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2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬測(cè)試

數(shù)學(xué)

本試卷共5頁，22小題，滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的市（縣、區(qū)）、學(xué)校、班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座

位號(hào)和考生號(hào)填寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼

粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)

的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不

能答在試卷上。

3,非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先畫掉原來的答案,然后再寫上新答案；

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

I.（5分）設(shè)“=國(guó)7=0},則下列關(guān)系正確的是（）

A.0=MB.{0}GMC.{0}cMD.0GM

2.（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足z?3-2i）=13i,則z的共血復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（5分）四個(gè)人排一個(gè)五天的值班表，每天一人值班，并且每個(gè)人至少值班一次，則有（）

種不同的排班方式.

A.240B.480C.420D.360

4.（5分）已知向量；=（-1,2）,b=（2m-1,1）,Ra±b,則而一2a=（）

A.5B.4C.3D.2

5.（5分）定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足/（1-x）=/（1+x）,f（0）=2,則f（10）=

（）

A.-4B.-2C.2D.4

6.（5分）如圖是某校高三某班甲、乙兩位同學(xué)前六次模擬考試的數(shù)學(xué)成績(jī)，若甲、乙兩人

的平均成績(jī)分別是石、石，則下列判斷正確的是（）

第1頁共19頁

A.甲比乙成績(jī)穩(wěn)定

B.有氣，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定

C.雙=花，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定

D.五=花，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定

7.（5分）aa>-2"是''函數(shù)/（x）=2x2+4ax+19在（2,+~）上為增函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.（5分）已知點(diǎn)A（3,0）,點(diǎn)。在拋物線『=4無上，過點(diǎn)尸的直線與直線x=-1垂直相

交于點(diǎn)B,\PB\=\PA\,則cosNAPB的值為()

11_1

A.-B.-C.D.

23~2

二.多選題（共4小題，滿分20分,每小題5分）

9.(5分)設(shè)OVoVbVl,0<c<l,則（)

A.In(c"+l)>ln(Al)B.(c+1)a<(c+1)b

C.ab>aa>haD.logc〃Vlogcb

10.（5分）下列結(jié)論正確的是（)

-誓是第三象限角

A.

713"

B.若圓心角為三的扇形的弧長(zhǎng)為TT,則該扇形面積為3

2

C.若角a的終邊過點(diǎn)P（-3,4）,則cosa=一5

D.若角a為銳角，則角2a為鈍角

11.（5分）已知函數(shù)/（x）=2s譏（3%+9）（3>0,0<|例<9x=5為函數(shù)的一條對(duì)稱軸,

且//）=1?若/（x）在（—等，一分上單調(diào)，則3的取值可以是（）

481632

A.-B.-C.——D.—

3333

第2頁共19頁

12.（5分）如圖，正方體ABC。-4BC1D1的棱長(zhǎng)為1,P為8c的中點(diǎn)，。為線段CC1

上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A,P,。的平面截該正方體所得的截面記為S,則下列命題正確的是（）

B.當(dāng)CQ另時(shí)，S為等腰梯形

C.當(dāng)CQ=東寸，S與CiZh的交點(diǎn)R滿足CiR=]

3

D.當(dāng)一VCQ<1時(shí)，S為六邊形

4

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）已知等比數(shù)列｛a”）的前"項(xiàng)和為a,且a2a4+“3=0,S3—-I,則劭=.

14.（5分）直線y=3x+b與函數(shù)/（x）=e，+x的圖象相切，則實(shí)數(shù)6=.

15.（5分）若函數(shù)f（x）=?-3ax+?有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

16.（5分）如圖，長(zhǎng)方體A8CD-4BICIOI的長(zhǎng)、寬、高分別為4遮、8、3,E、尸分別為

上底面、下底面（含邊界）內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AE+EF+FC1最小時(shí)，以E為球心，EF的長(zhǎng)為

半徑的球面與底面ABCD的交線長(zhǎng)為.

17.（10分）已知數(shù)列｛詞的前〃項(xiàng)和為S”，KSn=n2-4n+l,求⑷|+|〃2|+|“3|+…+|〃io|.

18.（12分）已知△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,h,c,acosC+ccosA=t>sinB,

b—2c.

