高中數(shù)學(xué)必修五第一章解三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)題

第一章解三角形1.正弦定理：在三角形$ABC$中，$a$、$b$、$c$分別為角$A$、$B$、$C$的對(duì)邊，$R$為三角形$ABC$的外接圓的半徑，則有：$$\frac{abc}{\sinA\sinB\sinC}=2R.$$2.正弦定理的變形公式：$$a=2R\sinA,\quadb=2R\sinB,\quadc=2R\sinC;$$$$\sinA=\frac{a}{2R},\quad\sinB=\frac{2R},\quad\sinC=\frac{c}{2R};$$$$a:b:c=\sinA:\sinB:\sinC;$$$$\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{\sinA\sinB\sinC};$$$$\sinA=\frac{a}{2R}.$$注意：正弦定理主要用來解決兩類問題：已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角，求其余的量；已知兩角和一邊，求其余的量。對(duì)于已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角的題型，要注意解的情況（一解、兩解、無解三種情況）。例如，在三角形$ABC$中，已知$a$、$b$、$A$（$A$為銳角），求$B$。具體的做法是：數(shù)形結(jié)合思想畫出圖，然后判斷解的情況。3.三角形面積公式：$$S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}ac\sinB.$$4.余弦定理：在三角形$ABC$中，有$a=b+c-2c\cosA$，$b=a+c-2a\cosB$，$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$。5.余弦定理的推論：$$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\quad\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac},\quad\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.$$注意：余弦定理主要解決的問題是已知兩邊和夾角，求其余的量；已知三邊求角。6.如何判斷三角形的形狀：設(shè)$a$、$b$、$c$是三角形$ABC$的角$A$、$B$、$C$的對(duì)邊，則：①若$a+b=c$，則$\angleC=90$；②若$a+b>c$，則$\angleC<90$；③若$a+b<c$，則$\angleC>90$。7.正余弦定理的綜合應(yīng)用：如圖所示，隔河看兩目標(biāo)$A$、$B$，但不能到達(dá)。在岸邊選取相距$3$千米的$C$、$D$兩點(diǎn)，并測(cè)得$\angleACB=75^\circ$，$\angleBCD=45^\circ$，$\angleADC=30^\circ$，$\angleADB=45^\circ$（$A$、$B$、$C$、$D$在同一平面內(nèi)），求兩目標(biāo)$A$、$B$之間的距離。附：三角形的五個(gè)“心”：重心：三角形三條中線交點(diǎn)。答案及解析：一、選擇題1、B。根據(jù)正弦定理，sinB=b/10，sinC=c/10，又因?yàn)锽=60°，C=45°，所以sinB=√3/2，sinC=√2/2，代入sinB=b/10，sinC=c/10中可得b=10。2、D。根據(jù)余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC，代入a=5，b=3，cosC=x，化簡(jiǎn)得5x2-7x-6=0，解得x=1/5或-6/5，由于余弦值不能大于1，所以舍去-6/5，得到x=1/5，代入c2=a2+b2-2abcosC中可得c=√13。3、C。根據(jù)余弦定理，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)，化簡(jiǎn)得cosA=(b+c)(b-c)/(2bc)，代入(a+c)(a-c)=b(b+c)中可得cosA=(b-c)/a，又因?yàn)?a+c)(a-c)=b(b+c)，所以(a+c)/(b+c)=(b+c)/(a-c)，化簡(jiǎn)得a2-b2=2ac，代入cosA=(b-c)/a中可得cosA=1/2，所以A=60°，所以答案為C。