t+6在[0，1]上是增函數(shù)當(dāng)t=1時(shí)，y取最大值13故選B10.已知函數(shù)，則的值為（

）A．

B．

C．

D．3參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知sinα﹣cosα=，0≤α≤π，則sin（2）=

．參考答案：考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)．專題：三角函數(shù)的求值．分析：由題意和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinα和cosα，進(jìn)而由二倍角公式可得sin2α和cos2α，代入兩角差的正弦公式計(jì)算可得．解答： 解：∵sinα﹣cosα=，sin2α+cos2α=1，又∵0≤α≤π，∴sinα≥0，解方程組可得+，∴sin2α=2sinαcosα=，cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣，∴sin（2）=sin2α﹣cos2α==故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式，屬中檔題．12.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則m的取值范圍是

．參考答案：13.設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：略14.在大小相同的6個(gè)球中，4個(gè)紅球，若從中任意選取2個(gè)，則所選的2個(gè)球至少有1個(gè)紅球的概率是．參考答案：【考點(diǎn)】CB：古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】根據(jù)所有的取法共有C62種，而所選取的2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的取法有C21?C41+C42種，由此求得所選取的2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的概率．【解答】解：在大小相同的6個(gè)球中，4個(gè)紅球，若從中任意選取2個(gè)，所有的取法共有C62=15種，則選取的2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的取法有C21?C41+C42=14種，故所選的2個(gè)球至少有1個(gè)紅球的概率等于，故答案為：15.（5分）正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為

．參考答案：考點(diǎn)： 球內(nèi)接多面體．專題： 計(jì)算題．分析： 設(shè)出正方體的棱長(zhǎng)，利用正方體的棱長(zhǎng)是內(nèi)切球的直徑，正方體的對(duì)角線是外接球的直徑，分別求出半徑，即可得到結(jié)論．解答： 正方體的棱長(zhǎng)是內(nèi)切球的直徑，正方體的對(duì)角線是外接球的直徑，設(shè)棱長(zhǎng)是a．a(chǎn)=2r內(nèi)切球，r內(nèi)切球=a=2r外接球，r外接球=，r內(nèi)切球：r外接球=．故答案為：1：點(diǎn)評(píng)： 本題是基礎(chǔ)題，本題的關(guān)鍵是正方體的對(duì)角線就是外接球的直徑，正方體的棱長(zhǎng)是內(nèi)切球的直徑，考查計(jì)算能力．16.（5分）函數(shù)f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期為π，則ω=

．參考答案：2考點(diǎn)： 三角函數(shù)的周期性及其求法．專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： 由三角函數(shù)的周期性及其求法即可求值．解答： 解：∵由題意可知：T==π，∴可解得：ω=2，故答案為：2．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考察了三角函數(shù)的周期性及其求法，屬于基礎(chǔ)題．17.若集合則集合A的真子集有

個(gè)參考答案：3略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=log2x+2x﹣1．（1）用定義證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．（2）判斷函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x1＞x2＞0，然后作差，得到f（x1）﹣f（x2）=（log2x1﹣log2x2）+2（x1﹣x2），從而證明f（x1）＞f（x2）便可得出f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；（2）可以得到，f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，從而得出f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)．【解答】解：（1）證明：設(shè)x1＞x2＞0，則：f（x1）﹣f（x2）=log2x1+2x1﹣log2x2﹣2x2=（log2x1﹣log2x2）+2（x1﹣x2）；∵x1＞x2＞0；∴l(xiāng)og2x1＞log2x2，log2x1﹣log2x2＞0，且x1﹣x2＞0；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；（2）f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且；∴f（x）在（0，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】考查增函數(shù)的定義，根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x1），f（x2），對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)零點(diǎn)的定義，及函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法．19.某基建公司年初以100萬元購進(jìn)一輛挖掘機(jī)，以每年22萬元的價(jià)格出租給工程隊(duì)．基建公司負(fù)責(zé)挖掘機(jī)的維護(hù)，第一年維護(hù)費(fèi)為2萬元，隨著機(jī)器磨損，以后每年的維護(hù)費(fèi)比上一年多2萬元，同時(shí)該機(jī)器第x（x∈N*，x≤16）年末可以以（80﹣5x）萬元的價(jià)格出售．（1）寫出基建公司到第x年末所得總利潤(rùn)y（萬元）關(guān)于x（年）的函數(shù)解析式，并求其最大值；（2）為使經(jīng)濟(jì)效益最大化，即年平均利潤(rùn)最大，基建公司應(yīng)在第幾年末出售挖掘機(jī)？說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】7G：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【分析】（1）由題意可得總利潤(rùn)y等于總收入減去總成本（固定資產(chǎn)加上維護(hù)費(fèi)），結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，即可得到最大值；（2）求得年平均利潤(rùn)為，再由基本不等式，結(jié)合x為正整數(shù)，加上即可得到最大值，及對(duì)應(yīng)的x的值．【解答】解：（1）y=22x+（80﹣5x）﹣100﹣（2+4+…+2x）=﹣20+17x﹣x（2+2x）=﹣x2+16x﹣20=﹣（x﹣8）2+44（x≤16，x∈N），由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)x=8時(shí)，ymax=44，即有總利潤(rùn)的最大值為44萬元；（2）年平均利潤(rùn)為=16﹣（x+），設(shè)f（x）=16﹣（x+），x＞0，由x+≥2=4，當(dāng)x=2時(shí)，取得等號(hào)．由于x為整數(shù)，且4＜2＜5，f（4）=16﹣（4+5）=7，f（5）=7，即有x=4或5時(shí)，f（x）取得最大值，且為7萬元．故使得年平均利潤(rùn)最大，基建公司應(yīng)在第4或5年末出售挖掘機(jī)．20.（8分）在等差數(shù)列{an}中，a2=3，a8=9．（1）求{an}的通項(xiàng)公式an；（2）求的前n項(xiàng)和Sn．參考答案：21.已知以點(diǎn)(t∈R，t≠0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O、A，與y軸交于點(diǎn)O、B，其中O為原點(diǎn)．(1)求證：△OAB的面積為定值；(2)設(shè)直線y＝－2x＋4與圓C交于點(diǎn)M、N，若|OM|＝|ON|，求圓C的方程．參考答案：圓C與直線y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合題意，舍去．∴圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5．22.對(duì)于兩個(gè)定義域相同的函數(shù)和，若存在實(shí)數(shù)，使，則稱函數(shù)是由“基函數(shù)，”生成的.（