（1）求C；

（2）若點(diǎn)。與點(diǎn)B在AC兩側(cè)，且滿足4/）=2,CD=3,求四邊形ABC。面積的最大值.

19.（12分）某工廠生產(chǎn)一種航天儀器零件，每件零件生產(chǎn)成型后，得到合格零件的概率為

第3頁共19頁

0.6,得到的不合格零件可以進(jìn)行一次技術(shù)處理，技術(shù)處理費(fèi)用為100元/件，技術(shù)處理后

得到合格零件的概率為0.5,得到的不合格零件成為廢品.

（1）求得到一件合格零件的概率；

（2）合格零件以1500元/件的價(jià)格銷售，廢品以100元/件的價(jià)格被回收.零件的生產(chǎn)成

本為800元/件，假如每件產(chǎn)品是否合格相互獨(dú)立，記X為生產(chǎn)一件零件獲得的利潤(rùn)，求

X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

20.（12分）如圖，已知直四棱柱ABCO-4BC1O1的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，E,尸分

別為A4i,AB的中點(diǎn).

（I）求證：直線D\E,CF,DA交于一點(diǎn)；

7T

（II）若直線O1E與平面ABCD所成的角為:，求二面角E-CG-8的余弦值.

4

21.（12分）如圖所示，已知A、B分別是橢圓C：一+尸=1的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)S是橢圓C

4

上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)S'與點(diǎn)S關(guān)于x軸對(duì)稱，直線AS、BS'與y軸分別交于M、

N兩點(diǎn).

（1）求線段的長(zhǎng)度的最小值;

（2）當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓C上是否存在這樣的點(diǎn)T,使得ATSB的面積為

1?若存在，確定點(diǎn)7的個(gè)數(shù)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)—ax+x^lnx.

（1）證明：當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)fG）有唯一的極值點(diǎn);

第4頁共19頁

(2)設(shè)a為正整數(shù)，若不等式,f(x)在(0,+8)內(nèi)恒成立，求。的最大值.

第5頁共19頁

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬測(cè)試

數(shù)學(xué)

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）設(shè)M={;v|/=0},則下列關(guān)系正確的是（）

A.0=MB.{0}6A/C.{0}UMD.06A/

【解答］解：M={X/=0}={0},

故對(duì)于A,“手M,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,。集合與集合之間不能用“€”，故8,。都錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由于{0}=M,故{0}UM正確；

故選：C.

2.（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足z?3-2i）=13i,則z的共輸復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解答】解：z=高=型魯竺=-2+33

則Z的共朝復(fù)數(shù)為-2-3n

故z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（-2,-3）,在第三象限.

故選：C.

3.（5分）四個(gè)人排一個(gè)五天的值班表,每天一人值班,并且每個(gè)人至少值班一次，則有（）

種不同的排班方式.

A.240B.480C.420D.360

【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析，

①在4人中選出1人，在5天中任選2天，安排該人值班，有C/C52=40種選法，

②將剩下3人，安排到其余3天值班，有433=6種排法，

則有40X6=240種不同的排班方式，

故選：A.

4.（5分）已知向量之=（-1,2）,b=（.2m-1,1）,且；_Lb,則|a-2b\—（）

A.5B.4C.3D.2

【解答】解：向量a=（-1,2）,b=（.2m-\,1）,且a_Lb,

第6頁共19頁

可得-(-2〃?-1)+2=0,解得m=2>

所以辦=(2,1),a-2b=(-5,0),

所以丘-26|=5.

故選：A.

5.(5分)定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足f(1-定=/(1+x),/(0)=2,則f(10)=

()

A.-4B.-2C.2D.4

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)滿足/(1-x)=/(1+x),則/(-x)+/(2+x)=0,

又由/(x)為偶函數(shù)，則有/(-x)=/(x),則/(x+2)=f(x),函數(shù)/(x)是周期為

2的周期函數(shù)，

故/(10)=/(0)=2,

故選：C.

6.(5分)如圖是某校高三某班甲、乙兩位同學(xué)前六次模擬考試的數(shù)學(xué)成績(jī)，若甲、乙兩人

的平均成績(jī)分別是有、豆，則下列判斷正確的是()

A.五〉號(hào)，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定

B.五<蒞，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定

C.有=再，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定

D.E=石，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定

【解答】解：根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為雙=1x

(111+115+123+128+136+143)=126,

方差為s/=/x[(-15)2+(-11)2+(-3)2+22+102+172]=^,

乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為赤=9(112+126+127+124+132+135)=126,

第7頁共19頁

方差為s22=4X[（-14）2+02+l2+（-2）2+62+92]=^,

oo

所以五'F，Si2As22,乙比甲成績(jī)穩(wěn)定.

