第十章算法初步、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例第4節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例考試要求1.會(huì)作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會(huì)利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系；2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程(線性回歸方程系數(shù)公式不要求記憶)；3.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用；4.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)內(nèi)容索引考點(diǎn)突破題型剖析分層訓(xùn)練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)1知識(shí)梳理回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法；判斷相關(guān)性的常用統(tǒng)計(jì)圖是：________；統(tǒng)計(jì)量有相關(guān)系數(shù)與相關(guān)指數(shù).(1)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從________到________的區(qū)域，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān).(2)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從________到________的區(qū)域，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān).(3)如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在__________附近，稱兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系.1.相關(guān)關(guān)系與回歸分析散點(diǎn)圖左下角右上角左上角右下角一條直線(1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的______________最小的方法叫做最小二乘法.2.線性回歸方程距離的平方和斜率(1)定義：對(duì)具有__________的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法.(2)樣本點(diǎn)的中心：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中__________稱為樣本點(diǎn)的中心.(3)相關(guān)系數(shù)當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量__________；當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量__________.r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性________.r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.通常|r|大于________時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.3.回歸分析相關(guān)關(guān)系正相關(guān)負(fù)相關(guān)越強(qiáng)0.754.獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)利用隨機(jī)變量K2來判斷“兩個(gè)分類變量________”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn).(2)列聯(lián)表：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表.假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2×2列聯(lián)表)為有關(guān)系

y1y2總計(jì)x1ab________x2cdc＋d總計(jì)a＋c_____a＋b＋c＋da＋bb＋d則隨機(jī)變量K2＝___________________________________，其中n＝_______________為樣本容量.a＋b＋c＋d常用結(jié)論√診斷自測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)√√√DAA.模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.98B.模型2的相關(guān)指數(shù)R2為0.80C.模型3的相關(guān)指數(shù)R2為0.50D.模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0.253.兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同模型，它們的相關(guān)指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是(

)解析在兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，它們的相關(guān)指數(shù)R2越近于1，擬合效果越好，在四個(gè)選項(xiàng)中A的相關(guān)指數(shù)最大，所以擬合效果最好的是模型1.由此散點(diǎn)圖，在10℃至40℃之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是(

)A.y＝a＋bx

B.y＝a＋bx2C.y＝a＋bex

D.y＝a＋blnx4.(2020·全國Ⅰ卷)某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散點(diǎn)圖：D解析由散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)大致分布在對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象附近.故選D.5.為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：5%

理科文科男1310女720解析K2的觀測(cè)值k≈4.844，這表明小概率事件發(fā)生.根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，應(yīng)該斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立，并且這種判斷出錯(cuò)的可能性約為5%.6.(2022·廣州模擬)若某商品的廣告費(fèi)支出x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)之間有如下表所示的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：106.5x24568y2040607080KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2考點(diǎn)一相關(guān)關(guān)系的判斷根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列說法正確的是(

)A.利潤率與人均銷售額成正相關(guān)關(guān)系B.利潤率與人均銷售額成負(fù)相關(guān)關(guān)系C.利潤率與人均銷售額成正比例函數(shù)關(guān)系D.利潤率與人均銷售額成反比例函數(shù)關(guān)系1.某商家今年上半年各月的人均銷售額(單位：千元)與利潤率統(tǒng)計(jì)表如下：A月份123456人均銷售額658347利潤率(%)12.610.418.53.08.116.3解析由統(tǒng)計(jì)表可得利潤率與人均銷售額不是正比例關(guān)系，也不是反比例關(guān)系，排除C和D；其屬于正相關(guān)關(guān)系，A正確，B錯(cuò)誤.A.r2<r4<0<r3<r1 B.r4<r2<0<r1<r3C.r4<r2<0<r3<r1 D.r2<r4<0<r1<r32.對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是(

