湖南省株洲市馬家河鎮(zhèn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a2，a3，a6成等比數(shù)列，則其公比為(

)A．1

B．2

C．3

D．4命題意圖:考查等差、等比數(shù)列基礎(chǔ)知識及運(yùn)算，中等題.參考答案：C2.設(shè)m，n是兩條不同直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，則m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m⊥nC．m⊥α，n?β，m⊥n，則α⊥β D．m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β參考答案：B【考點(diǎn)】平面與平面垂直的性質(zhì)．【專題】證明題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】對于A、由面面平行的判定定理，得A是假命題對于B、由m⊥α，n⊥β且α⊥β，可知m與n不平行，借助于直線平移先得到一個(gè)與m或n都平行的平面，則所得平面與α、β都相交，根據(jù)m與n所成角與二面角平面角互補(bǔ)的結(jié)論．對于C、通過直線與平面平行的判定定理以及平面與平面平行的性質(zhì)定理，判斷正誤即可；對于D、利用平面與平面平行的判定定理推出結(jié)果即可．【解答】解：對于A，若m∥α，n∥β且α∥β，說明m、n是分別在平行平面內(nèi)的直線，它們的位置關(guān)系應(yīng)該是平行或異面，故A錯(cuò)；對于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m與n一定不平行，否則有α∥β，與已知α⊥β矛盾，通過平移使得m與n相交，且設(shè)m與n確定的平面為γ，則γ與α和β的交線所成的角即為α與β所成的角，因?yàn)棣痢挺?，所以m與n所成的角為90°，故命題B正確．對于C，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，可知m⊥α，n?β，m⊥n，∴n∥α，∴α∥β也可能α∩β=l，也可能α⊥β，故C不正確；對于D，若“m?α，n?α，m∥β，n∥β”，則“α∥β”也可能α∩β=l，所以D不成立．故選B．【點(diǎn)評】本題考查直線與平面平行與垂直，面面垂直的性質(zhì)和判斷的應(yīng)用，考查邏輯推理能力，基本知識的應(yīng)用題目．3.如圖所示的韋恩圖中，陰影部分對應(yīng)的集合是（） A．A∩B B． ?U（A∩B） C． A∩（?UB） D． （?UA）∩B參考答案：C4.在平面直角坐標(biāo)系中，定義d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|為兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）之間的“折線距離”．則下列命題中：①若C點(diǎn)在線段AB上，則有d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）．②若點(diǎn)A，B，C是三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則有d（A，C）+d（C，B）＞d（A，B）．③到M（﹣1，0），N（1，0）兩點(diǎn)的“折線距離”相等的點(diǎn)的軌跡是直線x=0．④若A為坐標(biāo)原點(diǎn)，B在直線x+y﹣2=0上，則d（A，B）的最小值為2．真命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用；2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】先根據(jù)折線距離的定義分別表示出所求的集合，然后根據(jù)集合中絕對值的性質(zhì)進(jìn)行判定即可．【解答】解：若點(diǎn)C在線段AB上，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），x0在x1、x2之間，y0在y1、y2之間，則d（A，C）+d（C，B）=|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=d（A，B）成立，故①正確；在△ABC中，d（A，C）+d（C，B）=|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|≥|（x0﹣x1）+（x2﹣x0）|+|（y0﹣y1）+（y2﹣y0）|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=d（A，B）③，故②錯(cuò)誤；到M（﹣1，0），N（1，0）兩點(diǎn)的“折線距離”相等點(diǎn)的集合是{（x，y）||x+1|+|y|=|x﹣1|+|y|}，由|x+1|=|x﹣1|，解得x=0，∴到M（﹣1，0），N（1，0）兩點(diǎn)的“折線距離”相等的點(diǎn)的軌跡方程是x=0，即③成立；設(shè)B（x，y），則d（A，B）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|=|x|+|2﹣x|≥2，即d（A，B）的最小值為2，故④正確；綜上知，正確的命題為①③④，共3個(gè)．故選：C．5.已知函數(shù)，其中，，為的零點(diǎn)：且恒成立，在區(qū)間上有最小值無最大值，則的最大值是（