故選：B.

7.（5分）“a>-2”是“函數(shù)/（x）=2?+4以+19在（2,+~）上為增函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：若函數(shù)/（x）=#+4辦+19在（2,+8）上為增函數(shù)，

則°2-2,

所以“〃>-2”是“函數(shù)/（x）=2?+4數(shù)+19在（2,+8）上為增函數(shù)”的充分不必要

條件，

故選：A.

8.（5分）已知點(diǎn)A（3,0）,點(diǎn)P在拋物線V=4x上，過點(diǎn)P的直線與直線x=-1垂直相

交于點(diǎn)B,仍8|=|冽，貝1JcosNAPB的值為（）

1111

A.—B?—C.--QD.—

2323

【解答】解：由題意，可知尸（1,0）,

：.\PB\^\PF]=PA\,

；.尸的橫坐標(biāo)為2,不妨取點(diǎn)P（2,2V2）,

又點(diǎn)P在拋物線f=4x上，過點(diǎn)P的直線與直線x=-1垂直相交于點(diǎn)B,

:.B（-1,2V2）

:已知點(diǎn)A（3,0）,可知aAPB中8P=3,AP=3,A8=2遙，

.?.在AAPB中，由余弦定理可得cosZAPB=4"探親〃=3之+北夢(mèng)=_1；

故選：D.

二.多選題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

9.(5分)設(shè)0<c<l,貝IJ()

A.In(c"+I)>ln(?+l)B.(c+1)a<(c+1)h

C.D.logca<logc/7

【解答】解：?.?OVaVbVl,0<c<l,

?,?函數(shù)了=",y=logcx均是減函數(shù)，

.,.ab<aa,Iogca>logc6,故選項(xiàng)C￡>錯(cuò)誤,

第8頁共19頁

?.?函數(shù)y=/〃x是增函數(shù)，y=/是減函數(shù)，

“>/,」+1>心+1,

'.In（〃+1）>ln（c?+l）,故選項(xiàng)A正確，

???函數(shù)），=（c+l）x是增函數(shù)，故選項(xiàng)B正確.

故選：AB.

10.（5分）下列結(jié)論正確的是（）

A.-普是第三象限角

B.若圓心角為三的扇形的弧長(zhǎng)為則該扇形面積為生

32

C.若角a的終邊過點(diǎn)尸（-3,4）,貝Ijcosa=-|

D.若角a為銳角，則角2a為鈍角

【解答】解：對(duì)于4是第而二象限角，所以A不正確；

O

n17T371

對(duì)于B:若圓心角為］的扇形的弧長(zhǎng)為71,則該扇形面積為：-X7TXIf=—.所以B

3

正確；

對(duì)于C：若角a的終邊過點(diǎn)尸（-3,4）,則cosa=-|,所以C正確；

對(duì)于。：若角a為銳角，則角2a為鈍角，反例a=l°,則2a=2°是銳角，所以。不

正確；

故選：BC.

11.（5分）已知函數(shù)/'（%）=2sin（（ox+w）?>0,0<\（p\%=，為函數(shù)的一條對(duì)稱軸,

且//）=1?若/（X）在（一咨，一力上單調(diào)，則3的取值可以是（）

481632

A.-B.-C.—D.—

3333

【解答】解：函數(shù)/（%）=2s譏（3%+9）（3>0,0V|w|V分％?為函數(shù)的一條對(duì)稱軸，

O）TCN

.?.7-+（p=4n+2，%EZ.

4萬37r337ia）i

V/（-g-）=1=2sin（---+（p）,即sin（---+（p）=矛

,,3江&）Jr33m&）57r

故~一+叩=2〃11+鎮(zhèn)或~—+（p=2〃TT+-g-,

、口-37rTi?山、E127rTT37r

*.*y（x）在（一萬~,一不）上單倜，>——+—,.?.a）W8.

