§9﹒1單因子方差分析

Ⅰ概念及例子Ⅱ數(shù)學(xué)模型Ⅲ離差分解ⅣH0的檢驗Ⅴij的區(qū)間估計本文檔共50頁；當前第1頁；編輯于星期二\2點9分一、概念及例子

方差分析是對試驗結(jié)果的數(shù)據(jù)作分析的一種常用的統(tǒng)計方法。我們在顯著性假設(shè)檢驗中已討論過兩總體均值是否相等的檢驗，這種問題可稱為單因子（素）二水平的試驗。在本小節(jié)中我們要討論單因子（素）多水平的試驗，我們將發(fā)現(xiàn)它實際上是多個總體的均值是否相等的顯著性檢驗。在正態(tài)總體和方差相等的基本假定下，這類假設(shè)檢驗問題稱為單因子方差分析或一元方差分析。本文檔共50頁；當前第2頁；編輯于星期二\2點9分例9.1為了比較四種不同的肥料對小麥產(chǎn)量的影響，取一片土壤肥沃程度和水利灌溉條件差不多的土地，分成16塊。肥料品種記為A1，A2，A3，A4，每種肥料均按比例施在四塊土地上，得畝產(chǎn)量如下：畝產(chǎn)品種田塊A1A2A3A41981607791901296469364270339175068107924669358705883問施肥品種對小麥畝產(chǎn)有無顯著性影響？本文檔共50頁；當前第3頁；編輯于星期二\2點9分例9.2某燈泡廠用四種不同的配料方案制成的燈絲生產(chǎn)了四批燈泡，在每一批中任取若干個作壽命試驗，得如下數(shù)據(jù)（單位：小時）壽命燈泡燈絲12345678甲(A1)

1600161016501680170017201800

乙(A2)

15801640164017001750丙(A3)

14601550160016201640166017401820丁(A4)

151015201530157016001680問燈絲的不同的配料方案對燈泡壽命有無顯著影響？本文檔共50頁；當前第4頁；編輯于星期二\2點9分例9.1中的肥料品種和例9.2中的不同配料的燈絲稱為因子或因素，記為A，這里都只有一個因子。各種肥料或不同配料方案稱為水平。一般地，因子A有r個水平A1，A2,…,Ar

.本文檔共50頁；當前第5頁；編輯于星期二\2點9分二、數(shù)學(xué)模型

設(shè)有r個正態(tài)總體Xi，i=1,…,r,Xi~N(i,2)，作假設(shè)H0:1=2=…=r獨立地從各總體中取出一個樣本，列成下表：總體樣本樣本均值用以上r個樣本檢驗上述假設(shè)H0是否成立。（水平為）本文檔共50頁；當前第6頁；編輯于星期二\2點9分在應(yīng)用上，上述問題等價于：因子A有r個水平A1，A2,…,Ar，設(shè)在每一種水平下試驗結(jié)果都服從正態(tài)分布，現(xiàn)在各種水平作若干次試驗獲得一些觀測值，問因素A的各種水平對試驗結(jié)果是否有顯著影響？顯然，檢驗可用t–檢驗法：所有相鄰兩個總體的均值是否相等。共做r–1次檢驗，通常采用離差分解法去解決這個問題。太繁瑣！本文檔共50頁；當前第7頁；編輯于星期二\2點9分三、離差分解將每個樣本看成一個組，記組內(nèi)平均為總平均組內(nèi)離差平方和組間離差平方和本文檔共50頁；當前第8頁；編輯于星期二\2點9分四、H0的檢驗離差平方和令其中令本文檔共50頁；當前第9頁；編輯于星期二\2點9分則令則本文檔共50頁；當前第10頁；編輯于星期二\2點9分本文檔共50頁；當前第11頁；編輯于星期二\2點9分故但在H0成立時，從而可見，一般地說，有本文檔共50頁；當前第12頁；編輯于星期二\2點9分且即本文檔共50頁；當前第13頁；編輯于星期二\2點9分設(shè)若Q=Q1+…+Qk，其中Qi為某些正態(tài)變量的平方和，這些正態(tài)變量分別是X1，…，Xn的線性組合，其自由度為fi，則諸相互獨立，且為本文檔共50頁；當前第14頁；編輯于星期二\2點9分方差分析表來源離差平方和自由度均方離差F值組間(因子A)組內(nèi)(誤差e)總和本文檔共50頁；當前第15頁；編輯于星期二\2點9分五.ik的區(qū)間估計