)A解析由散點(diǎn)圖知圖(1)與圖(3)是正相關(guān)，故r1>0，r3>0，圖(2)與圖(4)是負(fù)相關(guān)，故r2<0，r4<0，且圖(1)與圖(2)的樣本點(diǎn)集中在一條直線附近，因此r2<r4<0<r3<r1，故選A.Cx345678y－3.0－2.00.5－0.52.54.0判斷相關(guān)關(guān)系的兩種方法：(1)散點(diǎn)圖法：如果樣本點(diǎn)的分布從整體上看大致在某一曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系；如果樣本點(diǎn)的分布從整體上看大致在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系.(2)相關(guān)系數(shù)法：利用相關(guān)系數(shù)判定，|r|越趨近于1，相關(guān)性越強(qiáng).感悟提升角度1線性回歸方程及應(yīng)用考點(diǎn)二回歸分析例1

(2021·成都診斷)某種機(jī)械設(shè)備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價(jià)值逐年減少，通常把它使用價(jià)值逐年減少的“量”換算成費(fèi)用，稱之為“失效費(fèi)”.某種機(jī)械設(shè)備的使用年限x(單位：年)與失效費(fèi)y(單位：萬元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：使用年限x

(單位：年)1234567失效費(fèi)y

(單位：萬元)2.903.303.604.404.805.205.90(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并估算該種機(jī)械設(shè)備使用10年的失效費(fèi).(1)由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；(精確到0.01)例2

(2022·鄭州調(diào)研)人類已經(jīng)進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代.目前，數(shù)據(jù)量級(jí)已經(jīng)從TB(1TB＝1024GB)級(jí)別躍升到PB(1PB＝1024TB)，EB(1EB＝1024PB)乃至ZB(1ZB＝1024EB)級(jí)別.國際數(shù)據(jù)公司(IDC)研究結(jié)果表明，2008年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為0.49ZB，2009年數(shù)據(jù)量為0.8ZB，2010年增長到1.2ZB，2011年數(shù)據(jù)量更是高達(dá)1.82ZB.下表是國際數(shù)據(jù)公司(IDC)研究的全球近6年每年產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量(單位：ZB)及相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值：角度2非線性回歸方程及應(yīng)用年份201420152016201720182019序號(hào)x123456年數(shù)據(jù)量y6.68.616.121.633.041.0感悟提升訓(xùn)練1

下面給出了根據(jù)我國2015～2021年水果人均占有量y(單位：kg)和年份代碼x繪制的散點(diǎn)圖和線性回歸方程的殘差圖.(2015年～2021年的年份代碼x分別為1～7)考點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)例3

(2021·武漢質(zhì)檢)有關(guān)研究表明，正確佩戴安全頭盔，規(guī)范使用安全帶能夠?qū)⒔煌ㄊ鹿仕劳鲲L(fēng)險(xiǎn)大幅降低，對(duì)保護(hù)群眾生命安全具有重要作用.2020年4月，“一盔一帶”安全守護(hù)行動(dòng)在全國各地開展，行動(dòng)期間，公安交管部門將加強(qiáng)執(zhí)法管理，依法查糾摩托車和電動(dòng)自行車騎乘人員不佩戴安全頭盔，汽車駕乘人員不使用安全帶的行為，助推養(yǎng)成安全習(xí)慣，該行動(dòng)開展一段時(shí)間后，某市針對(duì)電動(dòng)自行車騎乘人員是否佩戴安全頭盔問題進(jìn)行調(diào)查，在隨機(jī)調(diào)查的1000名騎行人員中，記錄其年齡和是否佩戴頭盔情況，得到統(tǒng)計(jì)圖如圖所示.(1)估算該市電動(dòng)自行車騎乘人員的平均年齡；(2)根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，完成列聯(lián)表：是否佩戴頭盔年齡是否[20，40)

[40，70]

P(K2≥k)0.500.0100.001k3.8416.63510.828(2)完成2×2列聯(lián)表如下：解(1)該市電動(dòng)自行車騎乘人員平均年齡為25×0.25＋35×0.35＋45×0.2＋55×0.15＋65×0.05＝39(周歲).是否佩戴頭盔年齡是否[20，40)54060[40，70]34060故沒有99%的把握認(rèn)為佩戴安全頭盔與年齡有關(guān).感悟提升訓(xùn)練2