第9頁共19頁

(JI)TC冗37r

右-^-+(p=E+1,--—+(p=2mr+q,kEZ,A?6Z,

oo

求得3=1—8(2〃-攵)，結(jié)合o)W8,可得u)=w(H=1,Z=2).

#37Tn37r0)57r

右，一+(p=Zn+矛—+cp—2/?IT+-g-,kWZ,〃WZ,

求得3=-8(2〃-Z)—*結(jié)合u)W8,可得3=竽(〃=0,k=\),

故選：BC.

12.（5分）如圖，正方體ABCD-AiBiCiOi的棱長(zhǎng)為1,P為BC的中點(diǎn)，Q為線段C。

上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S,則下列命題正確的是（）

A.當(dāng)0<CQv］時(shí)，S為四邊形

B.當(dāng)CQ=4時(shí)，S為等腰梯形

C.當(dāng)CQ=飄，S與CbDi的交點(diǎn)R滿足C1R巖

3

D.當(dāng)一<CQ<］時(shí)，S為六邊形

4

當(dāng)CQ=；時(shí)，即。為CC1中點(diǎn),此時(shí)可得尸?！≦,AP=Q￡>i=卜+（32=字,

故可得截面APQDi為等腰梯形，故B正確；

由上圖當(dāng)點(diǎn)。向C移動(dòng)時(shí)，滿足0<CQV±只需在QQi上取點(diǎn)M滿足AM〃尸。,

即可得截面為四邊形APQM,故A正確；

當(dāng)C0=2時(shí),如圖，

第10頁共19頁

1

延長(zhǎng)DDi至M使。1N=*,連接AN交4￡>i于S,連接NQ交于R,連接SR,

可證AN〃P。，由△NAO"./?。，可得Ci/?：D]R=C\Q：DiN=l：2,故可得CiR=g,

故C正確；

3

由C可知當(dāng):VCQV1時(shí)，只需點(diǎn)。上移即可，此時(shí)的截面形狀仍然上圖所示的APQRS,

4

顯然為五邊形，故。錯(cuò)誤；

故選：ABC.

三.填空題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

13.(5分)已知等比數(shù)列｛“"｝的前"項(xiàng)和為S",且4244+43=0,53—-1,則—=(-1)

n

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列｛“”｝的公比為4，

若4244+43=0,則(。3)2+43=0,解可得43=-1或0(舍)，

若$3=-1,貝!!S3=ai+a2+a3=-1,則有ai+?2=0,則q=-l,

必有.1=與=—1,

qz

則劭=(-1)X(-1)"(-!)",

故答案為：(-故

14.(5分)直線y=3x+8與函數(shù)/(X)=F+x的圖象相切，則寞數(shù)匕=2-2/〃2.

【解答】解：設(shè)切點(diǎn)為p(xo,yo),

由/(x)=ex+x,得/(x)=/+1,

4?/z(xo)=e'。+1=3,得xo=/〃2,

則切點(diǎn)為(上2,2+/〃2),代入y=3x+h,

得2+/〃2=3/"2+匕，:.b=2-2ln2.

故答案為：2-2ln2.

第11頁共19頁

15.(5分)若函數(shù)/(x)=/-3如+々有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(，，+

8).

【解答】解：/(x)=A?-3ax+a,f(x)=3/-3a,

函數(shù)/G)=4-3依+。有三個(gè)不同的零點(diǎn)，可得。>0；

令37-3〃=0可得x=±Va,xE(-8,Va),(Va,+°°),f(x)>0,函數(shù)是增函

數(shù)；

x6(-Va,Va),函數(shù)是減函數(shù)，

函數(shù)的極大值：f(-Va)=-。乃+3WH+a>0；…①

函數(shù)的極小值：f(Va)=〃VH-3WH+4<0，…②

解：①②可得：a》;

1

故答案為：(二，+8).

4

16.(5分)如圖，長(zhǎng)方體ABC。-AIBICIOI的長(zhǎng)、寬、高分別為44、8、3,E、尸分別為

上底面、下底面(含邊界)內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AE+EF+B。最小時(shí)，以E為球心，EF的長(zhǎng)為

半徑的球面與底面ABCD的交線長(zhǎng)為47r.

