2024學年遼寧省北票市第三高級中學數(shù)學高三上期末達標測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，則全集則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)，是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是A． B．的共軛復(fù)數(shù)為C．的實部與虛部之和為1 D．在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于第一象限3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A． B． C． D．4．已知向量，，且與的夾角為，則x=（）A．-2 B．2 C．1 D．-15．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．6．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A．－1 B． C．1 D．7．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（）A． B． C．2 D．8．，則與位置關(guān)系是()A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面或相交9．函數(shù)的大致圖像為（）A． B．C． D．10．設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，，則的最小值為（）A． B． C． D．11．上世紀末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1），充分展示了我國古代高超的音律藝術(shù)及先進的數(shù)學水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖，圖3是某骨笛的部分測量數(shù)據(jù)（骨笛的彎曲忽略不計），夏至（或冬至）日光（當日正午太陽光線）與春秋分日光（當日正午太陽光線）的夾角等于黃赤交角.由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對應(yīng)的年代如下表：黃赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根據(jù)以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是()A．公元前2000年到公元元年 B．公元前4000年到公元前2000年C．公元前6000年到公元前4000年 D．早于公元前6000年12．復(fù)數(shù)的模為（）．A． B．1 C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，若的展開式中的系數(shù)比x的系數(shù)大30，則______．14．在正方體中，為棱的中點，是棱上的點，且，則異面直線與所成角的余弦值為__________．15．已知函數(shù)，若方程的解為，（），則_______；_______．16．已知實數(shù)x,y滿足(2x-y)2+4y三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某企業(yè)質(zhì)量檢驗員為了檢測生產(chǎn)線上零件的質(zhì)量情況，從生產(chǎn)線上隨機抽取了個零件進行測量，根據(jù)所測量的零件尺寸（單位：mm），得到如下的頻率分布直方圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這個零件尺寸的中位數(shù)（結(jié)果精確到）；（2）若從這個零件中尺寸位于之外的零件中隨機抽取個，設(shè)表示尺寸在上的零件個數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望；（3）已知尺寸在上的零件為一等品，否則為二等品，將這個零件尺寸的樣本頻率視為概率.現(xiàn)對生產(chǎn)線上生產(chǎn)的零件進行成箱包裝出售，每箱個.企業(yè)在交付買家之前需要決策是否對每箱的所有零件進行檢驗，已知每個零件的檢驗費用為元.若檢驗，則將檢驗出的二等品更換為一等品；若不檢驗，如果有二等品進入買家手中，企業(yè)要向買家對每個二等品支付元的賠償費用.現(xiàn)對一箱零件隨機抽檢了個，結(jié)果有個二等品，以整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值作為決策依據(jù)，該企業(yè)是否對該箱余下的所有零件進行檢驗？請說明理由.18．（12分）設(shè)函數(shù).（1）若函數(shù)在是單調(diào)遞減的函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，證明：.19．（12分）在平面直角坐標系中，已知拋物線C：（）的焦點F在直線上，平行于x軸的兩條直線，分別交拋物線C于A，B兩點，交該拋物線的準線于D，E兩點.（1）求拋物線C的方程；（2）若F在線段上，P是的中點，證明：.20．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論零點的個數(shù).21．（12分）在平面直角坐標系中，已知向量，，其中.（1）求的值；（2）若，且，求的值.22．（10分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若點是直線的一點，過點作曲線的切線，切點為，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

化簡集合，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，化簡集合，按照集合交集、并集、補集定義，逐項判斷，即可求出結(jié)論.【題目詳解】由，則，故，由知，，因此，，，，故選:D【題目點撥】本題考查集合運算以及集合間的關(guān)系，求解不等式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的四則運算，求得，在根據(jù)復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的概念等即可得到結(jié)論．【題目詳解】由題意，則，的共軛復(fù)數(shù)為，復(fù)數(shù)的實部與虛部之和為，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于第一象限，故選D．【題目點撥】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運算的法則是進行復(fù)數(shù)運算的理論依據(jù),加減運算類似于多項式的合并同類項,乘法法則類似于多項式乘法法則，除法運算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實數(shù)化，其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應(yīng)點為、共軛為．3、B【解題分析】

