關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線性質(zhì)定理PPT第1頁(yè)，講稿共22頁(yè)，2023年5月2日，星期三

本節(jié)內(nèi)容是關(guān)于幾何中的一些比例關(guān)系，這幾節(jié)內(nèi)容現(xiàn)在在初中課本中已“淡化”，但是這幾個(gè)結(jié)論在高中的“立體幾何”和“平面解析幾何”中有時(shí)會(huì)用到.因此,在本節(jié)中首先把這幾個(gè)定理內(nèi)容介紹給同學(xué)們,然后利用這三個(gè)定理來(lái)解決一些題目.其中對(duì)于“平行線分線段成比例”介紹幾條稍有難度的題目，而“三角形內(nèi)外角平分線性質(zhì)定理”的題目直接圍繞定理展開(kāi)，難度不大.教材分析第2頁(yè)，講稿共22頁(yè)，2023年5月2日，星期三平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例

定理的基本圖形：如圖，因?yàn)锳D∥BE∥CF，所以AB：BC=DE：EF;AB：AC=DE：DF；

BC：AC=EF：DF也可以說(shuō)AB：DE=BC：EF；

AB：DE=AC：DF；

BC：EF=AC：DF第3頁(yè)，講稿共22頁(yè)，2023年5月2日，星期三推論的基本圖形:平行線分線段成比例定理推論:

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊

(或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例第4頁(yè)，講稿共22頁(yè)，2023年5月2日，星期三第5頁(yè)，講稿共22頁(yè)，2023年5月2日，星期三例3：用平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截三角形，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.(文字語(yǔ)言)已知:如圖,DE//BC分別交AB、AC于點(diǎn)D、E.求證：(符號(hào)語(yǔ)言)CBADEF(圖形語(yǔ)言)分析：由平行線分線段成比例定理的推論可直接得到AD:AB=AE:AC.為了證明AE:AC=DE:BC，需要構(gòu)造一組平行線，使AE、AC、DE、BC成為由這組平行線截得的線段.故作EF//AB.證明：過(guò)點(diǎn)E作EF//AB,交BC于點(diǎn)F,∵DE//BC,∴AD:AB=AE:AC.∵EF//AB,∴BF:BC=AE:AC.且四邊形DEFB為平行四邊形.∴DE=BF.∴DE:BC=AE:AC.第6頁(yè)，講稿共22頁(yè)，2023年5月2日，星期三CBADEG已知:如圖,DE//BC分別交AB、AC于點(diǎn)D、E.求證：(圖形語(yǔ)言)法2：為了證明，需用平行線分線段成比例定理.故作CG//AB,且與DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G.證明:過(guò)點(diǎn)C作CG//AB,且與DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G.∵DE//BC,∴AD:AB=AE:AC∵CG//AB,∴DE:DG=AE:AC∵四邊形DEFB為平行四邊形，∴DG=BC.第7頁(yè)，講稿共22頁(yè)，2023年5月2日，星期三例1：證明：（平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例）同理可得:第8頁(yè)，講稿共22頁(yè)，2023年5月2日，星期三例2：證明：（平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例。）第9頁(yè)，講稿共22頁(yè)，2023年5月2日，星期三例3證明：∥∥∥第10頁(yè)，講稿共22頁(yè)，2023年5月2日，星期三三角形內(nèi)角平分線定理：ABCD三角形外角平分線定理：ABCDE第11頁(yè)，講稿共22頁(yè)，2023年5月2日，星期三第12頁(yè)，講稿共22頁(yè)，2023年5月2日，星期三三角形內(nèi)角平分線定理：三角形任意兩邊之比等于它們夾角的平分線分對(duì)邊之比。已知：如圖8-4甲所示，AD是△ABC的內(nèi)角∠BAC的平分線。求證：BA/AC=BD/DC;思路1：過(guò)C作角平分線AD的平行線，用平行線分線段成比例定理證明。證明1：過(guò)C作CE∥DA與BA的延長(zhǎng)線交于E。則：BA/AE=BD/DC;∵