【解答】解：要想AE+EF+FCi最小，則A,E,F,Ci要在同一個(gè)平面內(nèi)，即平面ACC14

內(nèi)，

如圖①所示，AE+EF^AE+EF,

所以AE+EF+FC]^AE+EF+FC\^AE+EF+FC\^AE+EF+FC\',

貝I」當(dāng)AE+EF+尸Cl最小時(shí)為AE+EF+FC\',

此時(shí)AE=￡F=ECT,即E,F分別為AiCi,AC的的三等分點(diǎn)，

因?yàn)?Ci=AC=y/AB2+BC2=12,

所以4E=4,AE=+岫2=5,

所以EF=5,

如圖②所示，球心廠在平面A8S上的投影點(diǎn)為時(shí)，

第12頁共19頁

M1為AC的三等分點(diǎn)，故AM=4,

作MG_LAO于G,MH_LA8于H,

在平面A8C￡＞內(nèi)，A關(guān)于直線MG,MH的對(duì)稱點(diǎn)分別為P,Q,

所以何「=財(cái)。=4"=4,

則所為以E為球心，EF為半徑的球面與底面ABCD的交線，

所以網(wǎng)=4TT.

故答案為:47r.

圖①

四.解答題(共6小題，滿分70分)

17.(10分)己知數(shù)列｛“”｝的前”項(xiàng)和為S”且S”=〃2-4〃+l,求|小|+|。2|+|。3|+…+|aio|.

【解答】解:數(shù)列｛。,｝的前〃項(xiàng)和為S,且5"=〃2-4〃+1,

當(dāng)？I三2時(shí)，Cln=Sn-Sn-1=2〃-5.

當(dāng)〃=1時(shí)，"l=Sl=-2,

mi”(-2(n=1)

所以：Q九—)QU,、QX，

n(2n-5(n>2)

則：mV〃2<0,

則:⑷|+|〃2|+|。3|+…+|〃1()|=-(。1+。2)+(Q3+Q4+,??+〃10),

=SIO-2s2,

=102-4*10+1-2(-2-1),

=61+6,

=67.

第13頁共19頁

18.(12分)已知△45C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為〃，b,c,acosC+ccosA=fesinB,

b=2c.

(1)求C；

(2)若點(diǎn)。與點(diǎn)8在AC兩側(cè)，且滿足AO=2,CO=3,求四邊形ABC。面積的最大值.

【解答】解：(1)由acosC+ccosA=bsinB以及正弦定理可知,

sinAcosC+sinCcosA=sin2^,

即sin(A+C)=sinB=sin2B.

V0<B<n,sin8#0,

，sinB=l,B=J.

?:b=2c,

.,.sinB=2sinC,可得sinC=*，可得C=

(2)設(shè)/A￡)C=a,由余弦定理，可得A(72=13-i2cosa,

可得四邊形ABCD的面積S=SAABC+S^ACD

1nn1

=7TxACxsin-rxACcos-十一x2x3sina

2662

=和

C+3sina

=138/

/3---2-cosa+3sina

/-3

=138-/+N-sm（a+（p）

/3

<,3"13萬+12"/甘小.右、

-138/+—=----g----,（其中tan<p=--y）,

故四邊形ABCD面積的最大值為13\V3+12V”7

19.（12分）某工廠生產(chǎn)一種航天儀器零件，每件零件生產(chǎn)成型后，得到合格零件的概率為

0.6,得到的不合格零件可以進(jìn)行一次技術(shù)處理，技術(shù)處理費(fèi)用為100元/件，技術(shù)處理后

得到合格零件的概率為0.5,得到的不合格零件成為廢品.

（1）求得到一件合格零件的概率；

（2）合格零件以1500元/件的價(jià)格銷售，廢品以100元/件的價(jià)格被回收.零件的生產(chǎn)成

本為800元/件，假如每件產(chǎn)品是否合格相互獨(dú)立，記X為生產(chǎn)一件零件獲得的利潤(rùn)，求

X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【解答】解：（1）由題意得得到一件合格零件的概率為：

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P=0.6+0.4X0.5=0.8.

(2)由已知，若該零件不合格，則X=100-(800+100)=-800,

該零件經(jīng)過進(jìn)行一次技術(shù)處理才合格，則X=1500-(800+100)=600,

該零件零件生產(chǎn)成型后就是合格零件，則%=1500-800=700,

所以X的所有可能取值為-800,600,700.