由于故，給定信度1，可得ik的置信區(qū)間其中本文檔共50頁；當前第16頁；編輯于星期二\2點9分例9.3在例9.2中給定=5%，問燈絲的不同的配料方案對燈泡壽命有無顯著影響？

解：已知r=4,n1=7,n2=5,n3=8,n4=6,n=26.計算的下列方差分析表來源離差平方和自由度均方離差F值因子A44,374.6314,791.52.17誤差e149,970.8226,816.8總和194,345.425本文檔共50頁；當前第17頁；編輯于星期二\2點9分查表知故，接受H0.

即認為燈絲的不同的配料方案對燈泡壽命無顯著影響。本文檔共50頁；當前第18頁；編輯于星期二\2點9分§9﹒2雙因子(二元)方差分析一、非重復(fù)試驗情形Ⅰ提出問題Ⅱ一般模型Ⅲ檢驗法的導(dǎo)出二、重復(fù)試驗情形Ⅰ提出問題Ⅱ檢驗法的導(dǎo)出本文檔共50頁；當前第19頁；編輯于星期二\2點9分1、提出問題一、非重復(fù)試驗雙因子方差分析

氧化鋅B

促進劑AB1B2B3B4A1323535.538.5A235.536.53839.5A33637.539.543例9.4在某種橡膠的配方中，考慮了三種不同的促進劑，四種不同份量的氧化鋅。各種配方試驗一次，測得300%定強如下表所示：本文檔共50頁；當前第20頁；編輯于星期二\2點9分此例中有A、B二個因子，因子A有三個水平A1，A2，A3；因子B有四個水平B1，B2，B3，B4，在各種組合水平AiBj上作一次試驗獲得一個觀測值。問因子A、B分別對試驗結(jié)果有無顯著性影響

問不同的促進劑，不同份量的氧化鋅分別對定強有無顯著性影響？本文檔共50頁；當前第21頁；編輯于星期二\2點9分2、一般模型設(shè)有A、B二個因子，A有r個水平A1，…,Ar；因子B有s個水平B1，…，Bs，在A、B的每一種組合水平AiBj上作一次試驗，得結(jié)果Xij，(i=1,…,r；j=1,…,s),所有Xij都相互獨立，且假定Xij~N(ij，2)，其中而作假設(shè)本文檔共50頁；當前第22頁；編輯于星期二\2點9分

如果H01成立，則ij與i無關(guān)，這表明因子A對試驗結(jié)果無顯著影響；同理，如果H02成立，則ij與j無關(guān)，這表明因子B對試驗結(jié)果無顯著影響。另外，在式(9.7)中，i稱為因子A在水平Ai的效應(yīng)，它表示水平Ai在總體平均數(shù)上引起的偏差；同理，j稱為因子B在水平Bj的效應(yīng)，它表示水平Bj在總體平均數(shù)上引起的偏差.本文檔共50頁；當前第23頁；編輯于星期二\2點9分3、檢驗法的導(dǎo)出導(dǎo)出檢驗H01與H02的方法與一元方差分析類似，可采用離差分解法。令本文檔共50頁；當前第24頁；編輯于星期二\2點9分則總離差本文檔共50頁；當前第25頁；編輯于星期二\2點9分記因子A引起的離差為記因子B引起的離差為誤差為本文檔共50頁；當前第26頁；編輯于星期二\2點9分則（離差分解為）從直觀上看，SA是由因子A的效應(yīng)和2引起的隨機波動;SB是由因子B的效應(yīng)和2引起的隨機波動；Se則是由2引起的隨機誤差。故可用比較SA與Se的值來檢驗H01是否成立；而用比較SB與Se的值來檢驗H02是否成立。這個所謂的“值”，當然指得是數(shù)學(xué)期望。本文檔共50頁；當前第27頁；編輯于星期二\2點9分令其中則有本文檔共50頁；當前第28頁；編輯于星期二\2點9分故令記本文檔共50頁；當前第29頁；編輯于星期二\2點9分則分別稱為因子A、B引起的均方離差，當H01真時當H02真時稱為均方誤差。當H01、H02真時故本文檔共50頁；當前第30頁；編輯于星期二\2點9分由于故由的分解定理（柯赫倫）知，當H01、H02真時，本文檔共50頁；當前第31頁；編輯于星期二\2點9分且SA、SB、Se相互獨立。由F分布r.v.的構(gòu)造知本文檔共50頁；當前第32頁；編輯于星期二\2點9分非重復(fù)試驗雙因子方差分析檢驗法1、提出假設(shè)H01：I=0;H02:j