列出每一次循環(huán)，直到計數(shù)變量滿足退出循環(huán).【題目詳解】第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：，退出循環(huán)，輸出的為.故選：B.【題目點撥】本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果，要注意在哪一步退出循環(huán)，是一道容易題.4、B【解題分析】

由題意，代入解方程即可得解.【題目詳解】由題意，所以，且，解得.故選：B.【題目點撥】本題考查了利用向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

可求出集合，，然后進行并集的運算即可．【題目詳解】解：，；．故選．【題目點撥】考查描述法、區(qū)間的定義，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及并集的運算．6、A【解題分析】

分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【題目詳解】，故的虛部為.故選：A.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，考查學生運算能力，是一道容易題.7、D【解題分析】

把已知等式變形，然后利用數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復(fù)數(shù)模的公式計算得答案.【題目詳解】解：，則.故選：D.【題目點撥】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】結(jié)合圖(1)，(2)，(3)所示的情況，可得a與b的關(guān)系分別是平行、異面或相交．選D．9、D【解題分析】

通過取特殊值逐項排除即可得到正確結(jié)果.【題目詳解】函數(shù)的定義域為，當時，，排除B和C；當時，，排除A.故選：D.【題目點撥】本題考查圖象的判斷，取特殊值排除選項是基本手段，屬中檔題.10、C【解題分析】

根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的通項公式，判斷出最小時的值，由此求得的最小值.【題目詳解】依題意，解得，所以.由解得，所以前項和中，前項的和最小，且.故選：C【題目點撥】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式和前項和公式的基本量計算，考查等差數(shù)列前項和最值的求法，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解題分析】

先理解題意，然后根據(jù)題意建立平面幾何圖形，在利用三角函數(shù)的知識計算出冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，即可得到正確選項．【題目詳解】解：由題意，可設(shè)冬至日光與垂直線夾角為，春秋分日光與垂直線夾角為，則即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，將圖3近似畫出如下平面幾何圖形：則，，．，估計該骨笛的大致年代早于公元前6000年．故選：．【題目點撥】本題考查利用三角函數(shù)解決實際問題的能力，運用了兩角和與差的正切公式，考查了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)學建模思想，以及數(shù)學運算能力，屬中檔題．12、D【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計算公式求解．【題目詳解】解：，復(fù)數(shù)的模為．故選：D．【題目點撥】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】

利用二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，求得的值．【題目詳解】展開式通項為：且的展開式中的系數(shù)比的系數(shù)大，即：解得：（舍去）或本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

根據(jù)題意畫出幾何題，建立空間直角坐標系，寫個各個點的坐標，并求得.由空間向量的夾角求法即可求得異面直線與所成角的余弦值.【題目詳解】根據(jù)題意畫出幾何圖形，以為原點建立空間直角坐標系：設(shè)正方體的棱長為1，則所以所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故答案為：.【題目點撥】本題考查了異面直線夾角的求法，利用空間向量求異面直線夾角，屬于中檔題.15、【解題分析】

求出在上的對稱軸，依據(jù)對稱性可得的值;由可得，依據(jù)可求出的值.【題目詳解】解：令，解得因為，所以關(guān)于對稱.則.由，則由可知，，又因為，所以，則，即故答案為:;.【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的對稱軸，考查了誘導公式，考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的易錯點在于沒有正確判斷的取值范圍，導致求出.在求的對稱軸時，常用整體代入法，即令進行求解.16、2【解題分析】

直接利用柯西不等式得到答案.【題目詳解】根據(jù)柯西不等式：2x-y2+4y當2x-y=2y，即x=328故答案為：2.【題目點撥】本題考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角換元求得答案.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）分布列見詳解，期望為；（3）余下所有零件不用檢驗，理由見詳解.【解題分析】