4、D。根據(jù)正弦定理，sinA/a=sinB/b=sinC/c，代入已知條件中可得sinB/7=sinC/16，所以sinB=7sinC/16，代入sinA/a=sinB/b中可得sinA=3/4，代入余弦定理c2=a2+b2-2abcosC中可得c=√109或-√109，舍去負(fù)數(shù)解，得到c=√109。5、A。根據(jù)已知條件，設(shè)a=1x，b=3x，c=2x，代入周長(zhǎng)等于20中可得6x=20，解得x=10/3，所以a=10/3，b=10，c=20/3，所以A:B:C=1:2:3。6、C。根據(jù)海倫公式，設(shè)半周長(zhǎng)為s，則s=(a+b+c)/2=10，面積為√(s(s-a)(s-b)(s-c))=√(10(10-a)(10-b)(10-c))=10.3，代入正弦定理sinA/a=sinB/b=sinC/c中可得sinA=√3/2，代入余弦定理c2=a2+b2-2abcosC中可得cosC=1/2，所以cosB=cos(180°-A-C)=-cos(A+C)=-cos(60°)=1/2，代入正弦定理sinB/b=sinC/c中可得b=7/√3，所以BC=2b=14/√3。二、填空題7、3/5。根據(jù)已知條件sinA/sinB/sinC=6/5/4，可得sinA=6k，sinB=5k，sinC=4k，其中k為比例系數(shù)，又因?yàn)閟inA+sinB+sinC=1，所以6k+5k+4k=1，解得k=1/15，代入cosA=cos(B+C)=cos(180°-A)/2=-cosA/2中可得cosA=-3/5，所以答案為3/5。8、1/2。根據(jù)已知條件A=60°，b=1，面積為3，代入正弦定理sinB/b=sinC/c中可得sinB=√3/2，代入面積公式S=1/2bcsinA中可得c=6/√3=2√3，代入正弦定理sinA/a=sinB/b=sinC/c中可得sinA=1/2，所以sinA+sinB+sinC=1/2+√3/2+1=3/2，所以答案為1/2。9、5。根據(jù)中線定理，有2AD2=2AB2+2AC2-BC2，代入已知條件AB=4，AC=7，AD=7/2中可得BC=5。10、22。根據(jù)已知條件c=33，代入余弦定理c2=a2+b2-2abcosC中可得a2+b2=109，又因?yàn)閍/b=1/3，所以a2+b2=10b2，代入上式中可得10b2=109，解得b2=109/10，所以a2=(1/3)2b2=109/30，所以a+b=√(109/30)+√109≈21.98≈22。三、解答題（I）根據(jù)正弦差公式sin(C-A)=sinCcosA-cosCsinA可得cosA=sinB/sinC-sin(C-A)/sinC=sinB/sinC-4/5。又因?yàn)閟in2B+cos2B=1，代入已知條件中可得sinB=1/3，所以cosA=1/3-4/5=-7/15。所以sin2A=1-cos2A=194/225，所以sinA=√(194/225)。（II）設(shè)BC=x，則AC=6-x，根據(jù)余弦定理c2=a2+b2-2abcosC可得x2=36+(6-x)2-2·6·(6-x)·(-7/15)，化簡(jiǎn)得7x2-84x+144=0，解得x=6或8/7，舍去8/7，得到x=6，所以△ABC的面積為S=1/2·6·√(36-(6-√(194/225))2)≈4.26。cos(AB)cos(AB)由第一個(gè)式子得acb，代入第二個(gè)式子得sin2Bsin(CB)，即BCB或B180CB，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形。2.解：由正弦定理得sinAa2R，sinCc2R，代入式子得2R(a2c2)(2ab)bcosB，即cosB2R(a2c2)2abb2c2由余弦定理得b2a2c22accosB，代入式子得cosB2R(a2c2)2a22c2b2所以2R(a2c2)2abb2c22R(a2c2)2a22c2b2化簡(jiǎn)得c2(a2c2)2a2b22ab2b4，即a2c22b2c2b42a2b22ab2化簡(jiǎn)得(abc)(abc)3ac，所以abc，即△ABC為銳角三角形。