專題十 解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用廣西專用仰角、俯角問題【例1】(2016·河南)如圖，小東在教學(xué)樓距地面9米高的窗口C處，測(cè)得正前方旗桿頂部A點(diǎn)的仰角為37°，旗桿底部B點(diǎn)的俯角為45°，升旗時(shí)，國(guó)旗上端懸掛在距地面2.25米處，若國(guó)旗隨國(guó)歌聲冉冉升起，并在國(guó)歌播放45秒結(jié)束時(shí)到達(dá)旗桿頂端，則國(guó)旗應(yīng)以多少米/秒的速度勻速上升？(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)解：在Rt△BCD

中，BD＝9

米，∠BCD＝45°，則BD＝CD＝9

米．在Rt△ACD

中，CD＝9

米，∠ACD＝37°，則AD＝CD·tan37°≈9×0.75＝6.75(米)．AB＝AD＋BD＝15.75

米，整個(gè)過程中旗子上升高度是：15.75－2.25＝13.5(米)，則上升速度

v＝13.5

0.3(米/秒)．45

＝答：國(guó)旗應(yīng)以0.3

米/秒的速度勻速上升【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題．解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到把已知項(xiàng)和未知項(xiàng)關(guān)聯(lián)在一起的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時(shí)，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另外要善于讀懂題意，把實(shí)際問題劃歸為直角三角形中的邊角問題加以解決．[對(duì)應(yīng)訓(xùn)練]1．(2016·泰州)如圖，地面上兩個(gè)村莊C，D處于同一水平線上，一飛行器在空中以6千米/小時(shí)的速度沿MN方向水平飛行，航線MN與C，D在同一鉛直平面內(nèi)．當(dāng)該飛行器飛行至村莊C的正上方A處時(shí)，測(cè)得∠NAD＝60°；該飛行器從A處飛行40分鐘至B處時(shí)，測(cè)得∠ABD＝75°.求村莊C，D間的距離．(3取1.73，結(jié)果精確到0.1千米)方向角問題【例2】

(2016·內(nèi)江)禁漁期間，我漁政船在A處發(fā)現(xiàn)正北方向B處有一艘可疑船只，測(cè)得A，B兩處距離為200海里，可疑船只正沿南偏東45°方向航行，我漁政船迅速沿北偏東30°方向前去攔截，經(jīng)歷4小時(shí)剛好在C處將可疑船只攔截．求該可疑船只航行的平均速度．(結(jié)果保留根號(hào))解：過點(diǎn)C

作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，設(shè)BD＝x

海里，則AD＝(200－x)海里，∵∠ABC＝45°，∴BD＝CD＝x，∵∠BAC＝30°，∴tan30°＝CD

3

3AD，在Rt△ACD

中，則CD＝AD·tan30°＝

3

(200－x)，則x＝

3

(200－x)，解得，x＝100

3－100，即

BD＝100

3－100，在

Rt△BCD

中，cos45°＝BD，解得：BC＝100

6－100

2，則(100

6－100

2)÷4＝25(

6－BC2)(海里/時(shí))，則該可疑船只的航行速度為

25( 6－

2)海里/時(shí)【點(diǎn)評(píng)】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——方向角問題．解題關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，構(gòu)造直角三角形．[對(duì)應(yīng)訓(xùn)練]2．(2016·衡陽)在某次海上軍事演習(xí)期間，我軍為確保△OBC

海域內(nèi)的安全，特派遣三艘軍艦分別在O，B，C

處監(jiān)控△OBC

海域，在雷達(dá)顯示圖上，軍艦B

在軍艦O

的正東方向80

海里處，軍艦C

在軍艦B

的正北方向60

海里處，三艘軍艦上裝載有相同的探測(cè)雷達(dá)，雷達(dá)的有效探測(cè)范圍是半徑為r

的圓形區(qū)域．(只考慮在海平面上的探測(cè))若三艘軍艦要對(duì)△OBC

海域進(jìn)行無盲點(diǎn)監(jiān)控，則雷達(dá)的有效探測(cè)半徑r至少為多少海里？現(xiàn)有一艘敵艦A

從東部接近△OBC海域，在某一時(shí)刻軍艦B測(cè)得A

位于北偏東60°方向上，同時(shí)軍艦C

測(cè)得A

位于南偏東30°方向上，求此時(shí)敵艦A離△OBC

海域的最短距離為多少海里？若敵艦

A

沿最短距離的路線以

20

2海里/小時(shí)的速度靠近△OBC海域，我軍軍艦

B

沿北偏東

15°的方向行進(jìn)攔截，問

B

軍艦速度至少為多少才能在此方向上攔截到敵艦

A?解：(1)在Rt△OBC

中，∵BO＝80，BC＝60，∠OBC＝90°，∴OC＝1OB2＋BC2＝

802＋602＝100，∵1OC＝×100＝50，∴雷達(dá)的有效探2

2測(cè)半徑

r

至少為

50

海里

(2)作

AM⊥BC

于

M，∵∠ACB＝30°，∠CBA2＝60°，∴∠CAB＝90°，∴AB＝1BC＝30，在Rt△ABM

中，∵∠AMB3BM＝15

3，1＝90°，AB＝30，∠BAM＝30°，∴BM＝2AB＝15，AM＝∴此時(shí)敵艦

A

離△OBC

海域的最短距離為

15

3海里(3)假設(shè)B

軍艦在點(diǎn)N

處攔截到敵艦．過點(diǎn)N

作NH⊥AB

于點(diǎn)H，∴∠NBA＝60°－15°＝45°，設(shè)NH＝x，則BN＝

2NH＝

2x，AN＝2NH＝υ20

22x，設(shè)

B

軍艦速度為

υ，由題意得BN AN

即≤υ2x≤

2x20

2，∴υ≥20，∴B

軍艦速度至少為20

海里/小時(shí)坡度、坡角問題【例

3】

(2016·黃石)如圖，為測(cè)量一座山峰

CF的高度，將此山的某側(cè)山坡劃分為

AB

和

BC

兩段，每一段山坡近似是“直”的，測(cè)得坡長(zhǎng)

AB＝800

米，BC＝200

米，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝45°.求AB

段山坡的高度EF；求山峰的高度

CF.( 2≈1.414，CF

結(jié)果精確到米)【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——坡度與坡角問題．坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1∶m的形式．坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為i＝tanα.[對(duì)應(yīng)訓(xùn)練]3．(2016·荊門)如圖