幾類不同增長的函數(shù)模型二第一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日1859年，當澳大利亞的一個農夫為了打獵而從外國弄來幾只兔子后，一場可怕的生態(tài)災難爆發(fā)了。兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亞它沒有天敵，數(shù)量不斷翻番。1950年，澳大利亞的兔子的數(shù)量從最初的五只增加到了五億只，這個國家絕大部分地區(qū)的莊稼或草地都遭到了極大損失。絕望之中，人們從巴西引入了多發(fā)黏液瘤病，以對付迅速繁殖的兔子。整個20世紀中期，澳大利亞的滅兔行動從未停止過?！爸笖?shù)爆炸”模型生態(tài)故事：“一群兔子引發(fā)的危機”第二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日

某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨著銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但資金數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%?，F(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪個模型能符合公司的要求呢？本題中涉及了哪幾類函數(shù)模型?實質是什么?本例涉及了一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)三類函數(shù)模型,實質是比較三個函數(shù)的增長情況。思考例第三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日思考怎樣才能判斷所給的獎勵模型是否符合公司的要求呢?

要對每一個獎勵模型的獎金總額是否超出5萬元,以及獎勵比例是否超過25%進行分析,才能做出正確選擇。由于公司總的利潤目標為1000萬元，所以人員銷售利潤一般不會超過公司總的利潤。于是只需在區(qū)間[10,1000]上，檢驗三個模型是否符合公司的要求即可。第四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日可以看到：在區(qū)間[10,1000]上只有模型y=log7x+1的圖象始終在y=5的下方借助計算機作出三個函數(shù)的圖象第五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日

對于模型y=0.25x，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，當x=20時，y=5，因此x∈(20,1000)時，y>5，因此該模型不符合要求。

對于模型y=1.002x，由函數(shù)圖象，并利用計算器，可知在區(qū)間(805,806)內有一個點x0滿足1.002x0

=5，由于它在[10,1000]上遞增，因此當x>x0時，y>5，因此該模型也不符合要求。通過計算確認上述判斷第六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日(1)由函數(shù)圖象可以看出，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當x=1000時，y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合獎金不超過5萬元的要求。對于模型y=log7x+1(2)再計算按模型y=log7x+1獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%，即當x∈[10,1000]時，是否有成立。第七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日

令f(x)=log7x+1-0.25x，x∈[10,1000].利用計算機作出函數(shù)f(x)的圖象，由圖象可知它是遞減的，因此f(x)≤f(10)≈-0.3167<0,即log7x+1<0.25x所以，當x∈[10,1000]，時說明按模型y=log7x+1獎勵，獎金不會超過利潤的25%.綜上所述，模型y=log7x+1確實能符合公司要求.第八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日實際應用問題分析、聯(lián)想、抽象、轉化構建數(shù)學模型解答數(shù)學問題審題數(shù)學化尋找解題思路還原（設）（列）（解）（答）★解答例題的過程實際上就是建立函數(shù)模型的過程，建立函數(shù)模型的程序大概如下：第九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日比較函數(shù)的增長快慢.第十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日比較函數(shù)的增長快慢.8642-22468xyO第十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日比較函數(shù)的增長快慢.8642-22468xyO第十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日比較函數(shù)的增長快慢.8642-22468xyO第十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日比較函數(shù)的增長快慢.8642-22468xyO第十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日比較函數(shù)的增長快慢.8642-22468xyO你能分別求出使成立的x的取值范圍嗎？第十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日30282624222018161412108642510xyO放大后的圖象第十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日①一般地，對于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)和冪函數(shù)y＝xn(n＞0)，在區(qū)間(0,＋∞)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定變化范圍內，ax會小于xn，但由于ax的增長快于xn的增長，因此總存在一個x0，當x＞x0時，就會有ax＞xn.規(guī)律總結第十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日②對于對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞1)和冪函數(shù)y＝xn(n＞0)在區(qū)間(0,＋∞)上，隨著x的增大，logax增長得越來越慢.在x的一定變化范圍內，logax可能會大于xn，但由于logax的增長慢于xn的增長，因此總存在一個x0，當x＞x0時，就會有l(wèi)ogax＜xn.規(guī)律總結第十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日③在區(qū)間(0,＋∞)上，盡管函數(shù)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y=xn(n＞0)都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上.隨著x的增長，y＝ax(a＞1)的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于y＝xn(n＞0)的增長速度，而y＝logax(a＞1)的增長速度則會越來越慢.因此，總會存在一個x0，當x＞x0時，就有l(wèi)ogax＜xn＜ax.規(guī)律總結這一結論充分體現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)的爆炸式增長。第十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日例1同一坐標系中，函數(shù)y＝x2＋7和y＝2x的圖象如圖.試比較x2＋7與2x的大小.5040302010510y＝x2＋7y＝2xxyO第二十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日例2已知函數(shù)y＝x2和y＝log2(x＋1)的圖象如圖，試比較x2與log2(x＋1)的大小.4321-124xyOy＝x2y＝log2(x＋1)第二十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日●想一想：當0<a<1，n<0時，y＝ax，y＝xn，y＝logax為減函數(shù)，其“衰減”速度如何？你能借助圖象，類比分析嗎？提示：如下圖所示：對于函數(shù)y＝ax(0<a<1)，y＝xn(n<0)，y＝logax(0<a<1)盡管都是減函數(shù)，但它們的衰減速度不同，而且不在同一“檔次”上，隨著x的增大，y＝ax(0<a<1)的衰減速度越來越慢，會遠遠小于y＝xn(n<0)的衰減速度，而y＝logax(0<a<1)的衰減速度則越來越快，因此總會存在一個x0，當x>x0時，就有l(wèi)ogax<xn<ax.第二十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日1.下列說法不正確的是()A.函數(shù)y＝2x在(0，＋∞)上是增函數(shù)B.函數(shù)y＝x2在(0，＋∞)上是增函數(shù)C.存在x0，當x＞x0時，x2＞2x恒成立D.存在x0，當x＞x0時，2x＞x2恒成立練習第二十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日1.下列說法不正確的是(C)A.函數(shù)y＝2x在(0，＋∞)上是增函數(shù)B.函數(shù)y＝x2在(0，＋∞)上是增函數(shù)C.存在x0，當x＞x0時，x2＞2x恒成立