由海倫公式得S2p(pa)(pb)(pc)，其中pabc2化簡(jiǎn)得S2abcp(abc)(acb)(bca)abcp(pa)(pb)(pc)由于ac2b，所以p2bb32b，代入式子得S232ab2(32ba)(32bc)(32bb)32ab2(32ba)(32bc)32由于ac2b，所以c2ba，代入式子得S232ab2(32ba)(3ba)(ba)32ab2(32b3a2b3ab2a3)(ba)32ab2(32b3a2b3ab2a3)b(32b3a2b3ab2a3)a32a2b2a4所以S2a2b3.解：由ac2b得c2ba，所以ACA(B)BC，即BC(AC)C(2ba)由余弦定理得cos(AC)cos2BcosBcos(AC)2cos2B1所以cos(AC)cosBcos2B3cos2BcosB12cos2B2cosB22(cosB1)22由bac得b2a2c2，所以a2b2a2a2c2a2(1c2)，所以a:b:c1:√2:21.根據(jù)cosA或cosB的值，可以得到A或B的值，進(jìn)而得出△ABC是直角三角形。2.證明：將cosB和cosA代入右邊的式子，化簡(jiǎn)后得到右邊等于c(2abc)/(a^2+b^2-c^2)，左邊等于(abcosBcosA)/(ba^2-b^2a)，兩邊化簡(jiǎn)后得到左邊等于右邊，證畢。3.證明：由于△ABC是銳角三角形，所以A+B>π/2，進(jìn)而得到π/2>A>π/2-B，即sinA>sin(π/2-B)=cosB。同理可得sinB>cosC，sinC>cosA/2。將三個(gè)不等式相加即可得到sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC。二、選擇題1.根據(jù)三角函數(shù)的定義和三角形的三條邊長(zhǎng)，可以得到sinA=1/2,sinB=√3/2,sinC=1。進(jìn)而得到a:b:c=1:√3:2，選項(xiàng)C正確。2.根據(jù)A+B<π,A<π-B以及三角函數(shù)的定義，可以得到sinA<sin(π-B)=sinB，選項(xiàng)B正確。3.根據(jù)三角函數(shù)的定義和三角形的三個(gè)角度，可以得到tanB=sinB/cosB，tanC=sinC/cosC，進(jìn)而將2tanB+tanC化簡(jiǎn)后得到1/(cosBcosC)=sinA/(sinBsinC)，選項(xiàng)C正確。4.根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義，可以得到lg(sinA/sinB)=lg2，進(jìn)而得到sinA=2cosBsinC，選項(xiàng)D正確。5.根據(jù)余弦定理和三角形的三條邊長(zhǎng)，可以得到cosA=-1/2，進(jìn)而得到b+c-a=3√3，選項(xiàng)B正確。6.根據(jù)余弦定理和題目中的信息，可以得到cosB=-1/3，進(jìn)而得到角C是最大的角，選項(xiàng)C正確。三、填空題1.根據(jù)勾股定理和三角形面積公式，可以得到a=√13，S=6。2.根據(jù)三角函數(shù)的定義和題目中的信息，可以得到tanA>tan(-B)=(-cosB)/sinB，進(jìn)而得到tanA/tanB>1，填1。3.將題目中的式子化簡(jiǎn)，可以得到2tanB+tanC=(sinBcosC+cosBsinC)/(cosBcosC)+sin(B+C)/2sinA，進(jìn)而得到2tanB+tanC=1/cosA，填cosA。4.銳角三角形C為最大角，且cosC>0，則C為銳角。已知：8+43-3b+c=3+114/(a+2bc)化簡(jiǎn)得：b+c-a=5因?yàn)镃為最大角，所以C>90°，即C為銳角。5.解：已知S△ABC=3，bc=4，2bc/(6+22√3)=2.80根據(jù)余弦定理，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=1/2代入三角形面積公式，得到a=2S/b=3/2代入2bc/(6+22√3)=2.80，可解得b=1，c=4改寫：已知三角形面積為3，且bc=4，根據(jù)余弦定理得cosA=1/2。代入面積公式，得到a=3/2。解方程2bc/(6+22√3)=2.80，可得b=1，c=4。1.當(dāng)A=75°，C=45°時(shí)，根據(jù)正切定理可得tanB=tan(180°-A-C)=-tan(60°-A)=tan(15°+A)，又因?yàn)閠anC=1，所以tanB=tanC+tanA=2+tanA。根據(jù)正切的定義可得tanA=b/a=4/3，代入上式可得tanB=2+4/3=10/3。根據(jù)正弦定理可得b=43/3，c=8(3-1)=16，a=8sinA=8sin75°=8(√6+√2)/4=2√6+2√2。2.