P(X=-800)=(1-0.6)X(1-0.5)=0.2,

P(X=600)=(1-0.6)*0.5=0.2,

P(？=700)=0.6.

.??X的分布列為：

X-800600700

P0.20.20.6

EX=-800X0.2+600X0.2+700X0.6=3807C.

20.(12分)如圖，已知直四棱柱4BCD-4B1C1O的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，E,F分

別為A4i,AB的中點(diǎn).

(I)求證：直線D\E,CF,DA交于一點(diǎn)；

71

(II)若直線O1E與平面ABC。所成的角為:，求二面角后-CD1的余弦值.

4

【解答】(I)證明：連結(jié)EF,4B,因?yàn)镋,尸分別為A4,AB的中點(diǎn)，所以

1

且

因?yàn)锳BC。-AiBiCiOi是直四棱柱，且底面是正方形，

所以3c〃AO〃A1O1,且BC=A￡>=Ai￡>i,即四邊形AiBCDi是平行四邊形，

所以4B〃￡?C,且4B=￡)iC,所以E尸〃。Ci,且EFWOCi,即四邊形EFCDi為梯形，

所以。iE與C尸交于一點(diǎn)，記為P,

因?yàn)樽笃矫鍭BCQ,PC平面ADQ14,所以P在平面ABC。與平面A￡>￡>14的交線上,

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又因?yàn)槠矫鍭5C3G平面AQQiAi=A。，所以PEA。，

故直線D1E,CF,ZM交于一點(diǎn)；

n

(II)解：因?yàn)橹本€OE與平面A8CD所成的角為一，即直線9E與平面4囪。。1所

4

71

成的角為:，

4

故NE￡)i4=與，所以AiE=4Di=2,所以A4=4,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ADi,DC,DD所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系如

圖所示，

則。(0,0,0),D\(0,0,4),C(0,2,0),B(2,2,0),F(2,1,0),

所以b=(2,-1,0),CB=(2,0,0),CDi=(0,-2,4),

設(shè)平面PCD\的法向量為弦=(x,y,z),則有R?巧=2》-y=°,

(n?CDr——2y+4z=0

令x=l,則y=2,z=l,故￡=(L2,1),

設(shè)平面BCD}Ai的法向量為其=(a,b,c),則有1?-CB=2a=0,

(m-CD]=-2b4-4c=0

令c=l,則。=2,故m=(0,2,1),

—>—>

所以COS<72,TH>=r恐=-j4=-+1y==>/30

\n\\m\V6XV56

故二面角E-CD\-B的余弦值為厚.

6

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工4

21.（12分）如圖所示，已知A、8分別是橢圓C：—+V=1的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)S是橢圓C

4

上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)S'與點(diǎn)S關(guān)于x軸對(duì)稱，直線AS、BS'與y軸分別交于M、

N兩點(diǎn).

（1）求線段的長(zhǎng)度的最小值:

（2）當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓C上是否存在這樣的點(diǎn)T,使得△TSB的面積為

1?若存在，確定點(diǎn)T的個(gè)數(shù)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解答】解：（1）設(shè)直線4S的方程為），=上（x+2）*>0）,從而可知M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,

2k),

（y=k{x+2）2-8fc24k2-8k2

聯(lián)立方程小,解得點(diǎn)S的坐標(biāo)為（1F，=77），所以S'（hF，

—+y2=1l+4k21+4/c21+4/c2

-4/c

），

——1+47H7

所以可得BS'的方程為：尸方（x-2）,從而可知N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,-克），

所以網(wǎng)可=2%+422,當(dāng)且僅當(dāng)&時(shí)取等號(hào)，

故當(dāng)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度的最小值為2；

（2）由⑴知，當(dāng)眼聞取得最小值時(shí)，k/,此時(shí)5（0,1）,

直線8s的方程為x+2y-2=0,所以18sl=6，

要使橢圓C上存在點(diǎn)T,使得ATSB的面積等于1,只需T到直線BS的距離為等，

-275

所以點(diǎn)T在平行于直線BS且與直線BS距離為《一的直線r上，

ITYL+212,^5

設(shè)直線/'的方程為：x+2y+m=Qf則有6=飛",解得機(jī)=-4或機(jī)=0,

則直線/'：x+2y-4=