（1）計算的頻率，并且與進行比較，判斷中位數(shù)落在的區(qū)間，然后根據(jù)頻率的計算方法，可得結(jié)果.（2）計算位于之外的零件中隨機抽取個的總數(shù)，寫出所有可能取值，并計算相對應(yīng)的概率，列出分布列，計算期望，可得結(jié)果.（3）計算整箱的費用，根據(jù)余下零件個數(shù)服從二項分布，可得余下零件個數(shù)的期望值，然后計算整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值，進行比較，可得結(jié)果.【題目詳解】（1）尺寸在的頻率：尺寸在的頻率：且所以可知尺寸的中位數(shù)落在假設(shè)尺寸中位數(shù)為所以所以這個零件尺寸的中位數(shù)（2）尺寸在的個數(shù)為尺寸在的個數(shù)為的所有可能取值為1，2，3，4則，，所以的分布列為（3）二等品的概率為如果對余下的零件進行檢驗則整箱的檢驗費用為（元）余下二等品的個數(shù)期望值為如果不對余下的零件進行檢驗，整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值為（元）所以，所以可以不對余下的零件進行檢驗.【題目點撥】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，掌握中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)的計算方法，中位數(shù)的理解應(yīng)該從中位數(shù)開始左右兩邊的頻率各為0.5，考驗分析能力以及數(shù)據(jù)處理，屬中檔題.18、（1）（2）證明見解析【解題分析】

（1）求出導函數(shù)，由在上恒成立，采用分離參數(shù)法求解；（2）觀察函數(shù)，不等式湊配后知，利用時可證結(jié)論．【題目詳解】（1）因為在上單調(diào)遞減，所以，即在上恒成立因為在上是單調(diào)遞減的，所以，所以（2）因為，所以由（1）知，當時，在上單調(diào)遞減所以即所以.【題目點撥】本題考查用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查用導數(shù)證明不等式．解題關(guān)鍵是把不等式與函數(shù)的結(jié)論聯(lián)系起來，利用函數(shù)的特例得出不等式的證明．19、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）根據(jù)拋物線的焦點在直線上，可求得的值，從而求得拋物線的方程；（2）法一：設(shè)直線，的方程分別為和且，，，可得，，，的坐標，進而可得直線的方程，根據(jù)在直線上，可得，再分別求得，，即可得證；法二：設(shè)，，則，根據(jù)直線的斜率不為0，設(shè)出直線的方程為，聯(lián)立直線和拋物線的方程，結(jié)合韋達定理，分別求出，，化簡，即可得證.【題目詳解】（1）拋物線C的焦點坐標為，且該點在直線上，所以，解得，故所求拋物線C的方程為（2）法一：由點F在線段上，可設(shè)直線，的方程分別為和且，，，則，，，.∴直線的方程為，即.又點在線段上，∴.∵P是的中點，∴∴，.由于，不重合，所以法二：設(shè)，，則當直線的斜率為0時，不符合題意，故可設(shè)直線的方程為聯(lián)立直線和拋物線的方程，得又，為該方程兩根，所以，，，.，由于，不重合，所以【題目點撥】本題考查拋物線的標準方程，考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．20、（1）見解析（2）見解析【解題分析】

(1)求導后分析導函數(shù)的正負再判斷單調(diào)性即可.(2),有零點等價于方程實數(shù)根,再換元將原方程轉(zhuǎn)化為,再求導分析的圖像數(shù)形結(jié)合求解即可.【題目詳解】（1）的定義域為,,當時,,所以在單調(diào)遞減；當時,,所以在單調(diào)遞增,所以的減區(qū)間為,增區(qū)間為.（2）,有零點等價于方程實數(shù)根,令則原方程轉(zhuǎn)化為,令,.令,,∴,,,,,當時,,當時,.如圖可知①當時,有唯一零點,即有唯一零點；②當時,有兩個零點,即有兩個零點；③當時,有唯一零點,即有唯一零點；④時,此時無零點,即此時無零點.【題目點撥】本題主要考查了利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性的方法,同時也考查了利用導數(shù)分析函數(shù)零點的問題,屬于中檔題.21、（1）（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)，由向量，的坐標直接計算即得；（2）先求出，再根據(jù)向量平行的坐標關(guān)系解得.【題目詳解】（1）由題，向量，