=02、引進統(tǒng)計量4、查表、計算得統(tǒng)計量的觀測值及分位數(shù)的值5、比較大小的結(jié)論。3、由顯著性水平寫出拒絕域形式本文檔共50頁；當前第33頁；編輯于星期二\2點9分非重復(fù)試驗雙因子方差分析表來源離差平方和自由度均方離差F值因子A總和因子B誤差e本文檔共50頁；當前第34頁；編輯于星期二\2點9分二、重復(fù)試驗雙因子方差分析1、一般模型設(shè)有A、B二個因子，各有r個水平A1，…,Ar；和s個水平B1，…，Bs，現(xiàn)在A、B的每一種組合水平AiBj上重復(fù)試驗c(c>1)次，得試驗值Xijk，(i=1,…,r；j=1,…,s;k=1,…,c),將它們列表如下：本文檔共50頁；當前第35頁；編輯于星期二\2點9分

因子B因子AB1B2···BS假定Xijk~N(ij，2)，且所有的Xijk都相互獨立，則ij可表為本文檔共50頁；當前第36頁；編輯于星期二\2點9分從而可得(9.20)式，且可驗證(9.21)式中四個等式成立。其中滿足事實上，令，則本文檔共50頁；當前第37頁；編輯于星期二\2點9分作假設(shè)

i或j稱為因子A或因子B在水平Ai或Bj上的效應(yīng);ij稱為因子A和B在組合水平Ai×Bj上的交互作用，即因子A、B組合起來在水平Ai

×Bj上的作用，而不是因子A或B單獨影響試驗的結(jié)果。2、檢驗法的導(dǎo)出本文檔共50頁；當前第38頁；編輯于星期二\2點9分若H01成立，則表明因子A對試驗結(jié)果無顯著影響；否則，相反。若H02成立，則表明因子B對試驗結(jié)果無顯著影響；否則，相反。若H03成立，則表明因子A、B對試驗結(jié)果無顯著的交互作用；否則，相反。

為了導(dǎo)出檢驗這三個假設(shè)的方法，一般也采用離差分解法。本文檔共50頁；當前第39頁；編輯于星期二\2點9分令則總離差本文檔共50頁；當前第40頁；編輯于星期二\2點9分其中事實上本文檔共50頁；當前第41頁；編輯于星期二\2點9分稱SA為因子A引起的離差，稱SB為因子B引起的離差，SI為因子A、B交互作用引起的離差，Se為誤差?？杀頌槠渲写隨A、SB、SI和Se可得其期望值：本文檔共50頁；當前第42頁；編輯于星期二\2點9分令令本文檔共50頁；當前第43頁；編輯于星期二\2點9分一般有則而當H0k為真時(k=1,2,3)，它們均為等式。本文檔共50頁；當前第44頁；編輯于星期二\2點9分當H0k為真前提下(k=1,2,3)，可用（柯赫倫）分解定理得出SA、SB、SI和Se的分布。事實上，（8.22