）A.11 B.13 C.15 D.17參考答案：C【分析】先根據(jù)x為y＝f（x）圖象的對稱軸，為f（x）的零點(diǎn)，判斷ω為正奇數(shù)，再結(jié)合f（x）在區(qū)間上單調(diào)，求得ω的范圍，對選項(xiàng)檢驗(yàn)即可．【詳解】由題意知函數(shù)為y＝f（x）圖象的對稱軸，為f（x）的零點(diǎn)，∴?，n∈Z，∴ω＝2n+1．f（x）在區(qū)間上有最小值無最大值，∴周期T≥（），即，∴ω≤16．∴要求的最大值，結(jié)合選項(xiàng)，先檢驗(yàn)ω＝15，當(dāng)ω＝15時(shí)，由題意可得15+φ＝kπ，φ，函數(shù)為y＝f（x）＝sin（15x），在區(qū)間上，15x∈（，），此時(shí)f（x）在時(shí)取得最小值，∴ω=15滿足題意．則ω的最大值為15，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了分析轉(zhuǎn)化的能力，難度較大．6.設(shè)函數(shù)在區(qū)間（1，2）內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A．（-1,-log32）

B．（0,log32）

C．（log32,1）

D．（l,log34）參考答案：C7.若（i為虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)是A. B. C. D.參考答案：D8.等差數(shù)列｛an｝與｛bn｝的前n項(xiàng)和分別為Sn與Tn,若,則（

）

參考答案：A在等差數(shù)列中,選A.9.已知橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上任一點(diǎn)，的重心為G，內(nèi)心I，且有（其中為實(shí)數(shù)），橢圓C的離心率e=（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略10.向量，則“x=2”是“"的(

)

A.充分但不必要條件

B.必要但不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給出下列命題：①若是奇函數(shù)，則的圖像關(guān)于軸對稱；②若函數(shù)對任意滿足，則8是函數(shù)的一個(gè)周期；③若，則；④若在上是增函數(shù)，則.其中正確命題的序號是__________.參考答案：①②④略12.若不等式對于一切非零實(shí)數(shù)均成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

參考答案：【知識點(diǎn)】含絕對值的不等式基本不等式E2E6解析：因?yàn)榕c同號，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），所以，解得，故答案為.【思路點(diǎn)撥】由題意對于一切非零實(shí)數(shù)均成立，可得即可，利用基本不等式求得，即可求解.13.已知，若，，則的值為________。參考答案：14.在面積為2的中，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則的最小值是

參考答案：【知識點(diǎn)】解三角形；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算C8,F3【答案解析】解析：解：∵E、F是AB、AC的中點(diǎn)，∴EF到BC的距離=點(diǎn)A到BC的距離的一半，∴△ABC的面積=2△PBC的面積，而△ABC的面積=2，∴△PBC的面積=1，又△PBC的面積=PB×PCsin∠BPC，∴PB×PC=．∴=PB×PCcos∠BPC=．由余弦定理，有：BC2=BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC．顯然，BP、CP都是正數(shù)，∴BP2+CP2≥2BP×CP，∴BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．∴≥PB×PCcos∠BPC+2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC=令y=，則y′=令y′=0，則cos∠BPC=，此時(shí)函數(shù)在（0，）上單調(diào)增，在（，1）上單調(diào)減∴cos∠BPC=時(shí)，取得最大值為∴的最小值是故答案為：【思路點(diǎn)撥】根據(jù)△ABC的面積為2，可得△PBC的面積=1，從而可得PB×PC=，故=PB×PCcos∠BPC=，由余弦定理，有：BC2=BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC，進(jìn)而可得BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．從而≥，利用導(dǎo)數(shù)，可得最大值為，從而可得的最小值．15.數(shù)列滿足,則