∠BAD=∠AEC；（兩線平行，同位角相等）

∠CAD=∠ACE；（兩線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∠BAD=∠CAD；（已知）∴

∠AEC=∠ACE；（等量代換）∴

AE=AC；

∴

BA/AC=BD/DC。結(jié)論1：該證法具有普遍的意義。第13頁(yè)，講稿共22頁(yè)，2023年5月2日，星期三思路2：利用面積法來(lái)證明。已知：如圖8-4乙所示，AD是△ABC的內(nèi)角∠BAC的平分線。求證：BA/AC=BD/DC證明2：過(guò)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F；∵

∠BAD=∠CAD；（已知）∴

DE=DF；∵

BA/AC=S△BAD/S△DAC；（等高時(shí)，三角形面積之比等于底之比）

BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC；（同高時(shí)，三角形面積之比等于底之比）∴

BA/AC=BD/DC第14頁(yè)，講稿共22頁(yè)，2023年5月2日，星期三結(jié)論2：遇到角平分線，首先要想到往角的兩邊作平行線，構(gòu)造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的兩邊作垂線，構(gòu)造翻轉(zhuǎn)的直角三角形全等，第三，要想到長(zhǎng)截短補(bǔ)法，第四，你能想到用該定理解決問(wèn)題嗎？第15頁(yè)，講稿共22頁(yè)，2023年5月2日，星期三三角形外角平分線定理：三角形兩邊之比等于其夾角的外角平分線外分對(duì)邊之比。三角形外角平分線定理：如果三角形的外角平分線外分對(duì)邊成兩條線段，那么這兩條線段和相鄰的兩邊應(yīng)成比例.第16頁(yè)，講稿共22頁(yè)，2023年5月2日，星期三已知：如圖8-5甲所示，AD是△ABC中∠BAC的外角∠CAF的平分線。求證：BA/AC=BD/DC思路1：作角平分線AD的平行線，用平行線分線段成比例定理證明。證明1：過(guò)C作CE∥DA與BA交于E。則：BA/AE=BD/DC∵

∠DAF=∠CEA；（兩線平行，同位角相等）

∠DAC=∠ECA；（兩線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∠DAF=∠DAC；（已知）∴

∠CEA=∠ECA；（等量代換）∴

AE=AC；∴

BA/AC=BD/DC。結(jié)論1：該證法具有普遍的意義。角度看問(wèn)題的方法了嗎？第17頁(yè)，講稿共22頁(yè)，2023年5月2日，星期三思路2：利用面積法來(lái)證明。已知：如圖8-5乙所示，AD是△ABC內(nèi)角∠BAC的外角∠CAF的平分線。求證：BA/AC=BD/DC.證明2：過(guò)D作DE⊥AC于E，DF∥⊥BA的延長(zhǎng)線于F；∵

∠DAC=∠DAF；（已知）∴

DE=DF；∵

BA/AC=S△BAD/△DAC；（等高時(shí)，三角形面積之比等于底之比）

BD/DC=S△BAD/△DAC；（同高時(shí)，三角形面積之比等于底之比）∴

BA/AC=BD/DC結(jié)論：使用面積法時(shí)，要善于從不同的角度去看三角形的底和高。在該證法中，我們看△BAD和△DAC的面積時(shí)，先以BA和AC作底，而以DF、DE為等高。然后以BD和DC為底，而高是同高，圖中并沒(méi)有畫(huà)出來(lái)。你學(xué)會(huì)這種變換第18頁(yè)，講稿共22頁(yè)，2023年5月2日，星期三內(nèi)角平分線性質(zhì)定理證明證明：ABDC第19頁(yè)，講稿共22頁(yè)，2023年5月2日，星期三外角平分線性質(zhì)定理證明證明：過(guò)C作AD的平行線交AB于點(diǎn)E。

∴BD︰CD＝AB︰