2022-2023學(xué)年湖南省長沙市朱良橋中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程的一個根所在的區(qū)間為，則的值為x－101230.3712.727.3920.0912345A．-1

B.0

C.1

D.2

參考答案：C略2.已知正方形的邊長為1，、分別為邊,上的點(diǎn)，若，則面積的最大值是

A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點(diǎn)】三角形的面積公式．C8【答案解析】B

解析：如圖所示，C（1，1）．設(shè)P（a，0），Q（0，b），0＜a，b＜1．則kPC=，kPQ=1﹣b．∵∠PCQ=45°，∴tan45°===1，化為2+ab=2a+2b，∴2+ab，化為，解得（舍去），或，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2﹣時取等號．∴．∴△APQ面積=ab≤3﹣2，其最大值是3．故選：B．【思路點(diǎn)撥】C（1，1）．設(shè)P（a，0），Q（0，b），0＜a，b＜1．可得kPC=，kPQ=1﹣b．利用到角公式、一元二次不等式的解法、三角形的面積計算公式即可得出．3.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（

）A. B. C. D.參考答案：D在上是單調(diào)減函數(shù)，在是單調(diào)減函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù)，在不是單調(diào)函數(shù)，是冪函數(shù)，它在上是單調(diào)增函數(shù)，故選D．4.已知一個幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的表面積為（

）A． B． C．

D．參考答案：C5.下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)且以π為周期的函數(shù)是（）A． B．y=sinx C．y=﹣tanx D．y=﹣cos2x參考答案：D【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法；余弦函數(shù)的單調(diào)性．【分析】求出選項中的每個函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)且以π為周期的函數(shù)即可．【解答】解：在區(qū)間上為增函數(shù)且以4π為周期的函數(shù)，不合題意；y=sinx在區(qū)間上為增函數(shù)且以2π為周期的函數(shù)，不合題意；y=﹣tanx不滿足在區(qū)間上為增函數(shù)且以π為周期的函數(shù)．y=﹣cos2x在區(qū)間上為增函數(shù)且以π為周期的函數(shù)，滿足題意，正確．故選D．6.設(shè)集合，，，則等于A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.在銳角三角形中，分別為內(nèi)角的對邊，若，給出下列命題：①；②；③．其中正確的個數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略8.已知函數(shù)，則的值是（）A． B．9 C．﹣9 D．﹣參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】由已知條件利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答】解：∵，∴f（）==﹣2，∴=3﹣2=．故答案為：．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．9.若則(

)A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a參考答案：B【考點(diǎn)】根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化及其化簡運(yùn)算；不等關(guān)系與不等式．【專題】計算題．【分析】求出a，b，c的取值或取值范圍，即可比較它們的大?。窘獯稹拷猓阂驗?，又，所以a＜c＜b．故選B．【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)值的求法，指數(shù)的數(shù)值的運(yùn)算，考查不等關(guān)系與不等式的應(yīng)用．10.若直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)滿足條件：（1）分別在函數(shù)、的圖象上，（2）關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，則稱是一個“和諧點(diǎn)對”。函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象中“和諧點(diǎn)對”的個數(shù)是（）A．4

B．6

C．8

D．10參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，則a的取值范圍是

．參考答案：12.公元263年左右，我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”．利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”．如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計的一個程序框圖，則輸出n的值為

．（參考數(shù)據(jù)：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）參考答案：24【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【分析】列出循環(huán)過程中S與n的數(shù)值，滿足判斷框的條件即可結(jié)束循環(huán)．【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得n=6，S=3sin60°=，不滿足條件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不滿足條件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，滿足條件S≥3.10，退出循環(huán)，輸出n的值為24．故答案為：24．13.已知函數(shù),在其圖象上點(diǎn)(，)處的切線方程為,則圖象上點(diǎn)(-，)處的切線方程為__________．參考答案：略14.設(shè){an}是集合{2t＋2s|0≤s＜t，且s，t∈Z}中所有的 數(shù)按從小到大的順序排成的數(shù)列，即a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6=12………將數(shù)列{an}中的各項按照上小下大，左小右大的原則寫成如圖所示的三角形數(shù)表，則這個三角形數(shù)表的第n行的數(shù)字之和是________．參考答案：15.設(shè)向量與滿足=（﹣2，1），+=（﹣1，﹣2），則|﹣|=

．參考答案：5【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．【分析】求出向量b的坐標(biāo)，從而求出向量﹣的坐標(biāo)，求出模即可．【解答】解：∵=（﹣2，1），+=（﹣1，﹣2），∴=（1，﹣3），∴﹣=（﹣3，4），∴|﹣|==5，故答案為：5．【點(diǎn)評】本題考查了向量的運(yùn)算，考查向量求模問題，是一道基礎(chǔ)題．16.當(dāng)時，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：略17.若為方程的兩個實(shí)數(shù)解，則

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(12分)曲線C是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為的雙曲線的右支，已知它的一條漸近線方程是．（１）求曲線C的方程；（２）已知點(diǎn)，若直線與曲線C交于不同于點(diǎn)E的P、R兩點(diǎn)，且，求證：直線過一個定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

參考答案：解析：（1）設(shè)C：

（≥，＞0，＞0）

則

∴

--------------4分（2）①當(dāng)不垂直x軸時，設(shè)：，，

由∵

-------------------6分由＝化簡得：

-------------------9分（此時過點(diǎn)E，不合題意，舍去）--------------10分．-------------------11分②當(dāng)垂直x軸時，∵又．----------------------12分19.（本題11分）已知函數(shù)（為實(shí)常數(shù)且）.（Ⅰ）當(dāng)，時，（i）設(shè)，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（ii）求證：函數(shù)在[2,3)上是增函數(shù).（Ⅱ）設(shè)集合，.若，求的取值范圍.

參考答案：解：（Ⅰ）因為，所以.（?。┧?因為,又因為的定義域為且，所以是偶函數(shù).（ⅱ）設(shè)且，因為且，所以綜上得即.所以，函數(shù)在上是增函數(shù).（Ⅱ）因為，所以函數(shù)與的圖像無公共點(diǎn)，即方程無實(shí)數(shù)解，也即方程且（﹡）無實(shí)數(shù)解.①當(dāng)時（﹡）無解，顯然符合題意.②當(dāng)時，令，變形得.又令得.于是當(dāng)，即時，有.所以，要使（﹡）無實(shí)數(shù)解，只要，解得.綜上可得.

變形得.又令得.于是當(dāng)，即時，有.所以，要使（﹡）無實(shí)數(shù)解，只要，解得.綜上可得.20.（本小題滿分12分）

某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的筆試成績，按成績共分成

五組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，

得到的頻率分布直方圖如圖所示，同時規(guī)定成績在9()分以上（含90分）的學(xué)生為“優(yōu)秀”，

成績小于90分的學(xué)生為“良好”，且只有成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生才能獲得面試資格。

(1)求“優(yōu)秀”和“良好”學(xué)生的人數(shù)：(2)如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀”和“良好”的學(xué)生中選出10人，求“優(yōu)秀”和“良好”

的學(xué)生分別選出幾人？(3)若甲是在(2)選出的

“優(yōu)秀”學(xué)生中的一個，則從選出的“優(yōu)秀”學(xué)生中再選2人參加某專項測試，求甲被選中的概率是多少？參考答案：21.已知函數(shù)（）.（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.

參考答案：略22.如圖所示，該幾何體是由一個直三棱柱和一個四棱錐組合而成，其中，,．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）若四棱錐的高2，求二面角的余弦值．

參考答案：（Ⅰ）證明：直三棱柱中，平面，………………2分

所以，又，，………………3分