.參考答案：16.已知，則的最大值為

；參考答案：17.已知，且在第二象限，那么在第

象限.參考答案：三略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)與的定義域是且,是偶函數(shù),是奇函數(shù),且（1）求和的解析式.（2）求的值參考答案：(1)∵

①

∴

1分∵是偶函數(shù)，是奇函數(shù)∴②

3分①②相加得，5分

進(jìn)而

6分（2）∵

∴

9分

∴

10分∴

12分19.（本小題共13分）定義：如果數(shù)列的任意連續(xù)三項(xiàng)均能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長，則稱為“三角形”數(shù)列．對于“三角形”數(shù)列，如果函數(shù)使得仍為一個(gè)“三角形”數(shù)列，則稱是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”．（Ⅰ）已知是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，若是數(shù)列的

“保三角形函數(shù)”，求的取值范圍；（Ⅱ）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足，證明是“三角形”數(shù)列；（Ⅲ）若是（Ⅱ）中數(shù)列的“保三角形函數(shù)”，問數(shù)列最多有多少項(xiàng)?(解題中可用以下數(shù)據(jù):)參考答案：（Ⅰ）顯然對任意正整數(shù)都成立，即是三角形數(shù)列．因?yàn)?，顯然有，由得解得.所以當(dāng)時(shí)，是數(shù)列的保三角形函數(shù).

…3分（Ⅱ）由，得，兩式相減得，所以……ks5u……5分經(jīng)檢驗(yàn)，此通項(xiàng)公式滿足.顯然,因?yàn)?所以是三角形數(shù)列.

…8分（Ⅲ）,所以是單調(diào)遞減函數(shù).由題意知，①且②,由①得，解得,由②得，解得.即數(shù)列最多有26項(xiàng).

ks5u………13分20.（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講如圖，過圓E外一點(diǎn)A作一條直線與圓E交于B，C兩點(diǎn)，且AB＝AC，作直線AF與圓E相切于點(diǎn)F，連接EF交BC于點(diǎn)D，己知圓E的半徑為2，∠EBC＝30°．（1）求AF的長；（2）求證：AD＝3ED．參考答案：21.已知函數(shù)，g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．（Ⅰ）試討論g(x)的單調(diào)性；（Ⅱ）若f(x)有唯一極值點(diǎn)，且對時(shí)，有滿足．求證．參考答案：（Ⅰ）①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（Ⅱ）見解析【分析】（Ⅰ）可求得，分與兩類討論即可得到的單調(diào)遞增情況；（Ⅱ）由（1）知在上是增函數(shù)，由可得，又，兩式作差后，分析得到，令，記，求導(dǎo)分析后即可證得結(jié)論成立．【詳解】（Ⅰ）解：的定義域?yàn)?，且，∴①?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（Ⅱ）證明：由得或，∴當(dāng)存在唯一極值點(diǎn)時(shí)知，∴又由（1）知在上是增函數(shù)，由可得：，又，，由，，得，令，記，則，在上是增函數(shù)，而，，，即，，又在上是增函數(shù)，，即【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問題與不等式證明的應(yīng)用，不等式證明問題常見解法是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，構(gòu)造新的函數(shù)解決問題的關(guān)鍵.22.（本小題滿分12分）設(shè)動點(diǎn)M(x,y)到直線y=3的距離與它到點(diǎn)F(0,1)的距離之比為，點(diǎn)M的軌跡為曲線E.

（I）求曲線E的方程：

（II）過點(diǎn)F作直線l與曲線E交于A,B兩點(diǎn)，且．當(dāng)3時(shí)，求直線l斜率k的取值范圍·參考答案：（Ⅰ）根據(jù)題意，|y－3|＝·．化簡，得曲線E的方程為3x2＋2y2＝6．

…4分（Ⅱ）直線l方程為y＝kx＋1，代入曲線E方程，得(2k2＋3)x2＋4kx－4＝0．

…6分設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，