(2022·南寧模擬)第五代移動(dòng)通信技術(shù)(5G技術(shù))是最新一代蜂窩移動(dòng)通信技術(shù)，也是繼4G、3G和2G系統(tǒng)之后的延伸.5G的性能目標(biāo)是高數(shù)據(jù)速率、減少延遲、節(jié)省能源、降低成本、提高系統(tǒng)容量和大規(guī)模設(shè)備連接.某大學(xué)為了解學(xué)生對(duì)“5G”相關(guān)知識(shí)的了解程度，隨機(jī)抽取100名學(xué)生參與測(cè)試，并根據(jù)得分劃分成“不太了解”或“比較了解”兩類后整理得到如下列聯(lián)表：

不太了解比較了解總計(jì)男生25

女生

37

總計(jì)

70100P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828故有99.9%的把握認(rèn)為“學(xué)生對(duì)5G的了解程度與性別有關(guān)”.解(1)補(bǔ)全的列聯(lián)表如下：

不太了解比較了解總計(jì)男生253358女生53742總計(jì)3070100(2)“不太了解”的男生有25人，女生有5人，按性別分層抽樣從中抽取6人，則男生應(yīng)抽取5人，記為a，b，c，d，e，女生應(yīng)抽取1人，記為x，再從這6人中隨機(jī)抽取2人共有15種情況：xa，xb，xc，xd，xe，ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，抽到恰有1名女生有5種情況：xa，xb，xc，xd，xe，F(xiàn)ENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3A級(jí)基礎(chǔ)鞏固A.回歸分析 B.均值與方差C.獨(dú)立性檢驗(yàn) D.概率1.為調(diào)查中學(xué)生近視情況，測(cè)得某校在150名男生中有80名近視，在140名女生中有70名近視.在檢驗(yàn)這些學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)，用下列哪種方法最有說服力(

)C解析“近視”與“性別”是兩類變量，其是否有關(guān)，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷.A.變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)

B.變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C.變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)

D.變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)2.對(duì)變量x，y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散點(diǎn)圖(1)；對(duì)變量u，v，有觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散點(diǎn)圖(2)，由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷(

)C解析由題圖(1)可知，y隨x的增大而減小，各點(diǎn)整體呈下降趨勢(shì)，x與y負(fù)相關(guān)，由題圖(2)可知，u隨v的增大而增大，各點(diǎn)整體呈上升趨勢(shì)，u與v正相關(guān).A.①② B.②③ C.①③ D.①②③3.有下列說法：①在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說明選用的模型比較合適；②用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，R2值越接近于1，說明模型的擬合效果越好；③比較兩個(gè)模型的擬合效果，可以比較殘差平方和的大小，殘差平方和越小的模型，擬合效果越好.正確的是(

)D4.(2022·昆明診斷)下表是關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(單位：年)和所支出的維修費(fèi)用y(單位：萬元)的統(tǒng)計(jì)表：Dx23456y3.44.25.15.56.8解析由已知表格，得由于x∈N*，所以據(jù)此模型預(yù)測(cè)，該設(shè)備使用年限的最大值為10.故選D.附表：5.某高校為調(diào)查學(xué)生喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了選修課程的55名學(xué)生，得到數(shù)據(jù)如下表：

喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程不喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程男生205女生1020P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828A所以有99.9%的把握認(rèn)為喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程與性別有關(guān)，即在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程與性別有關(guān).6.下列說法：B解析對(duì)于①，殘差可用來判斷模型擬合的效果，殘差越小，擬合效果越好，∴①正確；對(duì)于④，在2×2列聯(lián)表中，由計(jì)算得k＝6.665，對(duì)照臨界值得，有99%的把握確認(rèn)這兩個(gè)變量間有關(guān)系，∴④正確.綜上，其中錯(cuò)誤的命題是②，共1個(gè)，故選B.①有95%的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”；②若某人未使用該血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③這種血清預(yù)防感冒的有效率為95%；④這種血清預(yù)防感冒的有效率為5%.8.某醫(yī)療研究所為了檢驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把500名使用血清的人與另外500名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設(shè)H0：“這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用”，利用2×2列聯(lián)表計(jì)算得K2的觀測(cè)值k≈3.918，經(jīng)查臨界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是________.①解析k≈3.918≥3.841，而P(K2≥3.814)≈0.05，所以有95%的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”.要注意我們檢驗(yàn)的是假設(shè)是否成立和該血清預(yù)防感冒的有效率是沒有關(guān)系的，不是同一個(gè)問題，不要混淆.①人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%；②人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%；③人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%；④人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%.9.在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡的關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)，并制成如圖所示的人體脂肪含量與年齡的關(guān)系的散點(diǎn)圖，下列結(jié)論中正確的是________(填序號(hào)).②解析觀察圖形，可知人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%.10.(2022·河南名校聯(lián)考)某學(xué)校食堂統(tǒng)計(jì)了最近5天到餐廳就餐的人數(shù)x(單位：百人)與食堂向食材公司購買所需食材(原材料)的數(shù)量y(單位：袋)，得到如下統(tǒng)計(jì)表：

第一天第二天第三天第四天第五天就餐人數(shù)x/百人13981012原材料y/袋3223182428解(1)由所給數(shù)據(jù)可得(2)由(1)中求出的線性回歸方程知，當(dāng)x＝15時(shí)，y＝36.5，即預(yù)計(jì)需要購買食材36.5袋.所以當(dāng)y<36時(shí)，利潤L＝700y－(400y－20)＝300y＋20，y∈N，此時(shí)當(dāng)y＝35時(shí)，利潤Lmax＝300×35＋20＝10520(元)；當(dāng)y≥36時(shí)，根據(jù)線性回歸方程預(yù)測(cè)需要購買食材36.5袋，并且剩余的食材只能無償退還，此時(shí)當(dāng)y＝36時(shí)，利潤L＝700×36－380×36＝11520(元)，當(dāng)y＝37時(shí)，利潤L＝700×36.5－380×37＝11490(元).綜上，食堂應(yīng)購買36袋食材，才能獲得最大利潤，最大利潤為11520元.11.(2022·“四省八?！遍_學(xué)考試)據(jù)我國一項(xiàng)專題調(diào)查顯示，某市高級(jí)職稱的中年知識(shí)分子中竟有高達(dá)75.3%的人處于亞健康狀態(tài)，更令人擔(dān)憂的是85%以上的企業(yè)管理者處于慢性疲勞狀態(tài)或亞健康狀態(tài)，這是由他們所處的特殊工作及生活的環(huán)境和行為模式所決定的.亞健康是指非病非健康的一種臨界狀態(tài).如果這種狀態(tài)不能及時(shí)得到糾正，非常容易引起身心疾病.某高科技公司為了了解亞健康與性別的關(guān)系，對(duì)本公司部分員工進(jìn)行了不記名問卷調(diào)查，該公司處于正常工作狀態(tài)的員工(包括管理人員)共有8000人，其中男性員工有6000人，女性員工有2000人，從8000人中用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取了400人作為樣本進(jìn)行健康狀況的調(diào)查.(1)求男性員工、女性員工各抽取多少人？(2)通過調(diào)查得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，其中a＝0.2，b＝0.1.根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，完成下面2×2列聯(lián)表，

健康亞健康總計(jì)男員工

女員工

總計(jì)

400問是否有97.5%的把握認(rèn)為人處于亞健康狀態(tài)與性別有關(guān)？參考數(shù)據(jù)：P(K≥k0)0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879(2)由統(tǒng)計(jì)圖可知，樣本中男員工處于亞健康狀態(tài)的人數(shù)為300×0.2＝60，樣本中女員工處于亞健康狀態(tài)的人數(shù)為100×0.1＝10，2×2列聯(lián)表為∴有97.5%的把握認(rèn)為人處于亞健康狀態(tài)