當(dāng)A=45°，C=75°時(shí)，根據(jù)正切定理可得tanB=tan(180°-A-C)=-tan(30°-A)=tan(15°+A)，又因?yàn)閠anC=2，所以tanB=tanC+tanA=2+tanA。根據(jù)正弦定理可得b=43，c=4(3+1)=16，a=8sinA=8sin45°=4√2。3.無需改寫。4.由余弦定理可得cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(-119)/(-52)不在[-1,1]范圍內(nèi)，因此無解。5.根據(jù)正弦定理可得sinA=a/(b+c+bc)，代入題目中的式子可得bc+3b+3c=0，解得(b+3)(c+3)=9，因此b和c的取值為-3或6，代入正弦定理可得sinA的取值為√2/2或-√2/2，因此角A為45°或135°。6.根據(jù)余弦定理可得cosA=b2+c2-a2)/(2bc)=cosB，即A=B或A+B=180°，因此△ABC是等腰或直角三角形。7.根據(jù)正弦定理可得a/sinA=b/sinB=c/sinC，因此a:b:c=sinA:sinB:sinC=1:3:2√3，因此a的取值范圍為(3,2√3+3)。8.根據(jù)正弦定理可得a/sinA=b/sinB=c/sinC=2sinAcosB/sinC=2cosB，因此a=b√2或a=c√3，即△ABC是等腰直角三角形或正三角形。9.根據(jù)正弦定理可得a/sinA=b/sinB=2/√3，因此a/b=sinA/sinB=2/3√3，由于B=60°，所以A=180°-60°-arcsin(2/3√3)或A=60°+arcsin(2/3√3)，因此x的取值范圍為(2,4)。10.根據(jù)正弦定理可得sinA=4k/12.5，sinB=5k/12.5，sinC=6k/12.5，其中k為正整數(shù)，因此A≈15.26°，B≈19.07°，C≈145.67°。根據(jù)余弦定理可得a2=b2+c2-2bc*cosA=19/4，b2=a2+c2-2ac*cosB=25/4，c2=a2+b2-2ab*cosC=36/4=9，因此a:b:c=2:2.5:3，成立的結(jié)論有2個(gè)，即①和③。11.根據(jù)正弦定理可得sinB=4/5，sinC=3/5，因此B≈53.13°，C≈36.87°。根據(jù)正弦定理可得a=3sinA/4，代入海倫公式可得△ABC的面積為3√3/16。1.已知△ABC的面積為30°/3，且b=2,c=3，則∠A等于（）答案：60°或120°2.已知△ABC的三邊長(zhǎng)a=3,b=5,c=6，則△ABC的面積為（）答案：143.某市在“舊城改造”中計(jì)劃內(nèi)一塊如圖所示的三角形空20米×15030米地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米a元，則購(gòu)買這種草皮至少要（）答案：225a元4.甲船在島B的正南方A處，AB=10千米，甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，同時(shí)乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是（）答案：21.5分鐘5.飛機(jī)沿水平方向飛行，在A處測(cè)得正前下方地面目標(biāo)C得俯角為30°，向前飛行10000米，到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得目標(biāo)C的俯角為75°，這時(shí)飛機(jī)與地面目標(biāo)的水平距離為（）答案：5000米6.在△ABC中，a=sin10°，b=sin50°，∠C=70°，那么△ABC的面積為（）答案：1/167.若△ABC的周長(zhǎng)等于20，面積是103，A=60°，則BC邊的長(zhǎng)是（）答案：68.已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為2、3、x，則x的取值范圍是（）答案：5<x<139.在△ABC中，若5cosAcosBsinC=5，則△ABC是（）答案：等邊三角形10.在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3，則a:b:c=1:2:311.在△ABC中，a=33,c=2,B=150°，則b=3212.在△ABC中，A=60°，B=45°，a+b=12，則a=3，b=913.已知△ABC中，a=181,b=2