D.存在x0，當x＞x0時，2x＞x2恒成立練習第二十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日2.比較函數(shù)y＝xn(n＞0)和y＝ax(a＞0)，下列說法正確的是()A.函數(shù)y＝xn比y＝ax的增長速度快B.函數(shù)y＝xn比y＝ax的增長速度慢C.因a,n沒有大小確定,故無法比較函數(shù)y＝xn與y＝ax的增長速度D.以上都不正確練習第二十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日2.比較函數(shù)y＝xn(n＞0)和y＝ax(a＞0)，下列說法正確的是(B)A.函數(shù)y＝xn比y＝ax的增長速度快B.函數(shù)y＝xn比y＝ax的增長速度慢C.因a,n沒有大小確定,故無法比較函數(shù)y＝xn與y＝ax的增長速度D.以上都不正確練習第二十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日3.函數(shù)y＝logax(a＞1)、y＝bx(b＞1)和y＝xc(c＞0)中增長速度最快的是()A.y＝logax(a＞1) B.y＝bx(b＞1)C.y＝xc(c＞0) D.無法確定練習第二十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日3.函數(shù)y＝logax(a＞1)、y＝bx(b＞1)和y＝xc(c＞0)中增長速度最快的是(B)A.y＝logax(a＞1) B.y＝bx(b＞1)C.y＝xc(c＞0) D.無法確定練習第二十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日4．已知冪函數(shù)y＝x1.4、指數(shù)y＝2x和對數(shù)函數(shù)y＝lnx的圖象.如圖，則A表示函數(shù)

的圖象，B表示函數(shù)

.的圖象，C表示函數(shù)

的圖象.5432124xyOABC練習第二十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日y＝2x5432124xyOABC練習4．已知冪函數(shù)y＝x1.4、指數(shù)y＝2x和對數(shù)函數(shù)y＝lnx的圖象.如圖，則A表示函數(shù)

的圖象，B表示函數(shù)

.的圖象，C表示函數(shù)

的圖象.第三十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日5432124xyOABC練習4．已知冪函數(shù)y＝x1.4、指數(shù)y＝2x和對數(shù)函數(shù)y＝lnx的圖象.如圖，則A表示函數(shù)

的圖象，B表示函數(shù)

.的圖象，C表示函數(shù)

的圖象.y＝2xy＝x1.4第三十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日y＝2xy＝x1.45432124xyOABCy＝lnx練習4．已知冪函數(shù)y＝x1.4、指數(shù)y＝2x和對數(shù)函數(shù)y＝ln